“En el plano proyectivo, por ejemplo, todo par de rectas se cruzan en un punto”.

Esta afirmación resume la esencia de los espacios proyectivos. Se trata de completar los espacios afines con elementos especiales que nos permitirán tratar con el infinito de igual manera que tratamos el resto de elementos del espacio. De esta manera, en el caso del plano proyectivo, incluimos los puntos de infinito de manera que todo para de rectas paralelas, que en el espacio afín no se cortan, en el proyectivo lo hacen en uno de estos punto de infinito añadido. La gracia está en que, a la hora de trabajar con elementos ordinarios y con elementos de infinito, lo haremos de la misma manera, sin necesidad de conocer su tipo concreto.

Matemáticamente, el espacio proyectivo real se define simplemente como:

\mathbb{P}(\mathbb{R})^n:=\frac{\mathbb{R}^{n+1}- \{0\}}{\sim} donde (x_0,\ldots, x_n) \sim (\alpha x_0,\ldots, \alpha x_n) con \alpha \in \mathbb{R} - \{0\},

que, del punto de vista intuitivo, no son mas que las rectas que pasan por el origen (es decir, como todos los puntos de una recta que pasa por el origen son equivalentes entre si por la relación de equivalencia que acabamos de definir, tomamos uno como representante y este será un punto del espacio proyectivo).

Introducimos ahora las coordenadas homogéneas (ampliamente utilizadas en robótica y visión por ordenador). Supongamos que tenemos un punto (x,y) del plano afín \mathbb{R}^2. Para representar el mismo punto del plano proyectivo real \mathbb{P}^2(\mathbb{R}) simplemente añadimos una tercera coordenada al final:

(x:y:1) \sim (\alpha x : \alpha y: \alpha) \sim (X,Y,W) = [X,Y,W]^T

(estamos embebiendo el punto en \mathbb{R}^3 y quedandonos como representante de la recta que pasa por el punto y el origen con aquel que tiene la tercera componente igual a 1).

Una recta en el espacio afín es:

ax+by+c=0,

que, al homogeneizar, queda:

aX + bY + cW = 0 que es u^Tp = p^Tu =0

con u=[a,b,c]^T la línea y p=[X,Y,W]^T el punto, por lo que los puntos y las lineas se representan de la misma manera en el prlano proyectivo (serán elementos duales).

Para transformar puntos del espacio proyectivo (X,Y,W) al espacio afín únicamente tenemos que dividir por la tercera componente:

(x,y):=(X/W,Y/W).

Es fácil ver ahora que tendremos puntos con W=0. A estos puntos los llamaremos puntos de infinito. Por ejemplo, en el plano proyectivo tendremos un punto de infinito para cada dirección, siendo por ejemplo (1:0:0) y (0:1:0) los puntos de infinito correspondientes a las direcciones horizontal y vertical respectivamente. La gracia de todo esto es que los puntos de infinito se tratan como cualquier otro punto del espacio proyectivo, es decir, en el espacio proyectivo operamos de la misma manera tanto con puntos ordinarios como con puntos de infinito.

Si todos los puntos de una recta son de infinito, entonces tenemos una recta de infinito. Y, en general, cualquier variedad con todos sus puntos de infinito, sera una variedad de infinito. Y otra vez, la idea fundamental es que cualquier variedad de infinito se tratara como cualquier otra variedad ordinaria. En el plano proyectivo, la recta de infinito se representa mediante (0,0,1).

Para empezar, veamos que en el plano proyectivo todo par de rectas se cruzan en un punto (si son paralelas, este punto será un punto de infinito). Sean las rectas u_1 = (a_1,b_1,c_1) y u_2=(a_2,b_2,c_2). El punto de intersección p = u_1 \times u_2 = (b_1c_2-b_2c_1,a_2c_1-a_1c_2,a_1b_2-a_2b_1) que, en el caso de ser paralelas, nos quedará p = (b_1c_2-b_2c_1,a_2c_1-a_1c_2,0) que, efectivamente, es un punto de infinito.

Por el principio de dualidad que hemos visto, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos p_1 y p_2 es u = p_1 \times p_2.

Se empieza a vislumbrar la potencia de este enfoque. Veamos ahora un ejemplo un poco mas complicado.

Consideremos la intersección de la hipérbola xy = 1 con la recta y=1. En coordenadas homogeneas tenemos XY=W^2 para la hipérbola, ya que X = Wx y Y = Wy,  y Y = W para la recta. La solución es (W,W,W) que es (1,1), tal como esperabamos. Pero supongamos ahora que la intersección es con y=0, es decir, que no hay intersección en el espacio afín. El resultado en coordenadas homogeneas es (X,0,0), que es el punto de infinito asociado a la dirección horizontal, por lo que si tenemos intersección en el espacio proyectivo.

Sorprendente, ¿no?

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