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Dada una función f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} tal que f''(x)>0 entonces alcanza su valor máximo en uno de los dos extremos. La segunda derivada f''(x) no esta dando la pendiente de la función f'(x) en cada punto. Como ésta es positiva, nos indica que la derivada de f es estrictamente creciente, es decir, que la función no tiene ningún extremo relativo en el interior del intervalo.

De esta manera, diremos que una función que cumple f''>0 en un dominio A y que por este motivo alcanza su máximo en la frontera \partial A tiene un principio del máximo.

En una dimensión tenemos que si f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} continua y suficientemente derivable, entonces c \in (a,b) es un máximo relativo si u'(x) = 0 y u''(x) \leq 0. Si consideramos una función u tal que L:= u'' + g(x)u' >0, con g acotada, es imposible que cumpla las condiciones de máximo anteriores, por lo que se alcanzaran en los extremos.

Para empezar, consideremos el operador Laplaciano. El principio del máximo para el Laplaciano nos dice que si \Delta u \geq 0 en una región \Omega acotada, entonces el máximo de la función u se alcanza obligatoriamente en \partial \Omega:

\max_{x \in \Omega} u(x) = \max_{y \in \partial \Omega}u(y).

De la misma manera, si lo que sabemos es que \Delta u \leq 0 en \Omega (principio del mínimo), entonces:

\min_{x \in \Omega} u(x) = \min_{y \in \partial \Omega}u(y).

Razonamos para la desigualdad estricta \Delta u > 0 (la igualdad también es cierta pero el razonamiento requiere de métodos perturbativos). Si x_0 es un punto donde se alcanza su máximo, entonces debe ser un punto crítico, por lo que sus derivadas primeras deben anularse \nabla u(x_0) = 0 y sus derivadas segundas puras deben ser no positivas u_{ii} \leq 0. De esta manera, llegamos a la contradicción, ya que

\Delta u(x_0) = \sum_i u_{ii}(x_0) \leq 0.

En particular, si una función es armónica \Delta u = 0, cumple tanto el principio del máximo como el del mínimo de manera que los extremos de toda función armónica definida sobre un dominio acotado se alcanzan en la frontera.

El hecho anterior es crucial para la unicidad de solución, si existe,  de la ecuaciónes elíptica:

\Delta u = f, x \in \Omega con u = g, x \in \delta \Omega,

ya que si existieran dos u_1 y u_2, y consideraramos la diferencia v=u_1 - u_2, esta es solución del problema:

\Delta v = 0, x \in \Omega con v = 0, x \in \delta \Omega,

siendo, por tanto, v armónica y tomando sus extremos en \partial \Omega. Pero como v es 0 en la frontera, tanto el máximo como el mínimo son nulos, y v solo puede ser la función identicamente nula, por lo que u_1 = u_2.

Existen criterios para la unicidad de operadores mas complejos. En el libro “Maximum Principles in Differential Equations” de M.H. Protter y H.F. Weinberger se trata el tema en profundidad.

 

Una función f:\Omega \rightarrow \mathbb{C} es diferenciable en z_0 \in \Omega si existe el límite:

f'(z_0) := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h},

donde f'(z_0) es la derivada de f(z) en z_0.

Diremos que f(z) es holomorfa en z_0 \in \Omega si es diferenciable en todos los puntos de un entorno \mathcal{U}(z_0). Diremos que es holomorfa  en \Omega si lo es \forall z \in \Omega. Diremos que una función es entera cuando \Omega = \mathbb{C}.

Si la función

f(z) = u(x,y) + i \, v(x,y)

es diferenciable en z_0 = (x_0,y_0) \in \Omega, existen u_x, u_y, v_x, v_y y cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (C-R):

u_x = v_y y u_y = -v_x.

Notar que para hablar de funciones holomorfas en relación a funciones de variable real, necesitamos funciones de dos variables cumpliendo C-R.

El principio del módulo máximo, que es un teorema, nos dice que si f(z) es holomorfa y no constante en un dominio abierto y conexo (si no es conexo, el teorema es válido para cada componente conexa) \Omega entonces |f(z)| no tiene ningún máximo en \Omega.

Tenemos dos corolarios:

  1. si \Omega acotado y f es contínua en \bar{\Omega}, entonces f asume el máximo en la frontera \partial \Omega,
  2. si tomamos g:=1/f tenemos el principio del módulo mínimo y su correspondiente versión en compactos.

Finalmente, diremos que una función u es armónica si cumple la ecuación de Laplace \Delta u = 0. Es fácil demostrar que si f (z)= u(x,y) + i \, v(x,y) es holomorfa en \Omega entonces u(x,y) y v(x,y) son armónicas en \Omega. Se las llama armónicas conjugadas.

Existe una versión del principio del módulo máximo para funciones armónicas: si u(x,y) es armónica en un dominio simplemente conexo \Omega, entonces la función u(x,y) no tiene ningún máximo en \Omega.

Una PDE cuasilineal de segundo orden en dos variables independientes x e y con función incógnita u(x,y) tiene la forma general:

a(x,y,u,u_x,u_y) u_{xx} + 2b(x,y,u,u_x,u_y) u_{xy}

+ c(x,y,u,u_x,u_y)u_{yy} + d(x,y,u,u_x,u_y) = 0,

donde a,b,c,d son funciones contínuas en un subconjunto abierto \mathcal{V} de \mathcal{U} \times \mathbb{R}^3 de las variables (x,y,u,u_x,u_y) donde \mathcal{U} es un abierto de \mathbb{R}^2.

Definimos el discriminante como

D(v^0) := a(v^0)c(v^0) - b^2(v^0),

con v^0 = (x^0,y^0,u^0,u_x^0,u_y^0) \in \mathcal{V}. Diremos que la ecuación anterior es:

  1. Elíptica en el punto v^0 si D(v^0) > 0,
  2. Parabólica en el punto v^0 si D(v^0) = 0,
  3. Hiperbólica en el punto v^0 si D(v^0) < 0.

Por tanto, el carácter elíptico, parabólico o hiperbólico depende no solo del punto (x^0,y^0) \in \mathcal{U} sino también del valor de una solución y sus derivadas parciales de primer orden en dicho punto. Además, en el caso de que la parte principal, los coeficientes que multiplican a las derivadas de segundo orden, sea de coeficientes constantes, el carácter se mantiene en todos los puntos donde esté definida la función d.

De esta manera, la ecuación de Laplace u_{tt} + u_{xx} = 0 es elíptica en todos los puntos; la ecuación del calor u_t - u_{xx} =0 es parabólica; y la ecuación de ondas u_{tt} - u_{xx} = 0 es hiperbólica.

En el caso de tener n variables independientes x_1, x_2, \ldots, x_n entonces la ecuación general tiene la forma:

a^{ij}(x_1,\ldots, x_n, u, u_{x_1},\ldots, u_{x_n}) u_{x_i, x_j} + \ldots =0,

donde a^{ij} es la parte principal y el resto son terminos de menor orden. En este caso, el carácter de la ecuación depende de la signatura de los valores propios de la matriz de coeficientes:

  1. Elíptica si los valores propios son todos positivos o todos negativos,
  2. Parabólica cuando todos los valores propios son positivos o negativos excepto uno que es zero,
  3. Hiperbólica si todos los valores propios son positivos excepto uno que es negativo o todos son negativos excepto uno que es positivo.

Finalmente, toda ecuación se puede reducir a una forma canónica, que corresponde a uno de los tres tipos clásicos: Laplace, calor u ondas.

Ayer asistí a la mesa redonda “the Frontiers of Physics: Status and Perspectives” en el IFIC con los Premios Nobel de física Sheldon Glashow (por el desarrollo de la teoría electrodébil) y Frank Wilczek (por la propiedad de la libertad asintótica en la teoría de la cromodinámica cuántica):

nobels

De los cuatro campos que propuso Frank como prometedores, dos son las ondas gravitacionales y la física computacional. Estamos de suerte en el grupo 🙂

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