Cuando trabajamos en \mathbb{K}^n, con \mathbb{K}=\mathbb{R} o \mathbb{K} = \mathbb{C}, podemos hacerlo en distintos sistemas de coordenadas. Por ejemplo, en \mathbb{R}^2 puedo trabajar en coordenadas cartesianas (x,y) o en coordenadas polares (r,\theta); 0 en \mathbb{R}^3 lo puedo hacer en cartesianas (x,y,z), en cilíndricas (r,\theta,z) o en esféricas (r,\theta,\varphi).

En el cálculo vectorial, en la geometría diferencial o en las ecuaciones en derivadas parciales, lo que hacemos es trabajar con el concepto de diferenciación y lo hacemos en el espacio tangente, que como tiene estructura de espacio vectorial, dispone del concepto de base:

(x,y) \longrightarrow \{ \partial_x, \partial_y \},

(r,\theta) \longrightarrow \{ \partial_r, \partial_\theta \},

(x,y,z) \longrightarrow \{ \partial_x, \partial_y, \partial_z \},

(r,\theta,z) \longrightarrow \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_z \},

(r,\theta,\varphi) \longrightarrow \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \},

y es aquí donde tienen sentido las bases holonómicas, todas las anteriores, los cambios de base que comentamos en este post. Las compactificaciones de aquí, por contra, solo tienen sentido al especificar el sistema de coordenadas.

Para nuestras ecuaciones en derivadas parciales, el primer paso será fijar que coordenadas utilizamos en la variedad (compactificaciones) y, hecho esto, determinar que base (holonómica, ortonormal, etc.) queremos utilizar en su fibrado tangente. Por ejemplo, podríamos tener:

(r, \theta, \varphi) \longrightarrow (\partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{1}{r \sin \theta} \partial_\varphi),

porque nos resulta comodo tener una bases ortonormal en el espacio tangente.

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