Para empezar, consideremos el operador Laplaciano. El principio del máximo para el Laplaciano nos dice que si \Delta u \geq 0 en una región \Omega acotada, entonces el máximo de la función u se alcanza obligatoriamente en \partial \Omega:

\max_{x \in \Omega} u(x) = \max_{y \in \partial \Omega}u(y).

De la misma manera, si lo que sabemos es que \Delta u \leq 0 en \Omega (principio del mínimo), entonces:

\min_{x \in \Omega} u(x) = \min_{y \in \partial \Omega}u(y).

Razonamos para la desigualdad estricta \Delta u > 0 (la igualdad también es cierta pero el razonamiento requiere de métodos perturbativos). Si x_0 es un punto donde se alcanza su máximo, entonces debe ser un punto crítico, por lo que sus derivadas primeras deben anularse \nabla u(x_0) = 0 y sus derivadas segundas puras deben ser no positivas u_{ii} \leq 0. De esta manera, llegamos a la contradicción, ya que

\Delta u(x_0) = \sum_i u_{ii}(x_0) \leq 0.

En particular, si una función es armónica \Delta u = 0, cumple tanto el principio del máximo como el del mínimo de manera que los extremos de toda función armónica definida sobre un dominio acotado se alcanzan en la frontera.

El hecho anterior es crucial para la unicidad de solución, si existe,  de la ecuaciónes elíptica:

\Delta u = f, x \in \Omega con u = g, x \in \delta \Omega,

ya que si existieran dos u_1 y u_2, y consideraramos la diferencia v=u_1 - u_2, esta es solución del problema:

\Delta v = 0, x \in \Omega con v = 0, x \in \delta \Omega,

siendo, por tanto, v armónica y tomando sus extremos en \partial \Omega. Pero como v es 0 en la frontera, tanto el máximo como el mínimo son nulos, y v solo puede ser la función identicamente nula, por lo que u_1 = u_2.

Existen criterios para la unicidad de operadores mas complejos. En el libro “Maximum Principles in Differential Equations” de M.H. Protter y H.F. Weinberger se trata el tema en profundidad.

 

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