Una q-forma o una forma multilineal \Phi (una métrica, por ejemplo, es una 2-forma, una forma bilineal) es invariante si es invariante por la izquierda, o sea, si L_a^* \Phi = \Phi (recordar que L_a es un desplazamiento en el grupo G, (L_a)_* es un desplazamiento en el espacio tangente TG y L_a^* lo es en el espacio cotangente T^*G) e invariente por la derecha. Son, por tanto, invariantes respecto a las transformaciones del grupo adjunto.

En el caso de formas bilineales, \Phi es invariante si:

\Phi(Ad(a) u, Ad(a) v) = \Phi(u,v),

o, lo que es lo mismo, si:

\Phi([w,u],v) + \Phi(u,[w,v]) = 0.

Cuando un grupo de Lie admite una forma bilineal simétrica invariante definida positiva o negativa, entonces su álgebra de Lie es equivalente a un espacio euclideo con métrica g(u,v) = \Phi(u,v). Son las álgebras de Lie compactas, y se corresponden con los grupos de Lie compactos.

La forma de Killing es un ejemplo importante de forma bilineal simétrica invariante:

B(u,v) = tr (ad(u) ad(v)),

que, en componentes, queda:

B(u,v) = g_{ij} u^i u^j. Como (ad(u))^i_j = c^i_{kj}u^k, entonces g_{ij} = c^k_{is} c^s_{jk}.

Por ejemplo, la forma de Killing del grupo GL(n,\mathbb{K}) quedaria:

B(u,v) = 2n\,tr(uv) - 2\,tr(u)\,tr(v),

que es degenerada. Para hallarla, tomamos la base de matrices E^\alpha_\beta (matrices con todas las componentes a cero excepto en la componente de fila \alpha y  columna \beta que contiene la unidad) del álgebra de Lie correspondiente y como:

ad(u) E^\alpha_\beta = (\delta^\alpha_\sigma u^\tau_\beta - \delta^\tau_\beta u^\alpha_\sigma) E^\sigma_\tau,

entonces:

ad(u) \cdot ad(v) E^\alpha_\beta = (\delta^\alpha_\sigma u^\tau_\gamma v^\gamma_\beta + \delta^\tau_\beta v^\alpha_\gamma u^\gamma_\sigma - u^\alpha_\sigma v^\tau_\beta - v^\alpha_\sigma u^\tau_\beta) E^\sigma_\tau.

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