Leyendo el capítulo dedicado a Lagrangianos y Hamiltonianos del libro de Roger Penrose El camino a la realidad me sorprendió cuando en un momento, después de presentar al Lagrangiano

\mathcal{L} = \mathcal{L}(q^1, \ldots, q^n, \dot{q}^1, \ldots, \dot{q}^n )

como una función, de posiciones generalizadas q^i que etiquetan los puntos del espacio de configuración \mathcal{C}, una variedad diferenciable de dimensión n, y velocidades generalizadas \dot{q}^i:=\frac{d}{dt}q^i, cuya interpretación física es la diferencia entre energía cinética K del sistema y la energía potencial V debido a fuerzas externas, es decir, \mathcal{L} = K-V, las ecuaciones de Euler-Lagrange quedan como:

\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{q}^r}\mathcal{L} = \frac{\partial}{\partial q^r} \mathcal{L} con r=1 \ldots n,

recordando que cada \dot{q}^r debe tratarse como una variable independiente.

Esto, aquí mi sorpresa, es idéntico a lo que utilizamos en este post

\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{x}^i} g = \frac{\partial}{\partial x ^i} g

para calcular las geodésicas de una variedad Riemanniana sin necesidad de pasar por el cálculo de los símbolos de Christoffel a partir de su métrica, por ejemplo, para encontrar su conexión…

Así pues, la conclusión es que, como cada punto \alpha de la variedad n-dimensional \mathcal{C} representa una configuración del sistema y, a medida que evoluciona en el tiempo, describe una curva \alpha(t) \in \mathcal{C}, esta trayectoria puede considerarse como una geodésica en el espacio de fases \mathcal{C}.

Para terminar, pone un sencillo ejemplo donde el sistema consta de una única partícula de masa m que se mueve en el campo gravitatorio cerca de la superficie terrestre V(t,x,y,z)=mgz. Utilizando \frac{1}{2}mv^2 para la energía cinética, nos queda que el Lagrangiano es:

\mathcal{L} = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-mgz,

por lo que la ecuación de Euler-Lagrange para z nos queda:

m\frac{d}{dt}\dot{z} = mg \Leftrightarrow \ddot{z} = g,

que es lo que esperabamos :-).

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