Acabamos de ver en el post anterior que las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos incompresibles sin fuerzas externas en \mathbb{R}^3 quedan:

\begin{cases} \frac{\partial}{\partial t} v_x + \frac{\partial}{\partial x} p = \nu \Delta v_x - v_x \frac{\partial}{\partial x} v_x - v_y \frac{\partial}{\partial y} v_x - v_z \frac{\partial}{\partial z} v_x \\ \frac{\partial}{\partial t} v_y + \frac{\partial}{\partial y} p = \nu \Delta v_y - v_x \frac{\partial}{\partial x} v_y - v_y \frac{\partial}{\partial y} v_y - v_z \frac{\partial}{\partial z} v_y \\ \frac{\partial}{\partial t} v_z + \frac{\partial}{\partial z} p = \nu \Delta v_z - v_x \frac{\partial}{\partial x} v_z - v_y \frac{\partial}{\partial y} v_z - v_z \frac{\partial}{\partial z} v_z \\ \frac{\partial}{\partial x} v_x + \frac{\partial}{\partial y} v_y + \frac{\partial}{\partial z} v_z = 0 \end{cases}

Sabemos que empezamos con v^0 = (v_x^0, v_y^0, v_z^0) tal que \nabla \cdot v^0 = 0, por lo que ya cumple la última condición.

Para estado estacionario, podríamos encontrar con cualquier integrador un campo escalar p tal que verificara las tres primeras ecuaciones:

\begin{cases} \frac{\partial}{\partial x} p = \nu \Delta v_x^0 - v_x^0 \frac{\partial}{\partial x} v_x^0 - v_y^0 \frac{\partial}{\partial y} v_x^0 - v_z^0 \frac{\partial}{\partial z} v_x^0 \\ \frac{\partial}{\partial y} p = \nu \Delta v_y^0 - v_x^0 \frac{\partial}{\partial x} v_y^0 - v_y^0 \frac{\partial}{\partial y} v_y^0 - v_z^0 \frac{\partial}{\partial z} v_y^0 \\ \frac{\partial}{\partial z} p = \nu \Delta v_z^0 - v_x^0 \frac{\partial}{\partial x} v_z^0 - v_y^0 \frac{\partial}{\partial y} v_z^0 - v_z^0 \frac{\partial}{\partial z} v_z^0 \end{cases}

Llamamos a este campo que acabamos de encontrar p^0. Ahora ya podemos evolucionar un paso de tiempo, también con un integrador del ODEs, de manera que:

\begin{cases} \frac{\partial}{\partial t} v_x = \nu \Delta v_x^0 - v_x^0 \frac{\partial}{\partial x} v_x^0 - v_y^0 \frac{\partial}{\partial y} v_x^0 - v_z^0 \frac{\partial}{\partial z} v_x^0 - \frac{\partial}{\partial x} p^0 \\ \frac{\partial}{\partial t} v_y = \nu \Delta v_y^0 - v_x^0 \frac{\partial}{\partial x} v_y^0 - v_y^0 \frac{\partial}{\partial y} v_y^0 - v_z^0 \frac{\partial}{\partial z} v_y^0 - \frac{\partial}{\partial y} p^0 \\ \frac{\partial}{\partial t} v_z = \nu \Delta v_z^0 - v_x^0 \frac{\partial}{\partial x} v_z^0 - v_y^0 \frac{\partial}{\partial y} v_z^0 - v_z^0 \frac{\partial}{\partial z} v_z^0 - \frac{\partial}{\partial z} p^0 \end{cases}

Y encontramos una nueva v*^1. Pero este campo vectorial de velocidades no es de divergencia nula, o sea, que tenemos:

\nabla \cdot v*^1 \neq 0

Sin embargo, por Helmholtz, podemos proyectar. De esta manera, nos quedaría

v^1 = v*^1 - \nabla \varphi

donde

\Delta \varphi = \nabla \cdot v*^1

con las propiedades de frontera adecuadas. Llegados a este punto, y siguiendo la misma estrategia que antes, podemos encontrar p^1. De esta manera, cualquier pareja (v^n, p^n) cumple las ecuaciones de Navier-Stokes en estado estacionario. Pararemos la evolución cuando converjamos a una solución, es decir, cuando la distancia entre dos campos de velocidades sucesivos sea menor que una tolerancia dada.

Anuncios