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No hay que confundir los dos conceptos del título del post. Por un lado tenemos claramente definido el concepto de serie convergente: una serie es convergente si la sucesión de las sumas parciales tiene límite. Por otro, existen métodos de sumación, que pretenden extender, de manera consistente, la asignación de un valor de suma a una serie divergente en el sentido anterior.

Sin entrar en criterios de convergencia de series, existe una manera muy sencilla de saber si una serie diverge: si la sucesión de términos no tiende a cero, entonces la serie diverge:

\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty.

Por ejemplo, las series:

\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n = 1 - 2 + 3 - \ldots

\sum_{n=1}^{\infty} n = 1 + 2 + 3 + \ldots

son divergentes, ya que la sucesión de sus correspondientes sumas parciales (1,-1,2,-2\ldots; 1,3,6,10,\ldots ) no tiene límite o, por el criterio anterior, \lim_{n \rightarrow \infty} (-1)^{n-1} n \neq 0 y \lim_{n \rightarrow \infty} n \neq 0.

Sin embargo, podemos asignarle un valor a esta suma (jugando apropiadamente con los términos :-)). En el primer caso, ya Euler encontró que:

\sum_{n=1}^{\infty} n = 1 - 2 +3 -4 + \ldots = \frac{1}{4},

y posteriormente se establecieron métodos bien definidos para encontrar sumas generalizadas de series divergentes.

En el segundo caso, podemos utilizar la extensión analítica (de funciones analíticas y sus extensiones comenté algo en este post) de la función zeta de Riemann (una nota curiosa aquí):

\zeta(s):=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \ldots,

ya que nuestra serie no es mas que \zeta(-1) y, como se puede demostrar que:

\zeta(-s) = \frac{B_{s+1}}{s+1},

donde B_n son los números de Bernoulli, entonces tenemos que:

\sum_{n=1}^{\infty} n = 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots = -\frac{1}{12},

En este post, Tao da una interpretación matemáticamente consistente de lo que son estos valores.

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