En este post empezamos a ver algunos grupos topológicos importantes en física. Lo que vamos a hacer ahora es, sencillamente, dotarlos de estructura de grupo de Lie.

Para empezar, dado que todos los grupos ya son topológicos, lo único que necesitamos es que sean una variedad diferenciable. Esto no es complicado ya que, por una parte, \mathbb{K}^n es una variedad de dimensión n y clase C^\infty con el atlas \mathcal{A} formado por la única carta \mathcal{A} = \{ id: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^n \}, y por otra, por la propiedad que ahora enunciaremos, todo espacio vectorial es una variedad diferenciable:

Sea (M,\mathcal{A}) una variedad diferenciable de dimensión n y clase C^k. Si \mathcal{A} = \{ \Phi_\alpha: U_\alpha \rightarrow \mathbb{K}^n \}_{\alpha \in I} y f: M \rightarrow N una aplicación biyectiva, entonces (N,\mathcal{A}_f) es una variedad diferenciable del mismo tipo, donde:

\mathcal{A}_f = \{ (\Phi_\alpha \circ f^{-1}): f(U_\alpha) \rightarrow \mathbb{K}^n \}_{\alpha \in I}.

Esta propiedad se cumple, en particular, cuando V es un espacio vectorial de dimensión n y base \{ u_1, \ldots, u_n\}, dado que existe un único isomorfismo lineal f: \mathbb{K}^n \rightarrow V determinado por f(e_i) = u_i, donde \{ e_1, \ldots, e_n\} es la base canónica de \mathbb{K}^n.

En resumen, sea M = End_{\mathbb{K}^n}(\mathbb{K}^n) el conjunto de endomorfismos de \mathbb{K}^n en \mathbb{K}^n, entonces es una variedad diferenciable por ser un espacio vectorial. Además, el grupo general lineal también lo es por ser un subconjunto abierto de M. Para los grupos ortogonales y unitarios necesitamos una proposición adional que permite construir grupos de Lie a partir de cocientes.

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