Para empezar, vamos a calcular numéricamente, y en mecánica clásica,  el campo creado por una partícula con masa en el espacio.

Si colocamos las fronteras de nuestro dominio \Omega \in \mathbb{R}^3 lo suficientemente lejos, el cálculo del potencial gravitatorio se reduce a resolver la ecuación de Poisson

\Delta u(x,y,z) = 4 \pi G \rho(x,y,z) si (x,y,z) \in \Omega

con

u(\bar{x},\bar{y},\bar{z}) = 0 si (\bar{x},\bar{y},\bar{z}) \in \partial \Omega,

y donde \rho(x,y,z) es la densidad de masa.

Aunque en estos casos tenemos solución analítica utilizando la función de Green, vamos a calcularla numéricamente utilizando Chombo, y mediante superposición, extenderlo a un sistema de masas puntuales.

Para empezar con la aproximación, utilizaremos gaussianas para simular las funciones \delta correspondientes a la distribución de masa puntual (mas similares a una \delta cuanto mas estrechas sean).

A continuación, colocaremos una partícula en el centro de un cubo y utilizaremos un malla adaptativa, definida manualmente (aunque Chombo también capaz de hacerlo automáticamente), que se hará mas fina a medida que se acerque a la misma. Esto permitirá tener resolución y tiempo de cálculo donde realmente se necesita:

masPun1masPun2

Colocamos fronteras Dirichlet homogeneas, y ejecutamos. El resultado es:

masPunSol1

que, al ser tridimensional, cuesta un poco de ver. Básicamente, es un campo con simétria esférica. A continuación cortamos con un plano por el centro del campo

masPunSol2masPunSol2b masPunSol2c

y lo elevamos, pues es campo gravitatorio se puede pensar como una curvatura 🙂

masPunSol3b masPunSol3

Suponemos ahora dos masas puntuales y procedemos de la misma manera. El tamaño de la partícula representa su masa.

2masPunSol1

Como se puede apreciar, hemos añadido un poco mas de resolución en la parte de la partícula mas masiva. Lo que obtenemos es (en 3D y en corte):

Finalmente, si elevamos los cortes, obtenemos:

2masPunSol3 2masPunSol3b

Finalmente, algunas gráficas correspondientes a dos nuevos casos en los que separo cada vez mas las partículas:

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