No deja de ser curioso que el método de Henyey o la matriz de Henyey estén totalmente vinculados a la resolución de las ecuaciones de estructura y evolución estelar. Se trata de un sistema de ODEs de primer orden con términos no lineales que modelan un problema de frontera. Obviamente, necesitamos de métodos numéricos para abordar su resolución. Sin embargo, no debe ser el único sistema de este tipo del que se necesite conocer su solución (¿o si que lo es?).

Uno de los métodos estándar para este tipo de problemas es el shooting method. Sin embargo, se argumenta que no es el mejor para este problema. Como ya hemos comentado en algún post, el problema de las primera derivadas es que en su discretización solo transportan información en uno de las dos direcciones. Además, resulta que en este problema la información conocida en las fronteras es parcial: conocemos la mitad de las condiciones en un extremo y la otra mitad en el otro (en concreto, se desconocen, por una parte, los valores de P y de T en el centro, y por otra, los valores de r y de l en la superficie). Ésto hace que las soluciones estén parametrizadas por los valores desconocidos. Y por si fuera poco, ademas de este desconocimiento parcial, existen factores con exponentes cuárticos, tanto en T como en r, que hacen que todo sea muy sensible a pequeñas variaciones.

En este caso, aunque dicen que no resulta práctico, se va integrando desde ambos extremos hasta un punto intermedio hasta que el fitting sea suave. Esto se podrá conseguir gracias a la variación de los parámetros libres (esta claro que se desconocen los valores de algunas de las funciones en el centro o en la superficie. Sin embargo, por cuestiones de simetria en el centro o de decaimiento en la superficie, igual si que se pueden imponer condiciones sobre las derivadas. O sea, aunque no conozcamos su valor Dirichlet, igual si que podemos conocer su valor Neumann, ¿no?).

Es aquí cuando entra en juego el método de Henyey. Vamos a tratar de entender el método con un ejemplo práctico, por lo que vamos a tratar de resolver el mismo problema que en este post, del que existe solución analítica, pero suponiendo que nuestro conocimiento en las fronteras es parcial, es decir, solo conoceremos uno de los dos valores en cada uno de los extremos y de manera complementaria. Recordemos que el sistema es

\frac{d}{dm}u = u^2 v, \,\,\,\,\,\, \frac{d}{dm}v = u v^2

en [0,1] donde ahora vamos a suponer que solo conocemos u(0)=1 en un extremo y v(1)=1/e en el otro. Los otros dos valores en los extremos se van a ir ajustando para conseguir el fit central. Los representaremos mediante u(1)=u_1 y v(0)=v_0. En el método del disparo esto habría que hacerlo manualmente, mientras que se supone que en Henyey está automatizado.

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