Asumiendo una estrella con simetría esférica y en complete equilibrium (hydrostatic equilibrium + thermally adjusted), las ecuaciones diferenciales básicas que nos darán su estructura son:

\frac{\partial}{\partial m}r = \frac{1}{4 \pi r^2 \rho}

\frac{\partial}{\partial m}P = - \frac{G m}{4 \pi r^4}

\frac{\partial}{\partial m}l = \varepsilon_n + \varepsilon_\nu

\frac{\partial}{\partial m}T = - \frac{G m T}{4 \pi r^4 P} \nabla

donde \nabla = \frac{d \ln T}{d \ln P}. Queremos encontrar funciones solución para la distancia radial r(m), para la presión P(m), para la energía l(m) y para la temperatura T(m) donde 0 \leq m \leq M, siendo M la masa total de la estrella. Necesitamos conocer los valores en la frontera de las funciones incógnita, esto es, r(0), P(0), l(0), T(0),  r(M), P(M), l(M), T(M). A través de la relación de operadores

\frac{\partial}{\partial m} = \frac{1}{4 \pi r^2 \rho} \frac{\partial}{\partial r}

deberíamos de recuperar las ecuaciones de la hidrodinámica en steady-state expresadas en su forma habitual.

Podemos discretizarlas a primer orden:

\frac{r_{i} - r_{i-1}}{\Delta m} = \frac{1}{4 \pi r_{i/2}^2 \rho_i}

\frac{P_{i} - P_{i-1}}{\Delta m} = - \frac{G m_i}{4 \pi r_{i/2}^4}

\frac{l_{i} - l_{i-1}}{\Delta m} = (\varepsilon_n)_i + (\varepsilon_\nu)_i

\frac{T_{i} - T_{i-1}}{\Delta m} = - \frac{G m_{i} T_{i/2}}{4 \pi r_{i/2}^4 P_{i/2}} \nabla_{i/2}

Si despejamos las variables en el punto i de la discretización, obtenemos:

r_{i}^{*} = \Delta m \frac{1}{4 \pi r_{i/2}^2 \rho_i} + r_{i-1}

P_{i}^{*} = - \Delta m \frac{ G m_i}{4 \pi r_{i/2}^4} + P_{i-1}

l_{i}^{*} = \Delta m [ (\varepsilon_n)_i + (\varepsilon_\nu)_i] + l_{i-1}

T_{i}^{*} = - \Delta m \frac{G m_{i} T_{i/2}}{4 \pi r_{i/2}^4 P_{i/2}} \nabla_{i/2} + T_{i-1}

y con esto, podemos obtener esquemas con factor de relajación:

r_{i}^{k} = (1 - \omega) r_{i}^{k-1} + \omega r_{i}^{*}

P_{i}^{k} = (1 - \omega) P_{i}^{k-1} + \omega P_{i}^{*}

l_{i}^{k} = (1 - \omega) l_{i}^{k-1} + \omega l_{i}^{*}

T_{i}^{k} = (1 - \omega) T_{i}^{k-1} + \omega T_{i}^{*}

 

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