Ya comentamos aquí la diferencia entre una base coordenada, por ejemplo \{\partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \}, y una no coordenada, por ejemplo \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi \}, respecto del cálculo de los símbolos de su conexión de Levi-Civita (la derivación covariante libre de torsión derivada de su métrica 🙂 ).

También aquí calculé el corchete de Lie en algunos casos concretos. Recordar de éste dos cuestiones importantes:

  1. el corchete de Lie de campos coordenados es nulo,
  2. se puede demostrar que si g,h \in C^\infty(M) y X,Y \in \mathfrak{X}(M) entonces:

[gX,hY] = gX(h)Y - hY(g)X + gh[X,Y].

Vamos a calcularlo ahora para los elementos de la base ortonormal en esféricas, que ya hemos dicho que no es holonómica:

[\partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta] = 1 \partial_r(\frac{1}{r}) \partial_\theta - \frac{1}{r} \partial_\theta(1) \partial_r + 1\frac{1}{r \sin \theta} [\partial_r, \partial_\varphi] = -\frac{\csc \theta}{r^2}

= -\frac{1}{r^2} \partial_\theta - \frac{1}{r} 0 \partial_r + \frac{1}{r} 0 = -\frac{1}{r^2} \partial_\theta = -[\frac{1}{r} \partial_\theta, \partial_r],

[\partial_r, \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi] = 1 \partial_r(\frac{1}{r \sin \theta}) \partial_\varphi - \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi(1) \partial_r + 1\frac{1}{r \sin \theta} [\partial_r, \partial_\varphi] = -\frac{\csc \theta}{r^2} \partial_\varphi,

[\frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi] = \frac{1}{r} \partial_\theta (\frac{1}{r \sin \theta}) \partial_\varphi - \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi (\frac{1}{r}) \partial_\theta + \frac{1}{r}\frac{1}{r \sin \theta} [\partial_\theta, \partial_\varphi] =

= \frac{1}{r} \frac{-\csc \theta \cot \theta}{r} \partial_\varphi - \frac{1}{r \sin \theta} 0 \partial_\theta + \frac{1}{r}\frac{1}{r \sin \theta} 0 = -\frac{\csc \theta \cot \theta}{r^2} \partial_\varphi.

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