Muchos de los aspectos de las variedades reales son traducibles a variedades complejas cambiando el concepto de diferenciabilidad por el de holomorfía: atlas con aplicaciones de transición holomorfas, aplicación holomorfa entre variedades complejas, subvariedad compleja de una variedad compleja, etc.

Sin embargo, muchas de las propiedades de la variedad compleja dependen unicamente de la existencia de una casi estructura compleja local J_p que nos permita complexificar el plano tangente:

J_p: T_p M \longrightarrow T_p M.

Para este fin, es suficiente, dado un espacio vectorial V, definir una estructura compleja mediante el endomorfismo J en V tal que J^2 = -1, de manera que, la multiplicación escalar por un número complejo queda:

(a+bi) X = aX + bJX para X \in V y a,b \in \mathbb{R}.

Una variedad casi compleja no es mas que una variedad real de dimensión par donde tenemos definido un tensor J de tipo (1,1) (recordar que f: V \longrightarrow V puede reescribirse como un tensor J:V^* \times V \longrightarrow \mathbb{K}).

Reciprocamente, dado un espacio vectorial complejo V de dimensión compleja n, si consideramos el endomorfismo lineal:

JX = iX para X \in V,

entonces este es una estructura compleja si consideramos V como un espacio real 2n dimensional.

Identificaremos las tuplas (z^1, \ldots, z^n) de \mathbb{C}^n con las 2n-tuplas (x^1, \ldots, x^n, y^1, \ldots, y^n) de \mathbb{R}^{2n}, donde la estructura compleja de éste último inducida por el primero será la estructura compleja canónica que mapea (x^1, \ldots, x^n, y^1, \ldots, y^n) en (y^1, \ldots, y^n, -x^1, \ldots, -x^n).

Para que una variedad casi compleja sea una variedad compleja necesitamos una condición adicional: que la casi estructura diferenciable sea integrable, es decir, que tenga torsión nula.

Podemos definir una métrica h sobre una variedad casi compleja que se llamará métrica Hermítica si es compatible con la  estructura casi compleja:

h(JX,JY) = h(X,Y) para cualesquiera X,Y.

Las métricas Hermíticas sobre variedades complejas (con atlas sobre \mathbb{C}^n) dan lugar a métricas de Riemann sobre la variedad real subyacente (con atlas sobre \mathbb{R}^{2n}). Para que la conexión inducida por esta métrica también sea compatible con la estructura casi compleja, necesitamos que la métrica sea una métrica Kähleriana, es decir, que la 2-forma fundamental \Phi asociada a la métrica Hermítica:

\Phi(X,Y) = h(X,JY) para todos los campos vectoriales X e Y,

sea cerrada (d\Phi = 0).

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