Podemos calcular que:

\mathcal{D}_r T^\theta = \partial_r T^i + \frac{1}{r} T^\theta,

en la base coordenada \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \}, y que:

\mathcal{D}_{\hat{r}} T^{\hat{\theta}} = \partial_{\hat{r}} T^{\hat{\theta}},

en la base ortonormal \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta + \frac{csc \theta}{r} \partial_\varphi \} = \{\hat{e}_r, \hat{e}_\theta, \hat{e}_\varphi \}.

Vamos a tratar de relacionarlas mediante un simple cambio de variable. Para empezar, escribimos la derivada covariante del vector como un tensor:

E_{i}^{\phantom{i}j} := \mathcal{D}_i T^j.

Ahora transformamos la primera expresión mediante las reglas de cambio de variable de los tensores:

\mathcal{D}_{r} T^{\theta} = E_{r}^{\phantom{r} i} = E_{\hat{r}}^{\phantom{r} \hat{\theta}} A_{\hat{\theta}}^{\theta} A_{r}^{\hat{r}} = \frac{1}{r} \mathcal{D}_{\hat{r}}^{\phantom{r} \hat{\theta}} T^{\hat{\theta}},

por un lado, y como:

T^{\theta} = T^{\hat{\theta}} A_{\hat{\theta}}^{\theta} = \frac{1}{r} T^{\hat{\theta}},

entonces tenemos:

\partial_{r}(\frac{1}{r}T^{\hat{\theta}}) + \frac{1}{r^2}T^{\theta} = -\frac{1}{r^2} T^{\hat{\theta}} + \frac{1}{r} \partial_r T^{\hat{\theta}} + \frac{1}{r^2} T^{\hat{\theta}},

por otro. Finalmente:

\frac{1}{r} \mathcal{D}_{\hat{r}} T^{\theta} = \frac{1}{r} \partial_{\hat{r}} T^{\hat{\theta}},

que, simplificando los \frac{1}{r}, es lo que esperábamos.

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