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Mi hermano, que es un manitas, se cambió la pantalla de su iPhone en un rato. Yo, que de manitas no tengo nada, me animé a hacer lo mismo. A continuación, una galería de fotos de mi experiencia:

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Una q-forma o una forma multilineal \Phi (una métrica, por ejemplo, es una 2-forma, una forma bilineal) es invariante si es invariante por la izquierda, o sea, si L_a^* \Phi = \Phi (recordar que L_a es un desplazamiento en el grupo G, (L_a)_* es un desplazamiento en el espacio tangente TG y L_a^* lo es en el espacio cotangente T^*G) e invariente por la derecha. Son, por tanto, invariantes respecto a las transformaciones del grupo adjunto.

En el caso de formas bilineales, \Phi es invariante si:

\Phi(Ad(a) u, Ad(a) v) = \Phi(u,v),

o, lo que es lo mismo, si:

\Phi([w,u],v) + \Phi(u,[w,v]) = 0.

Cuando un grupo de Lie admite una forma bilineal simétrica invariante definida positiva o negativa, entonces su álgebra de Lie es equivalente a un espacio euclideo con métrica g(u,v) = \Phi(u,v). Son las álgebras de Lie compactas, y se corresponden con los grupos de Lie compactos.

La forma de Killing es un ejemplo importante de forma bilineal simétrica invariante:

B(u,v) = tr (ad(u) ad(v)),

que, en componentes, queda:

B(u,v) = g_{ij} u^i u^j. Como (ad(u))^i_j = c^i_{kj}u^k, entonces g_{ij} = c^k_{is} c^s_{jk}.

Por ejemplo, la forma de Killing del grupo GL(n,\mathbb{K}) quedaria:

B(u,v) = 2n\,tr(uv) - 2\,tr(u)\,tr(v),

que es degenerada. Para hallarla, tomamos la base de matrices E^\alpha_\beta (matrices con todas las componentes a cero excepto en la componente de fila \alpha y  columna \beta que contiene la unidad) del álgebra de Lie correspondiente y como:

ad(u) E^\alpha_\beta = (\delta^\alpha_\sigma u^\tau_\beta - \delta^\tau_\beta u^\alpha_\sigma) E^\sigma_\tau,

entonces:

ad(u) \cdot ad(v) E^\alpha_\beta = (\delta^\alpha_\sigma u^\tau_\gamma v^\gamma_\beta + \delta^\tau_\beta v^\alpha_\gamma u^\gamma_\sigma - u^\alpha_\sigma v^\tau_\beta - v^\alpha_\sigma u^\tau_\beta) E^\sigma_\tau.

Una representación lineal de un grupo G es un homomorfismo \varphi de G en el grupo de Lie GL(\mathbb{V}) donde \mathbb{V} es un espacio vectorial que se puede asociar de manera natural a GL(n,\mathbb{K}) escogiendo una base. Podemos hablar entonces de la acción del grupo G sobre el espacio vectorial \mathbb{V} de la que, con la base, tenemos una representación matricial.

Un homomorfismo \varphi es una aplicación entre grupos \varphi: G \longrightarrow G' que conserva el producto \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b). Hablamos de automorfismo cuando G = G'.

Por ejemplo, si consideramos:

\varphi: GL(n,\mathbb{K}) \longrightarrow \mathbb{K}_0 \,/\, \varphi(A) = \det A,

entonces \det A es un polinomio respecto de las componentes de A, por lo que es analítica, y es homomorfismo de grupos de Lie ya que:

\det AB = \det A \det B.

Además, su nucleo son aquellas matrices con \det A = 1, por lo que \ker \varphi = SL(n,\mathbb{K}), el grupo lineal especial. Si calculamos ahora su diferencial, con las reglas de diferenciacion de un determinante y calculando su valor en la unidad de GL(n,\mathbb{K}) tenemos:

det_* U = tr U,

por lo que tenemos un homomorfismo del algebra de Lie \mathfrak{gl}(n,\mathbb{K}) sobre el álgebra \mathbb{K} cuyo núcleo, las matrice de traza nula, es el ideal \mathfrak{sl}(n,\mathbb{K}).

En el estudio de las representaciones destacan los caracteres de las representaciones. Dada una representación \varphi, el carácter de esta es

\chi_\varphi(a) = tr \varphi(a).

que no depende de la base.

Sea G un grupo de Lie y \mathfrak{g} su álgebra de Lie. El conjunto Aut(G) de los automorfismos de G es un grupo de Lie si G es conexo.

Dos elementos x y x' diremos que son conjugados si:

x' = a x a^{-1}.

Los automorfismos internos son aquellos automorfismos que relacionan elementos conjugados. Sus diferenciales se denotan mediante Ad(a) con a \in G y forman un subgrupo de Lie: el grupo adjunto Ad(G) \subset Aut(\mathfrak{g}).

Si \varphi_* es la diferencial del homomorfismo \varphi, dado un campo vectorial u(a) invariante por la izquierda en G entonces \varphi_* u es un campo vectorial invariante por la izquierda de G', por lo que todo homomorfismo de grupos de Lie genera un homomorfismo de sus álgebras de Lie ya que:

\varphi_*[u,v] = [\varphi_* u, \varphi_* v].

Construimos la aplicación:

\Phi: Aut(G) \longrightarrow Aut(\mathfrak{g}) \,/\, \varphi \mapsto \varphi_*

que pone en correspondencia cada automorfismo \varphi con su diferencial \varphi_*, que es una representación lineal del grupo Aug(G) en el álgebra de Lie \mathfrak{g}. Si consideramos la diferencial de su restricción a los automorfismos internos, obtenemos:

Ad: G \longrightarrow Aut(\mathfrak{g}) \,/\, a \mapsto Ad(a) = Int_*(a),

que es la representación adjunta del grupo G en el álgebra \mathfrak{g} y que, como todos los automorfismos del álgebra, conserva el conmutador:

Ad(a)[u,v] = [Ad(a)u, Ad(a) v].

Dado el campo vectorial invariante por la izquierda

u(a) = (L_a)_* u del grupo de Lie G,

llamamos trayectorias del campo a la soluciones de la ODE:

\frac{d}{dt}a = u(a),

y que, fijada una condición inicial a(0) = a, la trayectoria queda unívocamente determinada en forma de serie exponencial:

a(t) = \exp (tu) a con \exp(tu) = I + tu + \frac{t^2}{2}u^2 + \ldots,

donde u^r(a) = u(a) \circ u^{r-1}(a).

Las trayectorias:

  1. son analíticas  y esta definidas para todo valor de t por el carácter anaítico y completo de los campos invariantes.
  2. que pasan por la unidad del grupo de Lie, a(0) = e, son grupos uniparamétricos de G, ya que cumplen la propiedad a(s+t)=a(s)a(t). En este caso:

\exp: \mathfrak{g} \longrightarrow G \, / \, u \mapsto \exp u = a(1).

En el caso de GL(n,\mathbb{K}), hemos visto que los campos invariantes a la izquierda tienen la forma:

U(A) = AU con A \in GL(n,\mathbb{K}) y U \in M(n,\mathbb{K}).

El subgrupo uniparamétrico A(t) es la solución a:

\frac{d}{dt}A = AU con A(0)=I,

y que es:

A(t) = \exp(tU) = \Sigma_{s=0}^{\infty}\frac{t^s}{s!}U^s.

De esta manera, tenemos:

\exp: \mathfrak{g}(n,\mathbb{K}) \longrightarrow GL(n,\mathbb{K}) \, / \, A = e^U,

es decir, la exponencial matricial habitual.

En el caso de GL(n,\mathbb{K}), un desplazamiento a la izquierda tiene la forma:

L_A X = AX

donde AX es el producto de matrices y cuya diferenciación, que es lo que nos interesa, es:

(L_A)_* U = AU con U \in M(n,\mathbb{K}).

De esta manera, todo campo vectorial invariante por la izquierda en GL(n,\mathbb{K}) tiene la forma U(A)= AU. Si tomamos como U los elementos e_\alpha^\beta (las matrices con todos los elementos nulos excepto en la fila \alpha-ésima y la columna \beta-ésima que contiene a la unidad), obtenemos una base de estos campos:

e_\alpha^\beta (A) = A e_\alpha^\beta

que son las matrices de orden n donde los elementos no nulos forman la columna \beta-ésima.

Sean U(A)=AU y V(A)=AV un par de campos invariantes por la izquierda. Teniendo en cuenta que:

\frac{\partial}{\partial a_\mu^\nu}a_\alpha^\beta = \delta_\mu^\alpha \delta_\beta^\nu

obtenemos:

[U(A),V(A)] = A(UV-VU).

Tomando A=I, obtenemos un álgebra de Lie que podemos identificarla con el espacio tangente a la unidad del grupo GL(n,\mathbb{K}) que coincide con el espacio M(n,\mathbb{K}) de todas las matrices de orden n con conmutador:

[U,V] = UV-VU,

y que denotaremos mediante \mathfrak{gl}(n,\mathbb{K}).

Las álgebras de Lie aparecen al estudiar los grupos de Lie compactos, aunque adquieren entidad propia dada su importancia en el estudio de los grupos y sus representaciones.

Se utilizan, entre otras cosas, para el análisis de esquemas de ruptura de la simetría gauge, al estudiar el modelo quark de los hadrones, en la reducción dimensional de teorías multidimensionales,…

Dado un grupo de Lie G podemos asociarle un álgebra de Lie \mathfrak{g}. En este post vamos a ver como.

Sea v(x) un campo vectorial en el grupo de Lie G. Diremos que el campo v(x) es invariante por la izquierda si lo es respecto a los desplazamientos a la izquierda:

(L_a)_* v(x) = v(ax) con a \in G.

Antes de seguir, clarifiquemos el significado de la expresión anterior. Para empezar, si a \in G es un elemento del grupo, L_a x = ax representan las traslaciones a la izquierda de valor a. Como v(x) es un campo vectorial, lo que tenemos es una aplicación:

v: G \longrightarrow TG,

donde TG es la variedad tangente a G. Finalmente, para la aplicación:

L_a: G \longrightarrow G

de las traslaciones a izquierda, podemos construir su aplicación diferencial:

(L_a)_*: TG \longrightarrow TG.

De esta manera, todo tiene sentido: como x \in G entonces v(x) \in TG y podemos aplicarle (L_a)_* que nos devuelve un elemento de TG. Por otro lado, ax \in G y v(ax) \in TG.

Con todo lo visto, dado un grupo de Lie G, el subconjunto \mathfrak{g} del conjunto de todos los campos diferenciables \chi(G) en G es un subespacio vectorial. Como:

(L_a)_*[u(x),v(x)] = [(L_a)_* u(x), (L_a)_* v(x)],

entonces \mathfrak{g} es un álgebra de Lie del grupo de Lie G con conmutador [u(a), v(a)].

Ya hemos visto que, dado un espacio vectorial, es fácil dotarlo de estructura de variedad diferenciable. Vamos a ver que podemos dotarlo de mas estructura.

Sea \mathfrak{g} un espacio vectorial. Diremos que \mathfrak{g} es un álgebra de Lie si tenemos definido un conmutador, o sea, una aplicación bilineal

\mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}

tal que:

  1. [u,v] = -[v,u] para todo u, v \in \mathfrak{g},
  2. cumple la identidad de Jacobi: [u,[v,w]] + [w,[u,v]] + [v,[w,u]] = 0 para todo u, v, w \in \mathfrak{g}.

Si además [u,v]=0 para todo u,v \in \mathfrak{g} entonces tenmos un álgebra de Lie conmutativa.

Un ejemplo muy conocido de álgebra de Lie es el espacio euclideo tridimensional \mathbb{E}^3 donde tomamos como conmutador el producto vectorial. Otro ejemplo que nos interesa, por su relación con los grupos de Lie ya vistos, es el álgebra de Lie lineal general \mathfrak{gl}(n,\mathbb{K}) de las matrices de orden n sobre \mathbb{K} con el conmutador:

[A,B] = AB - BA.

Ya veremos que los grupos de Lie y las álgebra de Lie están estrechamente relacionadas.

Algunas cuestiones mas al respecto:

  • Dadas dos álgebras de Lie \mathfrak{g} y \mathfrak{g'} sobre un mismo cuerpo, diremos que son isomorfas si existe un isomorfismo lineal \varphi: \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g'} que conserva el conmutador: \varphi([u,v]) = [\varphi(u),\varphi(v)].
  • Si \{ e_i \} es una base del álgebra de Lie, podemos escribir los conmutadores [e_j,e_k] respecto de esta base: [e_j,e_k] = c_{jk}^i e_i que reciben el nombre de ecuaciones estructurales y los coeficientes c_{jk}^i el de constantes de estructura.

En este post empezamos a ver algunos grupos topológicos importantes en física. Lo que vamos a hacer ahora es, sencillamente, dotarlos de estructura de grupo de Lie.

Para empezar, dado que todos los grupos ya son topológicos, lo único que necesitamos es que sean una variedad diferenciable. Esto no es complicado ya que, por una parte, \mathbb{K}^n es una variedad de dimensión n y clase C^\infty con el atlas \mathcal{A} formado por la única carta \mathcal{A} = \{ id: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^n \}, y por otra, por la propiedad que ahora enunciaremos, todo espacio vectorial es una variedad diferenciable:

Sea (M,\mathcal{A}) una variedad diferenciable de dimensión n y clase C^k. Si \mathcal{A} = \{ \Phi_\alpha: U_\alpha \rightarrow \mathbb{K}^n \}_{\alpha \in I} y f: M \rightarrow N una aplicación biyectiva, entonces (N,\mathcal{A}_f) es una variedad diferenciable del mismo tipo, donde:

\mathcal{A}_f = \{ (\Phi_\alpha \circ f^{-1}): f(U_\alpha) \rightarrow \mathbb{K}^n \}_{\alpha \in I}.

Esta propiedad se cumple, en particular, cuando V es un espacio vectorial de dimensión n y base \{ u_1, \ldots, u_n\}, dado que existe un único isomorfismo lineal f: \mathbb{K}^n \rightarrow V determinado por f(e_i) = u_i, donde \{ e_1, \ldots, e_n\} es la base canónica de \mathbb{K}^n.

En resumen, sea M = End_{\mathbb{K}^n}(\mathbb{K}^n) el conjunto de endomorfismos de \mathbb{K}^n en \mathbb{K}^n, entonces es una variedad diferenciable por ser un espacio vectorial. Además, el grupo general lineal también lo es por ser un subconjunto abierto de M. Para los grupos ortogonales y unitarios necesitamos una proposición adional que permite construir grupos de Lie a partir de cocientes.

En el post anterior hemos comentado algunos grupos topológicos, que veremos en posteriores entradas que están dotados de mas estructura (grupos de Lie), que son importantes para la física. Introducimos brevemente aquí el modelo estandar de la física de partículas. Concretamente, estaremos interesados en:

SU(3) \times SU(2) \times U(1),

que hace referencia a las simetrías del lagrangiano correspondiente.

Las partículas tienen masa, espín y carga como características principales.

En el modelo estandar tenemos:

  • 12 fermiones (o partículas de materia) con espín \frac{1}{2}: los 6 leptones (electrón e, muón \mu y tauón \tau con sus respectivos neutrinos \nu_e, \nu_\mu y \nu_\tau), y los 6 quarks (up u y down d, charm c y strange s, top t y bottom b).
  • 4 bosones (o partículas mediadoras de fuerzas) con espín 1: el fotón \gamma para la interacción electromagnética, cuyo grupo gauge es U(1); los bosones W^+, W^- y Z^0 para las interacciones nucleares débiles, con grupo SU(2); y los 8 gluones para la interacción nuclear fuerte, con grupo SU(3).

La siguiente imagen es un excelente resumen de todo lo escrito:

Standard_Model_of_Elementary_Particles-es

Cuando decimos que G es un grupo topológico queremos decir que G, además de cumplir con las condiciones de grupo (operación interna . asociativa con neutro e inversos) también es un espacio topológico separable y las funciones f(a,b)=ab y g(a)=a^{-1} son contínuas (por ejemplo, en el primer caso, para todo entorno W de c = ab existen entornos U y V con a \in U y b \in V tales que UV \subset W ).

El conjunto GL(n,\mathbb{K}) de todas las matrices regulares de orden n con elementos en \mathbb{K}, un cuerpo de característica 0, es un grupo respecto a la multiplicación de matrices: el grupo lineal general.

Es sencillo comprobar que la matriz identidad I es el elemento neutro y que A^{-1} es el inverso de A.

Como los elementos de A = a^{i}_{j} los podemos vectorizar, resulta que GL(n,\mathbb{K}) \subset \mathbb{K}^{n^{2}} tal que \det A \neq 0. Llamaremos topología natural de G a la topología inducida por la topología natural de \mathbb{K}^{n^2}:

U_k = \{ C \in GL(n,\mathbb{K}): |c^{i}_{j} - a^{i}_{j} < \frac{1}{k}| \}

es una base de entornos del elemento A \in GL(n,\mathbb{K}).

Finalmente, las aplicaciones f^{i}_{j}(A,B)=a^{i}_{k} b^{k}_{j} y g^{i}_{j} = \frac{A^{i}_{j}}{det A}, donde A^{i}_{j} son los adjuntos de los elementos a^{i}_{j}, son contínuas por ser polinomios.

Tomando bases, para cualquier \mathbb{K} espacio vectorial \mathbb{V} de dimension n, podemos identificar GL(\mathbb{V}) con GL(n,\mathbb{K}).

Los grupos lineales son subgrupos cerrados de GL(n,\mathbb{K}) que se distinguen por dejar invariante una forma bilineal \Phi. El grupo seudoortogonal O(p,q), el grupo ortogonal O(n) y el grupo ortogonal especial SO(n), que aparecen cuando \mathbb{K}=\mathbb{R} y el grupo seudounitario U(p,q), el grupo unitario U(n) y el grupo unitario especial SU(n) que lo hacen cuando \mathbb{K} = \mathbb{C}.

Hace una semana y pico que estoy de vacaciones y tenía ésto abandonado. Como me he comprado unos cuantos libros (cinco en total y que me voy a leer estos días :D) de editorial URSS sobre Ciencias Físico-Matemáticas, aprovecharé para meter unos cuantos posts sobre cosas interesantes que vaya leyendo. Son libros típicos de paises del este con bastantes ejercicios donde la física y las matemáticas van muy de la mano. Lo dejaremos aquí de momento.

Para empezar, vamos a calcular numéricamente, y en mecánica clásica,  el campo creado por una partícula con masa en el espacio.

Si colocamos las fronteras de nuestro dominio \Omega \in \mathbb{R}^3 lo suficientemente lejos, el cálculo del potencial gravitatorio se reduce a resolver la ecuación de Poisson

\Delta u(x,y,z) = 4 \pi G \rho(x,y,z) si (x,y,z) \in \Omega

con

u(\bar{x},\bar{y},\bar{z}) = 0 si (\bar{x},\bar{y},\bar{z}) \in \partial \Omega,

y donde \rho(x,y,z) es la densidad de masa.

Aunque en estos casos tenemos solución analítica utilizando la función de Green, vamos a calcularla numéricamente utilizando Chombo, y mediante superposición, extenderlo a un sistema de masas puntuales.

Para empezar con la aproximación, utilizaremos gaussianas para simular las funciones \delta correspondientes a la distribución de masa puntual (mas similares a una \delta cuanto mas estrechas sean).

A continuación, colocaremos una partícula en el centro de un cubo y utilizaremos un malla adaptativa, definida manualmente (aunque Chombo también capaz de hacerlo automáticamente), que se hará mas fina a medida que se acerque a la misma. Esto permitirá tener resolución y tiempo de cálculo donde realmente se necesita:

masPun1masPun2

Colocamos fronteras Dirichlet homogeneas, y ejecutamos. El resultado es:

masPunSol1

que, al ser tridimensional, cuesta un poco de ver. Básicamente, es un campo con simétria esférica. A continuación cortamos con un plano por el centro del campo

masPunSol2masPunSol2b masPunSol2c

y lo elevamos, pues es campo gravitatorio se puede pensar como una curvatura 🙂

masPunSol3b masPunSol3

Suponemos ahora dos masas puntuales y procedemos de la misma manera. El tamaño de la partícula representa su masa.

2masPunSol1

Como se puede apreciar, hemos añadido un poco mas de resolución en la parte de la partícula mas masiva. Lo que obtenemos es (en 3D y en corte):

Finalmente, si elevamos los cortes, obtenemos:

2masPunSol3 2masPunSol3b

Finalmente, algunas gráficas correspondientes a dos nuevos casos en los que separo cada vez mas las partículas:

En el libro de Análisis numérico de Burden y Faires aparecen una serie de ejemplos y ejercicios resueltos de PDEs elípticas en 2D. Vamos a intentar resolverlos utilizando Chombo…

La primera ecuación corresponde con un ejemplo y es

\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y) = 0

en

\Omega = \{ (x,y): 0<x<0.5, 0<y<0.5\}

y cuyas condiciones en la frontera \partial \Omega son

u(x,0)=0, u(0,y)=0, u(x,0.5)=200x, u(0.5,y)=200y.

El resultado es:

ejeM1

Para el ejercicio 12.1.1

u_{xx} + u_{yy} = 4

en

\Omega = \{ (x,y): 0<x<1, 0<y<2\}

y cuyas condiciones en la frontera \partial \Omega son

u(x,0)=x^2, u(0,y)=y^2, u(x,2)=(x-2)^2, u(1,y)=(y-1)^2.

El resultado es:

ejeR1

A continuación, para el 12.1.3.a

u_{xx} + u_{yy} = 0

en

\Omega = \{ (x,y): 0<x<1, 0<y<1\}

y cuyas condiciones en la frontera \partial \Omega son

u(x,0)=0, u(0,y)=0, u(x,1)=x, u(1,y)=y.

El resultado es:

ejeR3a

En el 12.1.3.b encontramos

\Delta u = -(\cos(x+y)+\cos(x-y))

en

\Omega = \{ (x,y): 0<x<\pi, 0<y<\frac{\pi}{2}\}

y

u(x,0)=\cos x , u(0,y)=\cos y, u(x,\frac{\pi}{2})=0, u(\pi,y)=-\cos y,

obteniendo:

 ejeR3b ejeR3b2

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