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El círculo de Apolonio de focos F_1 y F_2 de razón r es el lugar geométrico de los puntos de plano P tales que:

\overline{PF_1}/\overline{PF_2} = r.

Definimos las coordenadas bipolares (\xi,\eta) de la siguiente manera:

x = a \frac{\mbox{\scriptsize sinh} \eta}{\mbox{\scriptsize cosh} \eta - cos \xi},

y = a \frac{\sin \eta}{\mbox{\scriptsize cosh} \eta - cos \xi},

donde en los puntos F_1=(-a,0) y F_2=(a,0) tenemos definidos los dos focos.

La interpretación geométrica es la siguiente: dado un punto P=(x,y) del plano, la coordenada \xi es el ángulo que forman los vectores u:=\overline{PF_1} y v:=\overline{PF_2}:

\xi = \arccos \frac{u \cdot v}{|u||v|}, de manera que \xi \in [-\pi,\pi],

mientras que la coordenada \eta es el rátio entre los módulos de éstos:

\eta = \log \frac{|u|}{|v|}, por lo que \eta \in ]0,\infty[,

que si las expresamos de manera que aparezcan explicitamente las coordenadas cartesianas, quedan:

\xi = \arccos \frac{x^2 + y^2 - a^2}{\sqrt{(a-x)^2 + y^2}\sqrt{(a+x)^2+y^2}},

\eta = \frac{\log[(a+x)^2+y^2] - \log[(a-x)^2+y^2]}{2}.

A continuación, una imagen con lineas coordenadas:

BiSphCoo

Para pasar a coordenadas en tres dimensiones, lo único que hacemos es añadir una nueva coordenada \varphi que nos indica un ángulo de rotación respecto de un eje. Si el eje es la recta que une los focos, obtenemos las coordenadas biesféricas, que son las que nos interesarán y utilizaremos en posteriores entradas. Si lo que hacemos es rotar respecto a la recta perpendicular a la anterior, la que separa los dos focos, obtenemos las coordenadas toroidales.

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