En el caso de GL(n,\mathbb{K}), un desplazamiento a la izquierda tiene la forma:

L_A X = AX

donde AX es el producto de matrices y cuya diferenciación, que es lo que nos interesa, es:

(L_A)_* U = AU con U \in M(n,\mathbb{K}).

De esta manera, todo campo vectorial invariante por la izquierda en GL(n,\mathbb{K}) tiene la forma U(A)= AU. Si tomamos como U los elementos e_\alpha^\beta (las matrices con todos los elementos nulos excepto en la fila \alpha-ésima y la columna \beta-ésima que contiene a la unidad), obtenemos una base de estos campos:

e_\alpha^\beta (A) = A e_\alpha^\beta

que son las matrices de orden n donde los elementos no nulos forman la columna \beta-ésima.

Sean U(A)=AU y V(A)=AV un par de campos invariantes por la izquierda. Teniendo en cuenta que:

\frac{\partial}{\partial a_\mu^\nu}a_\alpha^\beta = \delta_\mu^\alpha \delta_\beta^\nu

obtenemos:

[U(A),V(A)] = A(UV-VU).

Tomando A=I, obtenemos un álgebra de Lie que podemos identificarla con el espacio tangente a la unidad del grupo GL(n,\mathbb{K}) que coincide con el espacio M(n,\mathbb{K}) de todas las matrices de orden n con conmutador:

[U,V] = UV-VU,

y que denotaremos mediante \mathfrak{gl}(n,\mathbb{K}).

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