Ya hemos visto en Hidrodinámica topológica y las ecuaciones de Euler incompresible en el caso estacionario. que las soluciones en el caso tridimensional pueden ser tan complicadas como queramos.

Generalizando el caso unidimensional visto en Euler incompresible en 1D, parece que podríamos llegar a construir soluciones numéricas, también muy complicadas, de la ecuación en cuestión.

Recapitulemos: tenemos el sistema con n+1 PDEs:

(v \cdot \nabla)v + \nabla P = 0, \,\,\,\,\,\, \nabla \cdot v = 0

con las n+1 incognitas v=(v_1, ..., v_n) y P. ¿Cómo podemos construir soluciones? Básicamente aplicaremos dos veces el método de proyección.

Dado un campo de velocidades v^* cualquiera, por el teorema de Helmholtz siempre podemos escribirlo como una cantidad libre de divergencia, a la que vamos a llamar v, ya que será nuestra solución, y el gradiente de un escalar:

v^* = v + \nabla \varphi

Tomando la divergencia de la ecuación, y teniendo en cuenta que por construcción tenemos que \nabla \cdot v = 0, nos queda la ecuación elíptica

\Delta \varphi = \nabla \cdot v^*

que, una vez resuelta, al conocer \varphi nos permite el cálculo

v = v^* - \nabla \varphi

Acabamos de construir un campo de velocidades v que satisface la ecuación de restricción \nabla \cdot v = 0.

Para encontrar el valor de P, procedemos de la misma manera. Utilizamos la ecución (reescrita) que nos queda

\nabla P = - (v \cdot \nabla) u

de la que podemos volver a tomar divergencias, volviendo a encontrar otra ecuación tipo Poisson con fuente conocida

\Delta P = - \nabla \cdot \left [ (v \cdot \nabla) v \right ]

Y ya estaria. Lo que falta aquí es encontrar las condiciones de frontera apropiadas en ambos casos, que para el caso elíptico es fundamental.

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