Dado cualquier número primo p, el conjunto \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} de los enteros módulo p tiene estructura de cuerpo. Solemos escribir \mathbb{F}_p para referirnos al cuerpo finito de p elementos.

En particular, cuando p=2, tenemos el cuerpo \mathbb{F}_2 con la suma y el producto, que están en correspondencia, desde el punto de vista de las álgebras de Boole, con las operaciones XOR y AND.

Si \mathbb{K} es un cuerpo, se puede dotar fácilmente a \mathbb{K}^n de estructura de cuerpo.

Por lo tanto, (\mathbb{F}_2)^n es un cuerpo, también finito. Como todos los cuerpos finitos de q elementos son isomorfos entre ellos y el cuerpo anterior tiene 2^n, estamos tratando con \mathbb{F}_{2^n}. Podriamos haber construido el cuerpo de otra manera: buscar un polinomio irreducible f(x) de grado n con coeficientes en \mathbb{F}_2 y construir F_{2^n} como:

\mathbb{F}_{2^n} = \frac{\mathbb{F}_2[x]}{\langle f(x) \rangle}.

Se puede demostrar que cualquier cuerpo finito \mathbb{F}_p es un espacio vectorial sobre cierto \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}. En particular, \mathbb{F}_{2^n} es un espacio vectorial sobre \mathbb{F}_2 de dimensión n.

Existe un teorema, que en nuestro nos lleva a algo que ya sabiamos, que nos dice que si V es un \mathbb{K}-ev de dimensión n entonces V es isomorfo a \mathbb{F}^n (en nuestro caso V es \mathbb{F}_{2^n} y \mathbb{K} es \mathbb{F}_2, por lo que \mathbb{F}_{2^n} \cong (\mathbb{F}_2)^n).

Dado un anillo R y sea A = R[x] el anilllo de polinomios sobre R. Entonces la derivada formal de f(x)=a_nx^n + \ldots + a_1 x + a_0 \in R[x] es f'(x) = Df(x) = n a_n x^{n-1} + \ldots + a_1.

 

 

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