Hace un tiempo que andaba pensando en transformadas de Fourier y en su generalización en variedades, había leido y comentado cosas con profesores y, finalmente, tengo algo de luz en mi cabeza :-). A ver si nos entendemos enumerando las ideas:

  1. Cuando pensamos en la transformada de Fourier clásica, para pasar al dominio de frecuencias una señal f(t), ésta se encuentra en el espacio euclideo \mathbb{R}^2.
  2. El espacio euclideo \mathbb{R}^2 tiene el producto escalar habitual \langle u, v \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2, una métrica.
  3. En general, en \mathbb{K}^n, para reales o complejos, tenemos el producto escalar \langle u, v \rangle = \Sigma_{i=1}^{n} u_i \bar{v_i}.
  4. Pensando en transformadas, aunque la función f(x) \subset \mathbb{R}^2, en realidad la estamos pensando como un elemento de un espacio mas general: un espacio de funciones.
  5. El espacio en cuestión es L^2(\mathbb{R}):=\{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} medible \,|\, \int_{\mathbb{R}} |f|^2 < +\infty \}.
  6. Este espacio forma parte de una familia, los espacios de Lebesgue L^p(\Omega):=\{ f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} \,|\, \int_{\Omega} |f|^p < +\infty \}, donde p \in [0,+\infty) y \Omega es un conjunto medible en el sentido de Lebesgue. Esta familia de espacios normados, con norma ||\,\,||_{p}:=(\int_{\Omega} |f|^p)^{\frac{1}{p}}, son espacios de Banach.
  7. En realidad, L^2(\Omega) es un espacio de Hilbert, pues su norma deriva del producto escalar B(f,g):= \int_{\Omega} f\bar{g}, pues para cualquier producto escalar B: H\times H \rightarrow \mathbb{K} siempre podemos definir su norma asociada q_{B}: H \rightarrow \mathbb{R}^+ \cup {0} \,/\, u \mapsto q_B(u):=\sqrt{B(u,u)} con u \in H.
  8. En el caso particular de la tranformada de Fourier de una función f(t), podemos entenderla como el producto escalar de esta por la exponencial compleja e^{-2 \pi i \xi t}: f(\xi):=B(f(t),e^{-2 \pi i \xi t}) = \int_{\mathbb{R}} f(t) e^{-2 \pi i \xi t} dt.
  9. De esta manera, en \mathbb{R}^2 tenemos vectores, y podemos hacer geometría mediante el producto escalar habitual, pero también tenemos funciones, y también con éstas podemos hacer geometría mediante el último producto escalar definido, o podriamos definir l^p:=\{ \{a_n\}_{n=1}^\infty \,|\, \Sigma_{n=1}^\infty |\{ a_n\}|^p < +\infty\} con B: l \times l \rightarrow \mathbb{K} \,/\, (\{a_n\}_{n=1}^\infty,\{b_n\}_{n=1}^\infty) \mapsto \Sigma_{n=1}^\infty a_n \bar{b_n} y hacer geometría con sucesiones.
  10. Por tanto, puedo definir diferentes entidades sobre un mismo espacio, definir su correspondiente producto escalar y hacer geometría con éstas.
  11. Al igual que utilizamos el producto escalar habitual del plano tangente para trabajar en un punto de la variedad, tendríamos que hacer lo mismo con el resto de entidades.
  12. Cuando hablamos de teoría espectral, necesitamos un sistema ortonormal \{ x_i \}_{i \in I}, es decir, un conjunto de vectores que forman una base y  que B(u_i,u_j) = \delta_{ij}. ¿Cómo encontrar un sistema de este tipo?
  13. Sabemos que vectores propios asociados a valores propios diferentes son linealmente independientes. Por tanto, podemos construir un sistema de este tipo diagonalizando un operador. De hecho, podemos relacionar la base utilizada en Fourier con el operador diferenciación.
  14. Cuando tenemos diversas variables, el operador equivalente sería el Laplaciano. Por tanto, podriamos construir una base ortonormal infinita en una variedad encontrando una base de vectores propios asociados al operador Laplaciano definido en la variedad.
  15. En realidad, al trabajar con una variedad M, por un lado tengo el operador de Laplace-Beltrami, que es una generalización del Laplaciano al caso de variedades, y por otra tendré que considerar funciones sobre éste, por lo que ahora trabajaré con el espacio L^2(M) := \{ f: M \rightarrow \mathbb{C} \,|\, \int_M |f|^2 < +\infty \}.
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