Ya hemos visto que, dado un espacio vectorial, es fácil dotarlo de estructura de variedad diferenciable. Vamos a ver que podemos dotarlo de mas estructura.
Sea un espacio vectorial. Diremos que es un álgebra de Lie si tenemos definido un conmutador, o sea, una aplicación bilineal
tal que:
- para todo ,
- cumple la identidad de Jacobi: para todo .
Si además para todo entonces tenmos un álgebra de Lie conmutativa.
Un ejemplo muy conocido de álgebra de Lie es el espacio euclideo tridimensional donde tomamos como conmutador el producto vectorial. Otro ejemplo que nos interesa, por su relación con los grupos de Lie ya vistos, es el álgebra de Lie lineal general de las matrices de orden sobre con el conmutador:
.
Ya veremos que los grupos de Lie y las álgebra de Lie están estrechamente relacionadas.
Algunas cuestiones mas al respecto:
- Dadas dos álgebras de Lie y sobre un mismo cuerpo, diremos que son isomorfas si existe un isomorfismo lineal que conserva el conmutador: .
- Si es una base del álgebra de Lie, podemos escribir los conmutadores respecto de esta base: que reciben el nombre de ecuaciones estructurales y los coeficientes el de constantes de estructura.
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