Las álgebras de Lie aparecen al estudiar los grupos de Lie compactos, aunque adquieren entidad propia dada su importancia en el estudio de los grupos y sus representaciones.

Se utilizan, entre otras cosas, para el análisis de esquemas de ruptura de la simetría gauge, al estudiar el modelo quark de los hadrones, en la reducción dimensional de teorías multidimensionales,…

Dado un grupo de Lie G podemos asociarle un álgebra de Lie \mathfrak{g}. En este post vamos a ver como.

Sea v(x) un campo vectorial en el grupo de Lie G. Diremos que el campo v(x) es invariante por la izquierda si lo es respecto a los desplazamientos a la izquierda:

(L_a)_* v(x) = v(ax) con a \in G.

Antes de seguir, clarifiquemos el significado de la expresión anterior. Para empezar, si a \in G es un elemento del grupo, L_a x = ax representan las traslaciones a la izquierda de valor a. Como v(x) es un campo vectorial, lo que tenemos es una aplicación:

v: G \longrightarrow TG,

donde TG es la variedad tangente a G. Finalmente, para la aplicación:

L_a: G \longrightarrow G

de las traslaciones a izquierda, podemos construir su aplicación diferencial:

(L_a)_*: TG \longrightarrow TG.

De esta manera, todo tiene sentido: como x \in G entonces v(x) \in TG y podemos aplicarle (L_a)_* que nos devuelve un elemento de TG. Por otro lado, ax \in G y v(ax) \in TG.

Con todo lo visto, dado un grupo de Lie G, el subconjunto \mathfrak{g} del conjunto de todos los campos diferenciables \chi(G) en G es un subespacio vectorial. Como:

(L_a)_*[u(x),v(x)] = [(L_a)_* u(x), (L_a)_* v(x)],

entonces \mathfrak{g} es un álgebra de Lie del grupo de Lie G con conmutador [u(a), v(a)].

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