Ya hemos visto que, dado un espacio vectorial, es fácil dotarlo de estructura de variedad diferenciable. Vamos a ver que podemos dotarlo de mas estructura.

Sea \mathfrak{g} un espacio vectorial. Diremos que \mathfrak{g} es un álgebra de Lie si tenemos definido un conmutador, o sea, una aplicación bilineal

\mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}

tal que:

  1. [u,v] = -[v,u] para todo u, v \in \mathfrak{g},
  2. cumple la identidad de Jacobi: [u,[v,w]] + [w,[u,v]] + [v,[w,u]] = 0 para todo u, v, w \in \mathfrak{g}.

Si además [u,v]=0 para todo u,v \in \mathfrak{g} entonces tenmos un álgebra de Lie conmutativa.

Un ejemplo muy conocido de álgebra de Lie es el espacio euclideo tridimensional \mathbb{E}^3 donde tomamos como conmutador el producto vectorial. Otro ejemplo que nos interesa, por su relación con los grupos de Lie ya vistos, es el álgebra de Lie lineal general \mathfrak{gl}(n,\mathbb{K}) de las matrices de orden n sobre \mathbb{K} con el conmutador:

[A,B] = AB - BA.

Ya veremos que los grupos de Lie y las álgebra de Lie están estrechamente relacionadas.

Algunas cuestiones mas al respecto:

  • Dadas dos álgebras de Lie \mathfrak{g} y \mathfrak{g'} sobre un mismo cuerpo, diremos que son isomorfas si existe un isomorfismo lineal \varphi: \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g'} que conserva el conmutador: \varphi([u,v]) = [\varphi(u),\varphi(v)].
  • Si \{ e_i \} es una base del álgebra de Lie, podemos escribir los conmutadores [e_j,e_k] respecto de esta base: [e_j,e_k] = c_{jk}^i e_i que reciben el nombre de ecuaciones estructurales y los coeficientes c_{jk}^i el de constantes de estructura.
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