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Como ya hemos visto en Hidrodinámica incompresible, las ecuaciones de Euler para éste caso quedan:

\frac{\partial}{\partial t}v + (v \cdot \nabla)v + \nabla P = 0, \,\,\,\,\,\, \nabla \cdot v =0

De manera que, para el caso estacionario, que es el que nos interesa, tenemos:

(v \cdot \nabla)v + \nabla P = 0, \,\,\,\,\,\, \nabla \cdot v =0

Tenemos un sistema de n+1 PDEs con n+1 incognitas: el campo de velocidades v=(v_1, ... ,v_n) y la presión interna del fluido P.

Para el caso n=3, existen teoremas en el campo de la hidrodinámica topológica que nos dicen como son las lineas de corriente (trayectorias del campo v) y de vorticidad (trayectorias del campo \omega = \nabla \times v) de sus soluciones. De hecho, en función de si los campos de velocidad y de vorticidad son o no colineales, tendremos dos grandes familias de soluciones en función de la complejidad topología de sus lineas de corriente.

Aunque existen otras hipótesis adicionales, lo fundamental es que para el caso de que v \times w \neq 0, es decir, que los campos de velocidad y vorticidad  no son colineales, el Teorema de Estructura de Arnold nos dice que las trayectorias del fluido son bastante ordenadas y se distribuyen sobre superficies regulares: toros o cilindros.

Para el caso en que u y \omega son colineales, el Teorema de Realización de Enciso y Peralta-Salas nos dice que ahora las lineas de corriente y vorticidad pueden tener topologías arbitrariamente complejas: cualquier enlace (link), una colección de nudos (knots) libre de intersecciones, localmente finito es realizable.

El ejemplo paradigmático de campos con esta última propiedad en el espacio euclídeo tridimensional son  los campos de Beltrami, campos tales que \nabla \times v = \lambda v, siendo los campos ABC, campos con

v(x_1,x_2,x_3) =

(A \sin x_3 + C \cos x_2, B \sin x_1 + A \cos x_3, C \sin x_2 + B \cos x_1)

y A, B, C \in \mathbb{R}, los mas estudiados.

En ambos casos, las demostraciones utilizan la forma equivalente de las ecuaciones de Euler

v \times (\nabla \times v) = \nabla B, \,\,\,\,\,\, \nabla \cdot v =0

siendo B=P + \frac{|v|^2}{2}. Se utiliza el hecho de que

(v \cdot \nabla)v = (\nabla \times v) \times v + \nabla \left ( \frac{|v|^2}{2} \right )

(Para mas información: aquí y aquí)

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