Una representación lineal de un grupo G es un homomorfismo \varphi de G en el grupo de Lie GL(\mathbb{V}) donde \mathbb{V} es un espacio vectorial que se puede asociar de manera natural a GL(n,\mathbb{K}) escogiendo una base. Podemos hablar entonces de la acción del grupo G sobre el espacio vectorial \mathbb{V} de la que, con la base, tenemos una representación matricial.

Un homomorfismo \varphi es una aplicación entre grupos \varphi: G \longrightarrow G' que conserva el producto \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b). Hablamos de automorfismo cuando G = G'.

Por ejemplo, si consideramos:

\varphi: GL(n,\mathbb{K}) \longrightarrow \mathbb{K}_0 \,/\, \varphi(A) = \det A,

entonces \det A es un polinomio respecto de las componentes de A, por lo que es analítica, y es homomorfismo de grupos de Lie ya que:

\det AB = \det A \det B.

Además, su nucleo son aquellas matrices con \det A = 1, por lo que \ker \varphi = SL(n,\mathbb{K}), el grupo lineal especial. Si calculamos ahora su diferencial, con las reglas de diferenciacion de un determinante y calculando su valor en la unidad de GL(n,\mathbb{K}) tenemos:

det_* U = tr U,

por lo que tenemos un homomorfismo del algebra de Lie \mathfrak{gl}(n,\mathbb{K}) sobre el álgebra \mathbb{K} cuyo núcleo, las matrice de traza nula, es el ideal \mathfrak{sl}(n,\mathbb{K}).

En el estudio de las representaciones destacan los caracteres de las representaciones. Dada una representación \varphi, el carácter de esta es

\chi_\varphi(a) = tr \varphi(a).

que no depende de la base.

Sea G un grupo de Lie y \mathfrak{g} su álgebra de Lie. El conjunto Aut(G) de los automorfismos de G es un grupo de Lie si G es conexo.

Dos elementos x y x' diremos que son conjugados si:

x' = a x a^{-1}.

Los automorfismos internos son aquellos automorfismos que relacionan elementos conjugados. Sus diferenciales se denotan mediante Ad(a) con a \in G y forman un subgrupo de Lie: el grupo adjunto Ad(G) \subset Aut(\mathfrak{g}).

Si \varphi_* es la diferencial del homomorfismo \varphi, dado un campo vectorial u(a) invariante por la izquierda en G entonces \varphi_* u es un campo vectorial invariante por la izquierda de G', por lo que todo homomorfismo de grupos de Lie genera un homomorfismo de sus álgebras de Lie ya que:

\varphi_*[u,v] = [\varphi_* u, \varphi_* v].

Construimos la aplicación:

\Phi: Aut(G) \longrightarrow Aut(\mathfrak{g}) \,/\, \varphi \mapsto \varphi_*

que pone en correspondencia cada automorfismo \varphi con su diferencial \varphi_*, que es una representación lineal del grupo Aug(G) en el álgebra de Lie \mathfrak{g}. Si consideramos la diferencial de su restricción a los automorfismos internos, obtenemos:

Ad: G \longrightarrow Aut(\mathfrak{g}) \,/\, a \mapsto Ad(a) = Int_*(a),

que es la representación adjunta del grupo G en el álgebra \mathfrak{g} y que, como todos los automorfismos del álgebra, conserva el conmutador:

Ad(a)[u,v] = [Ad(a)u, Ad(a) v].

Anuncios