Supongamos que tenemos la ecuación

\frac{d}{dx} = f(u,x)

y que queremos hacer un estudio de su estabilidad de von Neumann. Para empezar, necesitamos la discretización con factor de relajación y, además, asumimos que el termino fuente no afecta al mismo. Lo que nos queda es

u_{i}^{k+1} = (1-\omega) u_i^k +  \omega u_{i-1}^k

de donde tenemos que

\varepsilon_{i}^{k+1} = \varepsilon_i^k - \omega ( \varepsilon_i^k - \varepsilon_{i-1}^k)

Como lo que nos interesa es el factor de amplificación G = \frac{\varepsilon_i^{k+1}}{\varepsilon_i^k}, lo que nos queda es

G = 1 - \omega (1-e^{-i k h})

Siendo k los números de onda. Así como en las discretizaciones para el Laplaciano derivaba en expresiones donde podíamos combinar las exponenciales para formar funciones trigonométricas, aquí no pasa eso.

Si añadimos discretizaciones de mas puntos, no centradas para obtener el punto actual, seguimos teniendo el mismo problema. Por ejemplo, para el caso de no centrada de orden dos, lo que nos queda es

G = 1- \omega (-2 + 2e^{-i k h} + \frac{1}{2}- \frac{1}{2} e^{-i k 2h})

 

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