Siguiendo con las pruebas numéricas, suponemos el siguiente sistema de ODEs:

\begin{cases} \frac{d}{dm}u = u^2 v  \\  \frac{d}{dm}v = u v^2 \end{cases}

que es un sistema sencillo  con fuentes no lineales acopladas entre si del que conocemos su solución analítica:

u(m) = e^m, \,\,\,\, v(m) = e^{-m}

Tratamos de resolverlo tal y como hicimos en el post  Derivando sistemas de ODEs: derivando en ambos lados del sistema:

\begin{cases} \frac{d^2}{dm^2}u = \frac{d}{dm}(u^2 v)  \\  \frac{d^2}{dm^2}v = \frac{d}{dm}(u v^2) \end{cases}

De esta manera, utilizamos una discretización en diferencias finitas de las derivadas segundas de los lados izquierdos de las ecuaciones del sistema; mientras que derivamos numéricamente los términos fuente del lado derecho del sistema. Además, por ser no lineal, tenemos un bucle externo adicional en el que vamos actualizando los términos fuente cada vez que encontramos una solución para las fuentes que teníamos en el paso anterior. Las fronteras son las mismas que teniamos antes de derivar:

u(0)=1,\,\, u(1)=e,\,\, v(0)=1,\,\, v(1)=1/e

La siguiente secuencia de imágenes muestra como nos acercamos correctamente a la solución tras muy pocas iteraciones (tres) de la parte debida a la no linealidad:

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