En el post anterior hemos discretizado un sistema de ecuaciones donde únicamente aparecen primeras derivadas.

Para que quede claro lo que queremos decir, vamos a trabajar con la ecuación genérica

\frac{d}{dx}u = f(u,x)

Ya en el punto de la discretización necesitamos comentar dos cosas. Por una parte, dado que queremos escribir el método iterativamente, necesitamos que en la discretización aparezca un término con el punto actual. En caso contrario, no podemos despejar la variable en el punto actual. De esta manera, para la discretización de la primera derivada a orden uno hacia atrás, tenemos:

\frac{u_{i} - u_{i-1}}{h} = f(u,x) \Leftrightarrow u_i = h f(u,x) + u_{i-1}

Y en diferencias hacia adelante, nos encontramos con:

\frac{u_{i+1} - u_i}{h} = f(u,x) \Leftrightarrow u_i = u_{i+1} - h f(u,x)

Sin embargo, si utilizamos la aproximación a orden dos centrada, tenemos

\frac{u_{i+1} - u_{i-1}}{2h} = f(u,x)

nos encontramos con que no podemos despejar u_i para implementar la iteración ya que este termino no aparece en la ecuación.

Pero no solo eso. Además, la discretización que utilicemos debería dar lugar a una matriz con todos los autovalores con el mismo signo, para que una iteración tipo Jacobi pueda aplicarse. La primera discretización y la segunda cumplen esta propiedad (dan lugar a una matriz con 1 en la diagonal y -1 arriba o abajo de la diagonal en función de la discretización escogida). La última, sin embargo, da lugar a una matriz con todos los autovalores complejos (0 en la diagonal, 1 y -1 arriba y abajo de esta).

 

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