Ya vimos aquí que a partir de la parametrización de la esfera S(r):

\Phi(\theta,\varphi) = r(\sin \theta \cos \varphi,\sin \theta \sin \varphi, cos \theta) con \theta \in [0,\pi] y \varphi \in [0,2\pi],

obtenemos la métrica:

g = r^2 d\theta \otimes d\theta + r^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi,

donde la base para el espacio cotangente es \{ d\theta, d\varphi\} y para el tangente es \{ \partial_\theta, \partial_\varphi\}.

Supongamos que, como hicimos post, expresamos el cambio a esféricas mediante una carta, de manera que:

g_{ij} = dr \otimes dr + r^2 d\theta \otimes d\theta + r^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi.

Ya vimos que el espacio tangente es un espacio vectorial, de manera que podemos definir diferentes bases para el mismo. Es por tanto normal preguntarse cómo varia la métrica al realizar estos cambios.

Supongamos que a la base coordenada \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \} la llamamos e_i = \{e_1, e_2, e_3\}, y su base dual es \{ dr, d\theta, d\varphi\}. Supongamos dos nuevas bases:

\hat{e}_i := \{ \hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3\} = \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{1}{r^2 \sin \theta} \partial_\varphi\},

\tilde{e}_i := \{ \tilde{e}_1, \tilde{e}_2, \tilde{e}_3\} = \{ \partial_r + \partial_\theta, \partial_r - \partial_\theta, -\partial_\varphi\}.

Como:

\hat{e}_1 = e_1, \hat{e}_2 = \frac{1}{r} e_2 y \hat{e}_3 = \frac{1}{r \sin \theta} e_3,

tenemos que:

A_{\hat{i}}^{i} = \left(  \begin{array}{ccc}  1 & 0 & 0 \\  0 & \frac{1}{r} & 0 \\  0 & 0 & \frac{\text{Csc}[\theta ]}{r}  \end{array}  \right) i A_{i}^{\hat{i}} = \left( \begin{array}{ccc}  1 & 0 & 0 \\  0 & r & 0 \\  0 & 0 & r \text{Sin}[\theta ]  \end{array}  \right),

de manera que, como la métrica es un tensor, cambia de base como estos:

g_{\hat{i} \hat{j}} = g_{ij} A_{\hat{i}}^{i} A_{\hat{i}}^{i} = d\hat{r} \otimes d\hat{r} + d\hat{\theta} \otimes d\hat{\theta} + d\hat{\varphi} \otimes d\hat{\varphi} = \eta_{ab}.

De la misma manera, tenemos:

\tilde{e}_1 = e_1 + e_2, \tilde{e}_2 = e_1-e_2 y \tilde{e}_3 = -e_3,

por lo que:

 A_{\tilde{i}}^{i} = \left(  \begin{array}{ccc}  1 & 1 & 0 \\  1 & -1 & 0 \\  0 & 0 & -1  \end{array}  \right) i A_{i}^{\tilde{i}} = \left(  \begin{array}{ccc}  \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\  \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\  0 & 0 & -1  \end{array}  \right)

y ahora:

g_{\tilde{i} \tilde{j}} = g_{ij} A_{\tilde{i}}^{i} A_{\tilde{i}}^{i} = 2 d\tilde{r} \otimes d\tilde{r} + 2r^2 d\tilde{\theta} \otimes d\tilde{\theta} + r^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi.

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