Aunque lo había oido muchas veces, creo que acabo de entender la idea práctica de lo que significa tener una ecuación escrita en formulación covariante: es una expresión que será válida en cualquier sistema de referencia.

Tradicionalmente hay dos maneras de enfrentarse a los tensores: la de los físicos, mediante índices, y la de los matemáticos, sin índices. Como en todo, cada una tiene sus ventajas y sus inconvenientes. En la primera tenemos definidos unos sistemas de referencia, ya que los necesitamos para hacer física (las medidas de los experimentos estarán hechas en referencia a algo) y tiene una ventaja obvia a la hora de realizar cálculos prácticos. En la segunda, estamos mas preocupados por demostrar cosas, y nos interesa encontrar que hay de verdad en todo aquello independientemente del sistema en el que esté expresado.

Supongamos la siguiente ecuación covariante que me aparece en la aproximación CFC:

\Delta \Theta_X = 6 \pi \mathcal{D}^i S_i^*.

Esta es, por ser covariante, válida siempre, la expresemos en la referencia que queramos. Por tanto, lo podemos hacer en la base coordenada cartesiana \{ \partial_x, \partial_y, \partial_z\}:

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz} ) \Theta_X = 6 \pi (\partial_x S_x^* + \partial_y S_y^* +\partial_z S_z^*),

o en la base coordenada esférica \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \}:

(\partial_{rr} + \frac{1}{r} \partial_{r} + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta \theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_{\theta} + \frac{\csc^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi \varphi}) \Theta_X =

6 \pi (\mathcal{D}_r (S^*)^r + \mathcal{D}_\theta (S^*)^\theta + \mathcal{D}_\varphi (S^*)^\varphi),

donde:

\mathcal{D}_r (S^*)^r = \partial_r (S^*)^r,

\mathcal{D}_\theta (S^*)^\theta = \frac{1}{r} \partial_\theta (S^*)^\theta + \frac{1}{r} (S^*)^r y

\mathcal{D}_\varphi (S^*)^\varphi = \frac{\csc \theta}{r} \partial_\varphi (S^*)^\varphi + \frac{\cot \theta}{r} (S^*)^\theta + \frac{1}{r} (S^*)^r.

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