Como ya comentamos en el post Hidrodinámica topológica y las ecuaciones de Euler incompresible en el caso estacionario, los campos de Beltrami (o force-free fields en otras áreas) mas famosos son los campos ABC.

Recordemos que estos campos son de la forma

v(x,y,z) =

(A \sin z + C \cos y, B \sin x + A \cos z, C \sin y + B \cos x)

con A, B, C \in \mathbb{R} y que son solución de las ecuaciones de Euler tridimensionales para fluidos incompresibles en estado estacionario:

\omega = \nabla \times v =

( \partial_y (C \sin y + B \cos x) - \partial_z (B \sin x + A \cos z),

\partial_z (A \sin z + C \cos y) - \partial_x (C \sin y + B \cos x),

\partial_x (B \sin x + A \cos z) - \partial_y (A \sin z + C \cos y) ) =

(C \cos y - (-A \sin z), A \cos z - (- B \sin x), B \cos x - (-C \sin y)) = v

\nabla \cdot v =

\partial_x (A \sin z + C \cos y) +  \partial_y (B \sin x + A \cos z) + \partial_z (C \sin y + B \cos x) = 0

Para ver mas el aspecto que tiene, podemos pintar el campo particular con A = B = C = 1 y una sección del mismo:

 

 

Dos consideraciones al respecto del campo. Por una parte, la autosemejanza que posee a muchas y diferentes escalas, por poner un ejemplo:

 

ABC1_2d_2

 

La autosemejanza es una propiedad intrínseca de la geometría fractal y ésta, a su vez, esta relacionada con el comportamiento caótico.

Y la otra, que para poder aplicar Helmholtz a un campo necesitamos de un decaimiento mas rápido que 1/r^2 en el infinito.

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