Dado un \mathbb{K}-espacio vectorial E, diremos que la aplicación:

B:E \times E \longrightarrow \mathbb{K}

es un producto escalar si verifica:

  1. Fijado y \in E, entonces E \longrightarrow \mathbb{K} \,:\, x \mapsto B(x,y) es lineal.
  2. B(x,y) = \bar{B(y,x)}, \forall x,y \in E.
  3. B(x,y) \geq 0, \forall x \in E.
  4. B(x,x)=0 \leftrightarrow x=0, \forall x \in E.

Llamamos espacio pre-Hilbertiano al par (E,B).

Dos consecuencias inmediatas de estas propiedades son:

  1. Fijado x \in E, entonces E \longrightarrow \mathbb{K} \,:\, y \mapsto B(x,y) es sesquilineal.
  2. B(0,y)=B(x,0)=0, \forall x,y \in E.

Podemos definir la aplicación norma como:

q:E \longrightarrow \mathbb{R}^+ \cup \{0\} \,:\, x \mapsto \sqrt{B(x,x)},

que cumple la desigualdad de Cauchy-Schwartz:

|B(x,y)| \leq q(x)q(y), \forall x,y \in E,

dandose la igualdad cuando x, y son linealmente dependientes, y las propiedades:

  1. q(x+y) \leq q(x)+ q(y), \forall x,y \in E.
  2. q(\lambda x) = \lambda q(x), \forall x \in E.
  3. q(x)=0 \leftrightarrow x=0, \forall x \in E.

Podemos definir la aplicación distancia como:

d: E \times E \longrightarrow \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \} \,:\, (x,y) \mapsto q(x-y),

cumpliendo:

  1. q(x,y) = q(y,x).
  2. d(x,y)=0 \leftrightarrow x = y.
  3. d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y).

¿Qué pasa ahora si empezamos a eliminar requisitos en las definiciones? Se siguen cumpliendo propiedades interesantes de manera que las estructuras resultantes son ricas o no? Suponemos que si. Vamos a ver…

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