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Como \Delta u = f \leftrightarrow u = \Delta^{-1} f entonces \mathcal{M}(u) = \mathcal{M}(\Delta^{-1} f) y

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f) = \frac{1}{r} M(f) + \frac{1}{r^2}n_i D^i(f) + \frac{3}{2} \frac{1}{r^3} n_{\langle i} n_{j \rangle} Q^{ij}(f) + O(\frac{1}{r^4}) +

+ \Delta_0^{-1} \mathcal{M}(f)

con

M(f) = - \frac{1}{4 \pi} \int f,

D^i(f) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i f,

Q^{ij}(f) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j f

y \mathcal{M}(f) = 0 si f es de soporte compacto.

 1.- \boxed{\Delta \Theta_X = \frac{3}{4} 8 \pi \mathcal{D}^i S_i^*} donde \Theta_X := \mathcal{D}_j X^j

En este caso, f_{\Theta_X} := \frac{3}{4} 8 \pi \mathcal{D}^i S_i^* y, por tanto, \mathcal{M}(f_{\Theta_X})=0. De esta manera, tenemos:

M(f_{\Theta_X}) =,

D^i(f_{\Theta_X}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i \frac{3}{4} 8 \pi \mathcal{D}^i S_i^* = -\frac{3}{2} (\int \mathcal{D}^j(x^i S_j^*) d^3x' - \int S_j^* \mathcal{D}^j x^i d^3x'),

Q^{ij}(f_{\Theta_X}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j \frac{3}{4} 8 \pi \mathcal{D}^i S_i^*

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_{\Theta_X}) = + O()

2.- \boxed{\Delta X^i = 8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X}

Ahora hacemos f_{X^i} := 8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X

M(f_{X^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int 8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X,

D^i(f_{X^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i (8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X),

Q^{ij}(f_{X^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j (8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X)

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_{X^i}) = + O()

3.- \boxed{\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7}}

En esta ocasión, f_\psi := -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7}

M(f_\psi) = - \frac{1}{4 \pi} \int -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7},

D^i(f_\psi) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i (-2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7}),

Q^{ij}(f_\psi) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j (-2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7})

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_\psi) = + O()

4.- \boxed{ \Delta (\alpha \psi) = \big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi) }

Definimos f_{\alpha \psi}:=\big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi)

M(f_{\alpha \psi}) = - \frac{1}{4 \pi} \int \big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi),

D^i(f_{\alpha \psi}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i (\big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi)),

Q^{ij}(f_{\alpha \psi}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j (\big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi))

\mathcal{M}(\Delta^{-1} f_{\alpha \psi}) = + O()

5.- \boxed{\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij})) } con \Theta_\beta := \mathcal{D}_i \beta^i

Para esta ecuación, f_{\Theta_\beta}:=\frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij}))

M(f_{\Theta_\beta}) = - \frac{1}{4 \pi} \int \frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij})),

D^i(f_{\Theta_\beta}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i \frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij})),

Q^{ij}(f_{\Theta_\beta}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j \frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij}))

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_{\Theta_\beta}) = + O()

6.- \boxed{\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta}

Finalmente, tenemos f_{\beta^i}:=\mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta

M(f_{\beta^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int \mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta,

D^i(f_{\beta^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i (\mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta),

Q^{ij}(f_{\beta^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j (\mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta)

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_{\beta^i}) = + O()

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Un salto cualitativo en las matemáticas se produce al introducir las estructuras algebraicas: un conjunto de elementos con unas operaciones cumpliendo ciertas propiedades, ya que nos permiten abstraernos de los objetos concretos y sacar conclusiones generales a partir de las propiedades que cumplen, de manera que podemos demostrar teoremas que seran tan validos en los enteros como en los polinomios, por decir algo.

Los elementos pueden ser números (\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, …) o no (polinomios, matrices, funciones, …). Las operaciones (o leyes de composición) pueden ser internas (la suma, el producto, la composición, …) o externas (producto por escalar, …) y las propiedades son la asociatividad, la existencia de neutro, de inverso, la conmutatividad, distributividad, etc.

Pero como en las matemáticas siempre podemos abstraer mas, podemos convertir a las propias estructuras algebraicas en nuevos objetos de estudio e intentar buscar que tienen en común entre ellas, dando origen al álgebra universal.

En el álgebra universal tenemos categorías. Una categoría \mathcal{C} está formada por:

  • Obj(\mathcal{C}): un conjunto de objetos, que denotaremos mediante X, Y, \ldots

La siguiente URL realiza una busqueda en la prestigiosa revista Annals of Mathematics de todos aquellos artículos que contengan la palabra Spain:

http://annals.math.princeton.edu/?s=Spain

que nos devuelve como resultado 22 artículos a partir del 2004 que tienen a algún español entre sus autores. De estos, los únicos autores que repiten son: Diego Cordoba (3), Francisco Gancedo (3), Antonio Cordoba (2), Angel Castro (2) y Gabriel Navarro (2).

Por cierto, una curiosidad: resulta que Antonio Cordoba ¡es el padre de Diego Cordoba! Supongo que el padre debe estar orgullosisimo de que el hijo ya lo supere (por lo menos en artículos en Annals 🙂

Dado cualquier número primo p, el conjunto \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} de los enteros módulo p tiene estructura de cuerpo. Solemos escribir \mathbb{F}_p para referirnos al cuerpo finito de p elementos.

En particular, cuando p=2, tenemos el cuerpo \mathbb{F}_2 con la suma y el producto, que están en correspondencia, desde el punto de vista de las álgebras de Boole, con las operaciones XOR y AND.

Si \mathbb{K} es un cuerpo, se puede dotar fácilmente a \mathbb{K}^n de estructura de cuerpo.

Por lo tanto, (\mathbb{F}_2)^n es un cuerpo, también finito. Como todos los cuerpos finitos de q elementos son isomorfos entre ellos y el cuerpo anterior tiene 2^n, estamos tratando con \mathbb{F}_{2^n}. Podriamos haber construido el cuerpo de otra manera: buscar un polinomio irreducible f(x) de grado n con coeficientes en \mathbb{F}_2 y construir F_{2^n} como:

\mathbb{F}_{2^n} = \frac{\mathbb{F}_2[x]}{\langle f(x) \rangle}.

Se puede demostrar que cualquier cuerpo finito \mathbb{F}_p es un espacio vectorial sobre cierto \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}. En particular, \mathbb{F}_{2^n} es un espacio vectorial sobre \mathbb{F}_2 de dimensión n.

Existe un teorema, que en nuestro nos lleva a algo que ya sabiamos, que nos dice que si V es un \mathbb{K}-ev de dimensión n entonces V es isomorfo a \mathbb{F}^n (en nuestro caso V es \mathbb{F}_{2^n} y \mathbb{K} es \mathbb{F}_2, por lo que \mathbb{F}_{2^n} \cong (\mathbb{F}_2)^n).

Dado un anillo R y sea A = R[x] el anilllo de polinomios sobre R. Entonces la derivada formal de f(x)=a_nx^n + \ldots + a_1 x + a_0 \in R[x] es f'(x) = Df(x) = n a_n x^{n-1} + \ldots + a_1.

 

 

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