Dado el campo vectorial invariante por la izquierda

u(a) = (L_a)_* u del grupo de Lie G,

llamamos trayectorias del campo a la soluciones de la ODE:

\frac{d}{dt}a = u(a),

y que, fijada una condición inicial a(0) = a, la trayectoria queda unívocamente determinada en forma de serie exponencial:

a(t) = \exp (tu) a con \exp(tu) = I + tu + \frac{t^2}{2}u^2 + \ldots,

donde u^r(a) = u(a) \circ u^{r-1}(a).

Las trayectorias:

  1. son analíticas  y esta definidas para todo valor de t por el carácter anaítico y completo de los campos invariantes.
  2. que pasan por la unidad del grupo de Lie, a(0) = e, son grupos uniparamétricos de G, ya que cumplen la propiedad a(s+t)=a(s)a(t). En este caso:

\exp: \mathfrak{g} \longrightarrow G \, / \, u \mapsto \exp u = a(1).

En el caso de GL(n,\mathbb{K}), hemos visto que los campos invariantes a la izquierda tienen la forma:

U(A) = AU con A \in GL(n,\mathbb{K}) y U \in M(n,\mathbb{K}).

El subgrupo uniparamétrico A(t) es la solución a:

\frac{d}{dt}A = AU con A(0)=I,

y que es:

A(t) = \exp(tU) = \Sigma_{s=0}^{\infty}\frac{t^s}{s!}U^s.

De esta manera, tenemos:

\exp: \mathfrak{g}(n,\mathbb{K}) \longrightarrow GL(n,\mathbb{K}) \, / \, A = e^U,

es decir, la exponencial matricial habitual.

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