Cuando decimos que G es un grupo topológico queremos decir que G, además de cumplir con las condiciones de grupo (operación interna . asociativa con neutro e inversos) también es un espacio topológico separable y las funciones f(a,b)=ab y g(a)=a^{-1} son contínuas (por ejemplo, en el primer caso, para todo entorno W de c = ab existen entornos U y V con a \in U y b \in V tales que UV \subset W ).

El conjunto GL(n,\mathbb{K}) de todas las matrices regulares de orden n con elementos en \mathbb{K}, un cuerpo de característica 0, es un grupo respecto a la multiplicación de matrices: el grupo lineal general.

Es sencillo comprobar que la matriz identidad I es el elemento neutro y que A^{-1} es el inverso de A.

Como los elementos de A = a^{i}_{j} los podemos vectorizar, resulta que GL(n,\mathbb{K}) \subset \mathbb{K}^{n^{2}} tal que \det A \neq 0. Llamaremos topología natural de G a la topología inducida por la topología natural de \mathbb{K}^{n^2}:

U_k = \{ C \in GL(n,\mathbb{K}): |c^{i}_{j} - a^{i}_{j} < \frac{1}{k}| \}

es una base de entornos del elemento A \in GL(n,\mathbb{K}).

Finalmente, las aplicaciones f^{i}_{j}(A,B)=a^{i}_{k} b^{k}_{j} y g^{i}_{j} = \frac{A^{i}_{j}}{det A}, donde A^{i}_{j} son los adjuntos de los elementos a^{i}_{j}, son contínuas por ser polinomios.

Tomando bases, para cualquier \mathbb{K} espacio vectorial \mathbb{V} de dimension n, podemos identificar GL(\mathbb{V}) con GL(n,\mathbb{K}).

Los grupos lineales son subgrupos cerrados de GL(n,\mathbb{K}) que se distinguen por dejar invariante una forma bilineal \Phi. El grupo seudoortogonal O(p,q), el grupo ortogonal O(n) y el grupo ortogonal especial SO(n), que aparecen cuando \mathbb{K}=\mathbb{R} y el grupo seudounitario U(p,q), el grupo unitario U(n) y el grupo unitario especial SU(n) que lo hacen cuando \mathbb{K} = \mathbb{C}.

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