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En todos los últimos posts hemos visto el buen comportamiento de nuestro método. Sin embargo, recordemos que estamos derivando numéricamente las fuentes de nuestras ecuaciones para poder tener esquemas con derivadas segundas. ¿Qué ocurre si estas fuentes no son derivables (o ni siquiera continuas)?

Supongamos que queremos encontrar la solución para

\frac{d}{dm}u = \mathrm{sgn}(m-1/2)

en el dominio m \in [0,1], cuya solución es u(m) = |m-1/2|.

En este ejemplo, tenemos un término fuente que no es ni continuo. Sin embargo, nuestro método tratará de derivarlo numéricamente (y recordemos que, en términos de distribuciones, si es posible hacerlo siendo \delta_{1/2}(m)).

La primera gráfica del final del post muestra el término fuente, en azul, la solución analítica, en naranja, y la solución que encontramos numéricamente, en verde.

Si utilizamos la función escalón (desplazada), H(m-1/2) como fuente para que la solución sea la función rampa (desplazada), R(m-1/2), lo que obtenemos aparece en la segunda gráfica.

Finalmente, si tomamos como fuente una delta de Dirac en el centro del dominio, \delta_{1/2}(m), el resultado es la última de las gráficas.

Por lo tanto, vemos que el método es lo suficientemente robusto para tratar también con este tipo de términos fuente, aunque las soluciones que vamos a encontrar van a ser versiones suaves de las soluciones exactas.

Dado que la discontinuidad esta en la fuente, y sabemos su localización, si pudiéramos intuir el valor de la solución en ella, podríamos dividir el problema frontera en dos y la solución sería mucho mejor.

 

 

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