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Para una tríada (tétrada) \{ \hat{e}_i \}, podemos calcular sus coeficientes de estructura c_{ij}^{\phantom{ij}k}: escribimos su corchete de Lie en función de los elementos de la tríada (tétrada):

[\hat{e}_i, \hat{e}_j] = c_{ij}^{\phantom{ij}k} \hat{e}_k.

En el caso de la tríada (tétrada) correspondiente a las esféricas normalizadas:

\{ \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}}, \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \},

tenemos:

[\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} , \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}] = -[\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}}] =

= \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}}) \partial_{\theta} - \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} (\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}) \partial_{\bar{r}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} [\partial_{\bar{r}},\partial_{\theta}] =

-\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \hat{e}_{\theta},

[\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} , \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi}] = - [\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi}, \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}}] =

= \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta) \partial_{\varphi} - \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} (\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}) \partial_{\bar{r}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [\partial_{\bar{r}},\partial_{\theta}] =

= -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \hat{e}_{\varphi},

[\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} , \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi}] = - [\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi}, \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}] =

= \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} ( \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta ) \partial_{\varphi} - \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} (\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} ) \partial_{\theta} + \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [\partial_{\theta} ,\partial_{\varphi}] =

= -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \cot \theta \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \cot \theta \hat{e}_{\varphi}.

De esta manera, tenemos:

[\hat{e}_{\bar{r}}, \hat{e}_{\theta}] = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \hat{e}_{\theta} = c_{\hat{\bar{r}}\hat{\theta}}^{\phantom{r \theta} \hat{\theta}} = -c_{\hat{\theta} \hat{\bar{r}}}^{\phantom{\theta r} \hat{\theta}},

[\hat{e}_{\bar{r}}, \hat{e}_{\varphi}] = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \hat{e}_{\varphi} = c_{\hat{\bar{r}}\hat{\varphi}}^{\phantom{r \varphi} \hat{\varphi}} = -c_{\hat{\varphi} \hat{\bar{r}}}^{\phantom{\varphi r} \hat{\varphi}},

[\hat{e}_{\theta}, \hat{e}_{\varphi}] = -\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \cot \theta \hat{e}_{\varphi} = c_{\hat{\theta}\hat{\varphi}}^{\phantom{\theta \varphi} \hat{\varphi}} = -c_{\hat{\varphi} \hat{\theta}}^{\phantom{\varphi \theta} \hat{\varphi}},

A continuación un video en varios idiomas que cierra el proyecto Supercomputación y eCiencia financiado por el programa Consolider en el que nuestro grupo participaba, y yo estuve contratado, en el área de Astrofísica. De hecho, uno de los que participa directamente en el vídeo es el Dr. Miguel Ángel Aloy, mi jefe 🙂 .

Además, como narrador del vídeo en castellano han contado con la participación del actor Morgan Freeman… 😉

Sin más dilación, ¡a disfrutar del vídeo! (castellano, inglés o catalán):

Considerando las dos bases, holonómica y ortonormal, para el espacio tangente introducidas en este post:

\{ e_i \} = \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \},

\{ \hat{e}_i \} = \{ \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}\partial_{\bar{r}}, \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \},

tenemos que:

\hat{e}_1 = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2}e_1, \hat{e}_2 = \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} e_2 y \hat{e}_3 = \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta e_3,

y, por tanto:

A_{\hat{i}}^{i} = \left(  \begin{array}{ccc} \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} & 0 & 0 \\  0 & \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} & 0 \\  0 & 0 & \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \csc \theta \end{array}  \right) i A_{i}^{\hat{i}} = \left( \begin{array}{ccc}  \frac{a^2}{(a-\bar{r})^2} & 0 & 0 \\  0 & \frac{a\bar{r}}{a-\bar{r}} & 0 \\  0 & 0 & \frac{a\bar{r}}{a-\bar{r}} \sin \theta  \end{array}  \right).

Vamos a encontrar la expresión de las derivadas covariante en la base normalizada mediante cambios de base. Antes de empezar, dos consideraciones: en primer lugar, T^i y T^{\hat{i}} son tensores una vez contravariante, o lo que es lo mismo, son campos vectoriales. Por la linealidad de la conexión, podemos centrarnos en la derivada covariante de los elementos de la base. En segundo lugar, las derivadas parciales no afectan a los escalares, que están sobre la variedad y no en el espacio tangente.

Empezamos:

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} A_{\bar{r}}^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}},

\partial_{\bar{r}} T^{\bar{r}} + \frac{2}{a-\bar{r}} T^{\bar{r}} = \partial_{\bar{r}} (T^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}}) + \frac{2}{a-\bar{r}} T^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\bar{r}}}^{\bar{r}} = \partial_{\bar{r}}(\frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}}) + \frac{2}{a-\bar{r}} \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} =

= -\frac{2(a-\bar{r})}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} + \frac{2(a-\bar{r})}{a^2} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}},

con lo que:

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\bar{r}}}}.

Para:

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\theta} = \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} A_{\bar{r}}^{\hat{\bar{r}}} A_{\hat{\theta}}^{\theta} = \frac{a^2}{(a-\bar{r})^2} \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}},

\partial_{\bar{r}} T^{\theta} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\theta} = \partial_{\bar{r}} (T^{\hat{\theta}} A_{\hat{\theta}}^{\theta}) + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}} T^{\hat{\theta}} A_{\hat{\theta}}^{\theta} = \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} T^{\hat{\theta}}) + \frac{a}{a\bar{r} -\bar{r}} \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} T^{\hat{\theta}} =

= \partial_{\bar{r}} (\frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}}) T^{\hat{\theta}} + \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} + \frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} = -\frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} + \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} + \frac{1}{\bar{r}^2} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}},

tenemos:

\frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} \mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} \Leftrightarrow \boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\theta}}}

Procediendo de la misma manera, obtenemos:

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\hat{\bar{r}}} T^{\hat{\varphi}} },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\bar{r}}} - T^{\hat{\theta}} ] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} [ \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\theta}} + T^{\hat{\bar{r}}} ] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\theta}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\hat{\theta}} T^{\hat{\varphi}} },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\bar{r}}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\bar{r}}} - \sin \theta T^{\hat{\varphi}}] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\theta}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\theta}} - \cos \theta T^{\hat{\varphi}}] },

\boxed{\mathcal{D}_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\varphi}} = \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta [ \partial_{\hat{\varphi}} T^{\hat{\varphi}} + \sin \theta T^{\hat{\bar{r}}} + \cos \theta T^{\hat{\theta}} }.

Vamos a expresar las ecuaciones covariantes de la aproximación CFC en las coordenadas \bar{r}, \theta, \varphi a las que llamaremos esféricas compactificadas, puesto que son coordenadas esféricas donde la coordenada radial r la hemos cambiado por la coordenada \bar{r} cuyo dominio [0,1] es compacto:

r=\frac{a \bar{r}}{a-\bar{r}}.

Como teniamos:

\phi_1(r,\theta,\varphi) = r (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta) con (r,\theta,\varphi) \in [0,+\infty[ \times [0,\pi] \times [0,2\pi],

y ahora tenemos:

\phi_2(\bar{r},\theta,\varphi) = (\frac{a \bar{r}}{a-\bar{r}},\theta,\varphi),

entonces:

\phi_1 \circ \phi_2 =: \phi(\bar{r},\theta,\varphi) = \frac{a \bar{r}}{a-\bar{r}} (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta) con (\bar{r},\theta,\varphi) \in [0,1] \times [0,\pi] \times [0,2\pi].

Ahora, llamando a nuestra función \phi en Mathematica obtenemos los coeficientes de Laplaciano, la métrica y los inversos de los coeficientes de Lamé :

esfericasCompactificadas.

El operador Laplaciano queda:

\frac{(a-\bar{r})^4}{a^4} \partial_{\bar{r}\bar{r}} + \frac{2}{\bar{r}}\frac{(a-\bar{r})^4}{a^4} \partial_{\bar{r}} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\theta \theta} + \cot \theta \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\theta} + \csc \theta \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\varphi \varphi},

la métrica queda:

\frac{a^4}{(a-\bar{r})^4} d\bar{r} \otimes d\bar{r} + \frac{a^2 \bar{r}^2}{(a-\bar{r})^2} d\theta \otimes d\theta + \frac{a^2 \bar{r}^2 \sin^2 \theta}{(a-\bar{r})^2} d\varphi \otimes d\varphi,

en la base coordenada \{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi}\} para la variedad tangente.

En este punto, y utilizando los coeficientes de Lamé, podemos construir una tetrada ortonormal con la que trabajaremos:

\{ \hat{e}_i \} = \{ \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{r}, \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \partial_\theta, \csc \theta \frac{a-\bar{r}}{a\bar{r}} \partial_{\varphi}\}.

Los símbolos de Christofel, calculados con nuestra función Mathematica, son:

ChristoffelEC,

\Gamma^{\bar{r}}_{\phantom{r}\bar{r} \bar{r}} = \frac{2}{a-\bar{r}},\,\, \Gamma^{\bar{r}}_{\phantom{r}\theta \theta}=\frac{\bar{r}(\bar{r}-a)}{a},\,\, \Gamma^{\bar{r}}_{\phantom{r}\varphi \varphi} = \frac{\bar{r}(\bar{r}-a)}{a}\sin^2 \theta,

\Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta}\bar{r} \theta} = \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta}\theta \bar{r}} = \frac{a}{\bar{r}(a-\bar{r})},\,\, \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta}\varphi\varphi} = -\sin \theta \cos \theta ,

\Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi}\bar{r}\varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi \bar{r}}= \frac{a}{\bar{r}(a-\bar{r})},\,\, \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi}\theta\varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi}\varphi \theta} = \cot \theta,

Por lo que las derivadas covariantes de un tensor una vez contravariante quedan, gracias a otra función que tenemos programada:

CDEC,

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\bar{r}} = \partial_{\bar{r}} T^{\bar{r}} + \frac{2}{a-\bar{r}} T^{\bar{r}},

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\theta} = \partial_{\bar{r}} T^{\theta} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\theta}

\mathcal{D}_{\bar{r}} T^{\varphi} = \partial_{\bar{r}} T^{\varphi} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\varphi},

\mathcal{D}_{\theta} T^{\bar{r}} = \partial_{\theta} T^{\bar{r}} + \frac{\bar{r}(\bar{r}-a)}{a} T^{\theta},

\mathcal{D}_{\theta} T^{\theta} = \partial_{\theta} T^{\theta} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\bar{r}},

\mathcal{D}_{\theta} T^{\varphi} = \partial_{\theta} T^{\varphi} + \cot \theta T^{\varphi} ,

\mathcal{D}_{\varphi} T^{\bar{r}} = \partial_{\varphi} T^{\bar{r}} + \frac{\bar{r}(\bar{r}-a)\sin^2 \theta}{a} T^{\varphi},

\mathcal{D}_{\varphi} T^{\theta} = \partial_{\varphi} T^{\theta} - \sin \theta \cos \theta T^{\varphi},

\mathcal{D}_{\varphi} T^{\varphi} = \partial_{\varphi} T^{\varphi} + \frac{a}{a\bar{r}-\bar{r}^2} T^{\bar{r}} + \cot \theta T^{\theta},

Las ecuaciones de la aproximación CFC de las ecuaciones de Einstein en el formalismo 3+1 expresadas de forma covariante son:

\Delta X^i = 8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j X^j),

\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}}{8} \psi^{-7},

\Delta (\alpha \psi) = 2 \pi \psi^{-2} (E^* + 2S^*) (\alpha \psi) + 7 \psi^{-8} \frac{f_{il} f_{im} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}}{8} (\alpha \psi),

\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j \beta^j),

donde \hat{A}^{ij} \approx (LX)^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}.

En coordenadas cartesianas, (x,y,z), tenemos:

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) X^x = 8 \pi S_x^* - \frac{1}{3} \partial_{xx} X^x,

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) X^y = 8 \pi S_y^* - \frac{1}{3} \partial_{yy} X^y,

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) X^z = 8 \pi S_z^* - \frac{1}{3} \partial_{zz} X^z,

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{As}{8} \psi^{-7},

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) (\alpha \psi) = 2 \pi \psi^{-2} (E^* + 2S^*) (\alpha \psi) + 7 \psi^{-8} \frac{As}{8} (\alpha \psi),

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \beta^x = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xj}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^x (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \beta^y = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yj}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^y (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \beta^z = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zj}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^z (\mathcal{D}_j \beta^j),

con

\hat{A}^{xx} = \partial_x X^x + \partial_x X^x - \frac{2}{3} \partial_k X^k f^{xx},

\hat{A}^{xy} = \partial_x X^y + \partial_y X^x,

\hat{A}^{xz} = \partial_x X^z + \partial_z X^x,

\hat{A}^{yy} = \partial_y X^y + \partial_y X^y - \frac{2}{3} \partial_k X^k f^{yy},

\hat{A}^{yz} = \partial_y X^z + \partial_z X^y,

\hat{A}^{zz} = \partial_z X^z + \partial_z X^z - \frac{2}{3} \partial_k X^k f^{zz},

y

As:=(A^{xx})^2+(A^{xy})^2+(A^{xz})^2+(A^{yy})^2+(A^{yz})^2+(A^{zz})^2.

En coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), las ecuaciones quedan:

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) X^r =

= 8 \pi f^{r j} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^r (\mathcal{D}_j X^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) X^\theta =

= 8 \pi f^{\theta j} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\theta (\mathcal{D}_j X^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) X^\varphi =

= 8 \pi f^{\varphi j} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\varphi (\mathcal{D}_j X^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{As}{8} \psi^{-7},

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) (\alpha \psi) =

= 2 \pi \psi^{-2} (E^* + 2S^*) (\alpha \psi) + 7 \psi^{-8} \frac{As}{8} (\alpha \psi),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \beta^r =

= \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{r j}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^r (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \beta^\theta =

= \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta j}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\theta (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \beta^\varphi =

\mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi j}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\varphi (\mathcal{D}_j \beta^j),

con:

\hat{A}^{rr} = \mathcal{D}^r X^r + \mathcal{D}^r X^r - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{rr},

\hat{A}^{r\theta} = \mathcal{D}^r X^\theta + \mathcal{D}^\theta X^r,

\hat{A}^{r\varphi} = \mathcal{D}^r X^\varphi + \mathcal{D}^\varphi X^r,

\hat{A}^{\theta\theta} = \mathcal{D}^\theta X^\theta + \mathcal{D}^\theta X^\theta - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{\theta\theta},

\hat{A}^{\theta\varphi} = \mathcal{D}^\theta X^\varphi + \mathcal{D}^\varphi X^\theta,

\hat{A}^{\varphi\varphi} = \mathcal{D}^\varphi X^\varphi + \mathcal{D}^\varphi X^\varphi - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{\varphi\varphi},

y

As:=(A^{rr})^2+(A^{r\theta})^2+(A^{r\varphi})^2+(A^{\theta\theta})^2+(A^{\theta\varphi})^2+(A^{\varphi\varphi})^2.

Hace un tiempo que andaba pensando en transformadas de Fourier y en su generalización en variedades, había leido y comentado cosas con profesores y, finalmente, tengo algo de luz en mi cabeza :-). A ver si nos entendemos enumerando las ideas:

  1. Cuando pensamos en la transformada de Fourier clásica, para pasar al dominio de frecuencias una señal f(t), ésta se encuentra en el espacio euclideo \mathbb{R}^2.
  2. El espacio euclideo \mathbb{R}^2 tiene el producto escalar habitual \langle u, v \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2, una métrica.
  3. En general, en \mathbb{K}^n, para reales o complejos, tenemos el producto escalar \langle u, v \rangle = \Sigma_{i=1}^{n} u_i \bar{v_i}.
  4. Pensando en transformadas, aunque la función f(x) \subset \mathbb{R}^2, en realidad la estamos pensando como un elemento de un espacio mas general: un espacio de funciones.
  5. El espacio en cuestión es L^2(\mathbb{R}):=\{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} medible \,|\, \int_{\mathbb{R}} |f|^2 < +\infty \}.
  6. Este espacio forma parte de una familia, los espacios de Lebesgue L^p(\Omega):=\{ f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} \,|\, \int_{\Omega} |f|^p < +\infty \}, donde p \in [0,+\infty) y \Omega es un conjunto medible en el sentido de Lebesgue. Esta familia de espacios normados, con norma ||\,\,||_{p}:=(\int_{\Omega} |f|^p)^{\frac{1}{p}}, son espacios de Banach.
  7. En realidad, L^2(\Omega) es un espacio de Hilbert, pues su norma deriva del producto escalar B(f,g):= \int_{\Omega} f\bar{g}, pues para cualquier producto escalar B: H\times H \rightarrow \mathbb{K} siempre podemos definir su norma asociada q_{B}: H \rightarrow \mathbb{R}^+ \cup {0} \,/\, u \mapsto q_B(u):=\sqrt{B(u,u)} con u \in H.
  8. En el caso particular de la tranformada de Fourier de una función f(t), podemos entenderla como el producto escalar de esta por la exponencial compleja e^{-2 \pi i \xi t}: f(\xi):=B(f(t),e^{-2 \pi i \xi t}) = \int_{\mathbb{R}} f(t) e^{-2 \pi i \xi t} dt.
  9. De esta manera, en \mathbb{R}^2 tenemos vectores, y podemos hacer geometría mediante el producto escalar habitual, pero también tenemos funciones, y también con éstas podemos hacer geometría mediante el último producto escalar definido, o podriamos definir l^p:=\{ \{a_n\}_{n=1}^\infty \,|\, \Sigma_{n=1}^\infty |\{ a_n\}|^p < +\infty\} con B: l \times l \rightarrow \mathbb{K} \,/\, (\{a_n\}_{n=1}^\infty,\{b_n\}_{n=1}^\infty) \mapsto \Sigma_{n=1}^\infty a_n \bar{b_n} y hacer geometría con sucesiones.
  10. Por tanto, puedo definir diferentes entidades sobre un mismo espacio, definir su correspondiente producto escalar y hacer geometría con éstas.
  11. Al igual que utilizamos el producto escalar habitual del plano tangente para trabajar en un punto de la variedad, tendríamos que hacer lo mismo con el resto de entidades.
  12. Cuando hablamos de teoría espectral, necesitamos un sistema ortonormal \{ x_i \}_{i \in I}, es decir, un conjunto de vectores que forman una base y  que B(u_i,u_j) = \delta_{ij}. ¿Cómo encontrar un sistema de este tipo?
  13. Sabemos que vectores propios asociados a valores propios diferentes son linealmente independientes. Por tanto, podemos construir un sistema de este tipo diagonalizando un operador. De hecho, podemos relacionar la base utilizada en Fourier con el operador diferenciación.
  14. Cuando tenemos diversas variables, el operador equivalente sería el Laplaciano. Por tanto, podriamos construir una base ortonormal infinita en una variedad encontrando una base de vectores propios asociados al operador Laplaciano definido en la variedad.
  15. En realidad, al trabajar con una variedad M, por un lado tengo el operador de Laplace-Beltrami, que es una generalización del Laplaciano al caso de variedades, y por otra tendré que considerar funciones sobre éste, por lo que ahora trabajaré con el espacio L^2(M) := \{ f: M \rightarrow \mathbb{C} \,|\, \int_M |f|^2 < +\infty \}.

Cuando trabajamos en \mathbb{K}^n, con \mathbb{K}=\mathbb{R} o \mathbb{K} = \mathbb{C}, podemos hacerlo en distintos sistemas de coordenadas. Por ejemplo, en \mathbb{R}^2 puedo trabajar en coordenadas cartesianas (x,y) o en coordenadas polares (r,\theta); 0 en \mathbb{R}^3 lo puedo hacer en cartesianas (x,y,z), en cilíndricas (r,\theta,z) o en esféricas (r,\theta,\varphi).

En el cálculo vectorial, en la geometría diferencial o en las ecuaciones en derivadas parciales, lo que hacemos es trabajar con el concepto de diferenciación y lo hacemos en el espacio tangente, que como tiene estructura de espacio vectorial, dispone del concepto de base:

(x,y) \longrightarrow \{ \partial_x, \partial_y \},

(r,\theta) \longrightarrow \{ \partial_r, \partial_\theta \},

(x,y,z) \longrightarrow \{ \partial_x, \partial_y, \partial_z \},

(r,\theta,z) \longrightarrow \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_z \},

(r,\theta,\varphi) \longrightarrow \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \},

y es aquí donde tienen sentido las bases holonómicas, todas las anteriores, los cambios de base que comentamos en este post. Las compactificaciones de aquí, por contra, solo tienen sentido al especificar el sistema de coordenadas.

Para nuestras ecuaciones en derivadas parciales, el primer paso será fijar que coordenadas utilizamos en la variedad (compactificaciones) y, hecho esto, determinar que base (holonómica, ortonormal, etc.) queremos utilizar en su fibrado tangente. Por ejemplo, podríamos tener:

(r, \theta, \varphi) \longrightarrow (\partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi),

porque nos resulta comodo tener una bases ortonormal en el espacio tangente.

Aunque lo había oido muchas veces, creo que acabo de entender la idea práctica de lo que significa tener una ecuación escrita en formulación covariante: es una expresión que será válida en cualquier sistema de referencia.

Tradicionalmente hay dos maneras de enfrentarse a los tensores: la de los físicos, mediante índices, y la de los matemáticos, sin índices. Como en todo, cada una tiene sus ventajas y sus inconvenientes. En la primera tenemos definidos unos sistemas de referencia, ya que los necesitamos para hacer física (las medidas de los experimentos estarán hechas en referencia a algo) y tiene una ventaja obvia a la hora de realizar cálculos prácticos. En la segunda, estamos mas preocupados por demostrar cosas, y nos interesa encontrar que hay de verdad en todo aquello independientemente del sistema en el que esté expresado.

Supongamos la siguiente ecuación covariante que me aparece en la aproximación CFC:

\Delta \Theta_X = 6 \pi \mathcal{D}^i S_i^*.

Esta es, por ser covariante, válida siempre, la expresemos en la referencia que queramos. Por tanto, lo podemos hacer en la base coordenada cartesiana \{ \partial_x, \partial_y, \partial_z\}:

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz} ) \Theta_X = 6 \pi (\partial_x S_x^* + \partial_y S_y^* +\partial_z S_z^*),

o en la base coordenada esférica \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \}:

(\partial_{rr} + \frac{1}{r} \partial_{r} + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta \theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_{\theta} + \frac{\csc^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi \varphi}) \Theta_X =

6 \pi (\mathcal{D}_r (S^*)^r + \mathcal{D}_\theta (S^*)^\theta + \mathcal{D}_\varphi (S^*)^\varphi),

donde:

\mathcal{D}_r (S^*)^r = \partial_r (S^*)^r,

\mathcal{D}_\theta (S^*)^\theta = \frac{1}{r} \partial_\theta (S^*)^\theta + \frac{1}{r} (S^*)^r y

\mathcal{D}_\varphi (S^*)^\varphi = \frac{\csc \theta}{r} \partial_\varphi (S^*)^\varphi + \frac{\cot \theta}{r} (S^*)^\theta + \frac{1}{r} (S^*)^r.

Podemos calcular que:

\mathcal{D}_r T^\theta = \partial_r T^i + \frac{1}{r} T^\theta,

en la base coordenada \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \}, y que:

\mathcal{D}_{\hat{r}} T^{\hat{\theta}} = \partial_{\hat{r}} T^{\hat{\theta}},

en la base ortonormal \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta + \frac{csc \theta}{r} \partial_\varphi \} = \{\hat{e}_r, \hat{e}_\theta, \hat{e}_\varphi \}.

Vamos a tratar de relacionarlas mediante un simple cambio de variable. Para empezar, escribimos la derivada covariante del vector como un tensor:

E_{i}^{\phantom{i}j} := \mathcal{D}_i T^j.

Ahora transformamos la primera expresión mediante las reglas de cambio de variable de los tensores:

\mathcal{D}_{r} T^{\theta} = E_{r}^{\phantom{r} i} = E_{\hat{r}}^{\phantom{r} \hat{\theta}} A_{\hat{\theta}}^{\theta} A_{r}^{\hat{r}} = \frac{1}{r} \mathcal{D}_{\hat{r}}^{\phantom{r} \hat{\theta}} T^{\hat{\theta}},

por un lado, y como:

T^{\theta} = T^{\hat{\theta}} A_{\hat{\theta}}^{\theta} = \frac{1}{r} T^{\hat{\theta}},

entonces tenemos:

\partial_{r}(\frac{1}{r}T^{\hat{\theta}}) + \frac{1}{r^2}T^{\theta} = -\frac{1}{r^2} T^{\hat{\theta}} + \frac{1}{r} \partial_r T^{\hat{\theta}} + \frac{1}{r^2} T^{\hat{\theta}},

por otro. Finalmente:

\frac{1}{r} \mathcal{D}_{\hat{r}} T^{\theta} = \frac{1}{r} \partial_{\hat{r}} T^{\hat{\theta}},

que, simplificando los \frac{1}{r}, es lo que esperábamos.

En este post ya calculamos los corchetes de Lie para los elementos de la base \{ \hat{e}_i\} = \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{\csc \theta}{r} \partial_\varphi \}. Vamos a calcular ahora los coeficientes de conmutacion c_{ijk} (todas las r, \theta, \varphi que aparecen a continuación son \hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}).

Como [\hat{e}_i,\hat{e}_j] = c_{ij}^{\phantom{ij}k} \hat{e}_k, entonces:

[\hat{e}_1,\hat{e}_2] = c_{12}^{\phantom{12}m} \hat{e}_m = -\frac{1}{r}\hat{e}_2 \rightarrow c_{r \theta}^{\phantom{r \theta} \theta} = -\frac{1}{r} = -c_{\theta r}^{\phantom{r \theta} \theta}

[\hat{e}_1,\hat{e}_3] = c_{13}^{\phantom{13}m} \hat{e}_m = -\frac{1}{r}\hat{e}_3 \rightarrow c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi} \varphi} = -\frac{1}{r} = -c_{\varphi r}^{\phantom{r \varphi} \varphi}

[\hat{e}_2,\hat{e}_3] = c_{23}^{\phantom{23}m} \hat{e}_m = -\frac{\cot \theta}{r}\hat{e}_3 \rightarrow c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi} \varphi} = -\frac{\cot \theta}{r} = -c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta} \varphi}

Vamos a calcular ahora los tres coeficientes de rotación de Ricci que, por tener indices covariantes diferentes, podrían no ser simétricos en la base ortonormal, cuando si lo son en una holonómica. Empezamos por los correspondientes a los Christoffel \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta} r \theta} = \Gamma^{\theta}_{\phantom{\theta} \theta r}:

\hat{\gamma}^{\theta}_{\phantom{\theta} r \theta} = \frac{1}{2} \eta^{\theta \theta} (c_{\theta r \theta} + c_{\theta \theta r} - c_{r \theta \theta}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{r} + \frac{1}{r}) = \frac{1}{r}

c_{\theta r \theta} = \eta_{\theta i} c_{\theta r}^{\phantom{\theta r}i} = c_{\theta r}^{\phantom{\theta r} \theta} = \frac{1}{r}

c_{\theta \theta r} = \eta_{r i} c_{\theta \theta}^{\phantom{\theta \theta}i} = c_{\theta \theta}^{\phantom{\theta \theta} r} = 0

c_{r \theta \theta} = \eta_{\theta i} c_{r \theta}^{\phantom{r \theta}i} = c_{r \theta}^{\phantom{r \theta} \theta} = -\frac{1}{r}

\hat{\gamma}^{\theta}_{\phantom{\theta} \theta r} = \frac{1}{2} \eta^{\theta \theta} (c_{\theta \theta r} + c_{\theta r \theta} - c_{\theta r \theta}) = \frac{1}{2} c_{\theta \theta r} = 0

y vemos que, efectivamente, ahora no son simétricos. Seguimos con los correspondientes a \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi} r \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi r}:

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} r \varphi} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi r \varphi} + c_{\varphi \varphi r} - c_{r \varphi \varphi}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{r} + \frac{1}{r}) = \frac{1}{r}

c_{\varphi r \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\varphi r}^{\phantom{\varphi r}i} = c_{\varphi r}^{\phantom{\varphi r} \varphi} = \frac{1}{r}

c_{\varphi \varphi r} = \eta_{r i} c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi}i} = c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi} r} = 0

c_{r \varphi \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi}i} = c_{r \varphi}^{\phantom{r \varphi} \varphi} = -\frac{1}{r}

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi r} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \varphi r} + c_{\varphi r \varphi} - c_{\varphi r \varphi}) = \frac{1}{2} c_{\varphi \varphi r} = 0

Finalmente, los últimos que pierden su simetría son:

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \theta \varphi} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \theta \varphi} + c_{\varphi \varphi \theta} - c_{\theta \varphi \varphi}) = \frac{1}{2}(\frac{\cot \theta}{r} + \frac{\cot \theta}{r}) = \frac{\cot \theta}{r}

c_{\varphi \theta \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta}i} = c_{\varphi \theta}^{\phantom{\varphi \theta} \varphi} = \frac{\cot \theta}{r}

c_{\varphi \varphi \theta} = \eta_{\theta i} c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi}i} = c_{\varphi \varphi}^{\phantom{\varphi \varphi} \theta} = 0

c_{\theta \varphi \varphi} = \eta_{\varphi i} c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi}i} = c_{\theta \varphi}^{\phantom{\theta \varphi} \varphi} = -\frac{\cot \theta}{r}

\hat{\gamma}^{\varphi}_{\phantom{\varphi} \varphi \theta} = \frac{1}{2} \eta^{\varphi \varphi} (c_{\varphi \varphi \theta} + c_{\varphi \theta \varphi} - c_{\varphi \theta \varphi}) = \frac{1}{2} c_{\varphi \varphi \theta} = 0

Existe una manera alternativa de realizar todos estos cálculos, que dejaremos para un futuro post, utilizando las formas de conexión, las ecuaciones de estructura de Cartan asumiendo torsión nula y la derivada exterior.

En la geometría de Riemann, podemos calcular una connexión \nabla a partir de su tensor métrico (la conexión de Levi-Civita). Esta derivación covariante es libre de torsión, por lo que el tensor de Ricci R_{\alpha \beta} debe ser simétrico. Hoy el profesor Juan Antonio Morales me ha introducido en la geometría de Riemann-Cartan, donde el tensor de Ricci puede ser asimétrico gracias a la existencia de un campo de torsión afín sobre la variedad. Lo que tenemos entonces es una conexión de Cartan.

Parece ser que esto permite el intercambio, para la conservación total del momento, entre espín y momento angular orbital.

Básicamente, podemos pensar la geometría diferencial desde el punto de vista de las bases coordenadas (naturales u holonómicas), donde los conmutadores (las derivadas de Lie \mathcal{L}_X Y := [X,Y] entre los campos coordenados, que intuitivamente miden la diferencia entre el arrastre del segundo campo mediante el primero respecto de su valor real en el punto final) son nulos, o pensarla desde el punto de vista de bases no coordenadas formadas por n campos vectoriales cualesquiera, si estamos en dimensión n, donde los corchetes de Lie ahora no son nulos.

Todo esto enlaza con este post y la manera de calcular los coeficientes de la conexión \gamma^{i}_{\phantom{i}jk}, introducidos en este post, para una base dada.

La fórmula para los símbolos de la conexión de Levi-Civita en una base \{e_i\} cualquiera es:

\gamma^{l}_{\phantom{l}jk} = \frac{1}{2} g^{lm} (e_k(g_{mj}) + e_j(g_{mk}) - e_m(g_{jk}) + c_{mjk} + c_{mkj} - c_{jkm}),

donde:

c_{jkm} = g_{mi}c_{jk}^{\phantom{jk}i} y [e_j,e_k] = c_{jk}^{\phantom{jk}i} e_i.

En una base coordenada \{ \partial_i \} tenemos que c_{mjk} = c_{mkj} = c_{jkm} = 0, por lo que:

\Gamma^{l}_{\phantom{l}jk} = \frac{1}{2} g^{lm} (\partial_k(g_{mj}) + \partial_j(g_{mk}) - \partial_m(g_{jk})),

mientras que en una base ortonormal \{ \hat{e}_i\} tenemos que \hat{e}_i(g_{jk}) = 0 y, por tanto:

\hat{\gamma}^{l}_{\phantom{l}jk} = \frac{1}{2} \eta^{lm} (c_{mjk} + c_{mkj} - c_{jkm}).

Ya vimos aquí que a partir de la parametrización de la esfera S(r):

\Phi(\theta,\varphi) = r(\sin \theta \cos \varphi,\sin \theta \sin \varphi, cos \theta) con \theta \in [0,\pi] y \varphi \in [0,2\pi],

obtenemos la métrica:

g = r^2 d\theta \otimes d\theta + r^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi,

donde la base para el espacio cotangente es \{ d\theta, d\varphi\} y para el tangente es \{ \partial_\theta, \partial_\varphi\}.

Supongamos que, como hicimos post, expresamos el cambio a esféricas mediante una carta, de manera que:

g_{ij} = dr \otimes dr + r^2 d\theta \otimes d\theta + r^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi.

Ya vimos que el espacio tangente es un espacio vectorial, de manera que podemos definir diferentes bases para el mismo. Es por tanto normal preguntarse cómo varia la métrica al realizar estos cambios.

Supongamos que a la base coordenada \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \} la llamamos e_i = \{e_1, e_2, e_3\}, y su base dual es \{ dr, d\theta, d\varphi\}. Supongamos dos nuevas bases:

\hat{e}_i := \{ \hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3\} = \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{1}{r^2 \sin \theta} \partial_\varphi\},

\tilde{e}_i := \{ \tilde{e}_1, \tilde{e}_2, \tilde{e}_3\} = \{ \partial_r + \partial_\theta, \partial_r - \partial_\theta, -\partial_\varphi\}.

Como:

\hat{e}_1 = e_1, \hat{e}_2 = \frac{1}{r} e_2 y \hat{e}_3 = \frac{1}{r \sin \theta} e_3,

tenemos que:

A_{\hat{i}}^{i} = \left(  \begin{array}{ccc}  1 & 0 & 0 \\  0 & \frac{1}{r} & 0 \\  0 & 0 & \frac{\text{Csc}[\theta ]}{r}  \end{array}  \right) i A_{i}^{\hat{i}} = \left( \begin{array}{ccc}  1 & 0 & 0 \\  0 & r & 0 \\  0 & 0 & r \text{Sin}[\theta ]  \end{array}  \right),

de manera que, como la métrica es un tensor, cambia de base como estos:

g_{\hat{i} \hat{j}} = g_{ij} A_{\hat{i}}^{i} A_{\hat{i}}^{i} = d\hat{r} \otimes d\hat{r} + d\hat{\theta} \otimes d\hat{\theta} + d\hat{\varphi} \otimes d\hat{\varphi} = \eta_{ab}.

De la misma manera, tenemos:

\tilde{e}_1 = e_1 + e_2, \tilde{e}_2 = e_1-e_2 y \tilde{e}_3 = -e_3,

por lo que:

 A_{\tilde{i}}^{i} = \left(  \begin{array}{ccc}  1 & 1 & 0 \\  1 & -1 & 0 \\  0 & 0 & -1  \end{array}  \right) i A_{i}^{\tilde{i}} = \left(  \begin{array}{ccc}  \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\  \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\  0 & 0 & -1  \end{array}  \right)

y ahora:

g_{\tilde{i} \tilde{j}} = g_{ij} A_{\tilde{i}}^{i} A_{\tilde{i}}^{i} = 2 d\tilde{r} \otimes d\tilde{r} + 2r^2 d\tilde{\theta} \otimes d\tilde{\theta} + r^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi.

Ya comentamos aquí la diferencia entre una base coordenada, por ejemplo \{\partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \}, y una no coordenada, por ejemplo \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi \}, respecto del cálculo de los símbolos de su conexión de Levi-Civita (la derivación covariante libre de torsión derivada de su métrica 🙂 ).

También aquí calculé el corchete de Lie en algunos casos concretos. Recordar de éste dos cuestiones importantes:

  1. el corchete de Lie de campos coordenados es nulo,
  2. se puede demostrar que si g,h \in C^\infty(M) y X,Y \in \mathfrak{X}(M) entonces:

[gX,hY] = gX(h)Y - hY(g)X + gh[X,Y].

Vamos a calcularlo ahora para los elementos de la base ortonormal en esféricas, que ya hemos dicho que no es holonómica:

[\partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta] = 1 \partial_r(\frac{1}{r}) \partial_\theta - \frac{1}{r} \partial_\theta(1) \partial_r + 1\frac{1}{r \sin \theta} [\partial_r, \partial_\varphi] = -\frac{\csc \theta}{r^2}

= -\frac{1}{r^2} \partial_\theta - \frac{1}{r} 0 \partial_r + \frac{1}{r} 0 = -\frac{1}{r^2} \partial_\theta = -[\frac{1}{r} \partial_\theta, \partial_r],

[\partial_r, \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi] = 1 \partial_r(\frac{1}{r \sin \theta}) \partial_\varphi - \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi(1) \partial_r + 1\frac{1}{r \sin \theta} [\partial_r, \partial_\varphi] = -\frac{\csc \theta}{r^2} \partial_\varphi,

[\frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi] = \frac{1}{r} \partial_\theta (\frac{1}{r \sin \theta}) \partial_\varphi - \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi (\frac{1}{r}) \partial_\theta + \frac{1}{r}\frac{1}{r \sin \theta} [\partial_\theta, \partial_\varphi] =

= \frac{1}{r} \frac{-\csc \theta \cot \theta}{r} \partial_\varphi - \frac{1}{r \sin \theta} 0 \partial_\theta + \frac{1}{r}\frac{1}{r \sin \theta} 0 = -\frac{\csc \theta \cot \theta}{r^2} \partial_\varphi.

Muchos de los aspectos de las variedades reales son traducibles a variedades complejas cambiando el concepto de diferenciabilidad por el de holomorfía: atlas con aplicaciones de transición holomorfas, aplicación holomorfa entre variedades complejas, subvariedad compleja de una variedad compleja, etc.

Sin embargo, muchas de las propiedades de la variedad compleja dependen unicamente de la existencia de una casi estructura compleja local J_p que nos permita complexificar el plano tangente:

J_p: T_p M \longrightarrow T_p M.

Para este fin, es suficiente, dado un espacio vectorial V, definir una estructura compleja mediante el endomorfismo J en V tal que J^2 = -1, de manera que, la multiplicación escalar por un número complejo queda:

(a+bi) X = aX + bJX para X \in V y a,b \in \mathbb{R}.

Una variedad casi compleja no es mas que una variedad real de dimensión par donde tenemos definido un tensor J de tipo (1,1) (recordar que f: V \longrightarrow V puede reescribirse como un tensor J:V^* \times V \longrightarrow \mathbb{K}).

Reciprocamente, dado un espacio vectorial complejo V de dimensión compleja n, si consideramos el endomorfismo lineal:

JX = iX para X \in V,

entonces este es una estructura compleja si consideramos V como un espacio real 2n dimensional.

Identificaremos las tuplas (z^1, \ldots, z^n) de \mathbb{C}^n con las 2n-tuplas (x^1, \ldots, x^n, y^1, \ldots, y^n) de \mathbb{R}^{2n}, donde la estructura compleja de éste último inducida por el primero será la estructura compleja canónica que mapea (x^1, \ldots, x^n, y^1, \ldots, y^n) en (y^1, \ldots, y^n, -x^1, \ldots, -x^n).

Para que una variedad casi compleja sea una variedad compleja necesitamos una condición adicional: que la casi estructura diferenciable sea integrable, es decir, que tenga torsión nula.

Podemos definir una métrica h sobre una variedad casi compleja que se llamará métrica Hermítica si es compatible con la  estructura casi compleja:

h(JX,JY) = h(X,Y) para cualesquiera X,Y.

Las métricas Hermíticas sobre variedades complejas (con atlas sobre \mathbb{C}^n) dan lugar a métricas de Riemann sobre la variedad real subyacente (con atlas sobre \mathbb{R}^{2n}). Para que la conexión inducida por esta métrica también sea compatible con la estructura casi compleja, necesitamos que la métrica sea una métrica Kähleriana, es decir, que la 2-forma fundamental \Phi asociada a la métrica Hermítica:

\Phi(X,Y) = h(X,JY) para todos los campos vectoriales X e Y,

sea cerrada (d\Phi = 0).

Los resultados presentados en este post son incorrectos 😦 .

El motivo es que, para la definición de los símbolos de Christoffel, estamos asumiendo, de manera implícita, que trabajamos en una base coordenada o base holonómica, que son bases donde el corchete de Lie de cualquier par distinto es cero:

[e_i,e_j] = 0 si i \neq j.

Pero si la base no es holonómica, entonces la definición incorpora tres términos más, los coeficientes de conmutación de la base, y llamamos a los símbolos coeficientes de la conexión. Si la base es ortonormal, estos reciben el nombre de coeficientes de rotación de Ricci.

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