Así describe Charles L. Fefferman (Medalla Fields en 1978) de manera oficial uno de los siete Problemas del Milenio propuesto por el Clay Mathematics Institute en el año 2000.

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de un fluido en \mathbb{R}^n, \,n \in \{2,3\}.  Las incógnitas son el campo vectorial de velocidades v(t,x) = (v_i(t,x))_{1 \leq i \leq n} \in \mathbb{R}^n y el campo escalar de presiones p(t,x) \in \mathbb{R}, definidos para x \in \mathbb{R}^n y t \geq 0.

El problema se restringe al caso de fluidos incompresibles sobre todo \mathbb{R}^n. Estas ecuaciones, deducidas a partir de elementos de fluidos, quedan como;

\nu \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} v_i - \frac{\partial}{\partial x_i} + f_i = \frac{\partial}{\partial t} v_i + \sum_{j=1}^{n} v_j \frac{\partial}{\partial x_j} v_i

que no es mas que la segunda ley de Newton F = m a donde f(t,x) = (f_i(t,x))_{1 \leq i \leq n} es una fuerza externa que actúa junto con las fuerzas internas de presión y de rozamiento, siendo \nu el coeficiente de viscosidad; y como:

\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} v_i = 0

que expresa la incompresibilidad del fluido. Necesitamos además la condición inicial

v(0,x) = v^0(x) \in C^\infty(\mathbb{R}^n)

con x \in \mathbb{R}^n y \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} v^0_i = 0, o sea, ya incompresible.

El problema del que se pide demostración vuelve a restringirse una vez mas y solo tiene en cuenta el caso f(t,x)=0. Además, para evitar trabajar con todo \mathbb{R}^n, existe una formulación del mismo en el que solo se buscan soluciones periódicas, es decir, tales que

v^0(x+e_j)=v^0(x) para 1 \leq j \leq n

donde e_j es el j^{\mathrm{th}} vector unitario en \mathbb{R}^n. Para este caso, basta asumir que v^0 es suave i diremos que tenemos una solución si

v, p \in C^{\infty}([0,\infty) \times \mathbb{R}^n)

donde, además, tenemos que

v(t,x) = v(t,x+e_j) \in [0,\infty) \times \mathbb{R}^n

Finalmente, como queremos que v(t,x) no crezca de manera descontrolada cuando |x| \rightarrow \infty, también deseamos que la solución tenga energía acotada:

\int_{\mathbb{R}^n} |u(t,x)|^2 dx < K para todo t \geq 0

Como ya hemos comentado en algún post anterior, recuperamos Euler simplemente haciendo que \nu =0 y el problema también está abierto y es importante.

Para mas información, aquí.

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