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Antes que nada, a ver si retomamos este blog, que está abandonadísimo.

No he podido evitar la tentación de poner esta entrada, no sea que esta tarde en nasatv anuncien que han podido estudiar la atmósfera con Spitzer de un exoplaneta potencialmente habitable y haya sorpresas 😉

 

¡Cómo pasa el tiempo! Ya hace meses que no escribo en mi blog…

A continuación dos enlaces a dos blogs que creamos, a ver si se animan las visitas :-), uno para mi hijo mayor de siete años y otro para mi hija mediana de cinco (la pequeña aun es demasiado pequeña 🙂 ), donde suben fotos de construcciones que hacen con Lego: la mayoria inventadas por ellos o con la ayuda de sus padres 🙂 y unas pocas oficiales a partir de instrucciones.

¡Qué los disfruten!

En el artículo técnico What would a binary black hole merger look like?  se simula, mediante técnicas de ray tracing, como vería un observador externo el merge de dos agujeros negros (del artículo y del sitio web de los autores están sacadas prácticamente todas las imágenes).

Si estamos mirando hacia algún sitio, digamos:

ClockTower-400x300

y pasa un agujero negro frente a nosotros, lo primero que se nos viene a la cabeza es la siguiente imagen:

ClockTower-400x300b

ya que como de un agujero negro no puede escapar nada, ni la luz, pensamos que veríamos una simple esfera negra tapando un trozo de nuestra visión. Sin embargo, una imagen mas realista de lo que veríamos es:

ClockTower_BH-400x300debido a la curvatura que experimentan los rayos de luz por la curvatura del espacio-tiempo que genera el agujero negro: efecto de lente gravitacional.

Colocando una imagen de fondo más métrica, así es como se verían los espacios de Minkowski, Schwarzschild y Kerr.

analyticSpacetimesSi en lugar de un agujero negro tenemos un sistema binario de agujeros negros de igual masa, entonces tendríamos:

bbhSystem

Finalmente, una animación del merge:

El viernes 13 de noviembre de 2014 murió Alexander Grothendieck, un genio matemático a la altura de los mas grandes, capaz de reformular el solo toda una área de las matemáticas desde sus mismos cimientos: la geometría algebraica. Sobre el escribí lo siguiente en esta entrada que dediqué al premio Abel del año pasado:

Alexander Grothendieck es el siguiente personaje importante en el área, pues reescribió la geometría algebraica subsumiendo el concepto de variedad algebraica en el de esquema, entendiendo que cualquier anillo conmutativo puede ser un objeto geométrico, dotando de esta manera, de un nuevo lenguaje y una fundamentación, mucho mas potente que la de Weil, para la geometría algebraica.

A pesar de su abstracción, o precisamente por ella, esta última visión es la que ha permanecido, pues permite conectar dos mundos, el de la geometría algebraica y el de la álgebra conmutativa.

Una anécdota que he leído en estos días, que muestran el despertar de su genialidad es la siguiente. Cuando empezó a trabajar en su tesis doctoral bajo la supervisión de Laurent Schwartz y Jean Dieudonné, dos de los mejores matemáticos de la época, le entregaron una lista con 14 problemas para que escogiera uno en el que trabajar los tres o cuatro años siguientes. A los pocos meses los había resuelto todos.

Cosechas y Siembras. Reflexiones y testimonios sobre un pasado de matemático, obra de su puño y letra y, según sus propias palabras:

…una reflexión sobre mí mismo y mi vida. Por eso mismo también es un testimonio…

da una visión de la profundidad e inmensidad de su pensamiento. Algunos extractos de la misma:

.Sus doce “grandes ideas” (su aportación a las matemáticas):

  1. Productos tensoriales topológicos y espacios nucleares.
  2. Dualidad “continua” y “discreta” (categorías derivadas, “seis operaciones”).
  3. Yoga Riemann-Roch-Grothendieck (teoría K, relación con la teoría de intersecciones).
  4. Esquemas.
  5. Topos.
  6. Cohomología étal y l-ádica.
  7. Motivos y grupo de Galois motívico (\otimes-categorías de Grothendieck).
  8. Cristales y cohomología cristalina, yoga “coeficientes de De Rham”, “coeficientes de Hodge”…
  9. “Algebra topológica”:\infty-campos, derivadores; formalismo cohomológico en los topos, como inspiración para una nueva álgebra homotópica.
  10. Topología moderada.
  11. Yoga de geometría algebraica anabeliana, teoría de Galois-Teichmüller.
  12. Punto de vista “esquemático” o “aritmético” en los poliedros regulares y las configuraciones regulares de todo tipo.

.Metaforas:

“Habló sobre dos tipos de matemáticos, el que abriría una nuez con martillo y cincel y el que, pacientemente, la sumerge en agua y espera, con el paso de los meses, a que el líquido penetre y se pueda partir cerrando la mano sin más”.

“Lo ignoto que quiere ser conocido se me presentaba como una porción de tierra, o una dura magra, resistiéndose a la penetración… El océano avanza insensible en silencio, nada parece suceder, nada se mueve, el agua está tan lejos que apenas puedes escucharlo… Y sin embargo finalmente rodea la sustancia resistente”.

.Importancia de las preguntas, nociones y puntos de vista frente a las respuestas propiamente dichas:

Es realmente por el descubrimiento sobre todo de preguntas nuevas, de nociones nuevas, o aún de puntos de vista nuevos, o de nuevos “mundos”, que mi obra matemática ha resultado ser fecunda, más que por las “soluciones” que he aportado a preguntas ya planteadas. Esta pulsión muy fuerte que me lleva hacia el descubrimiento de las buenas preguntas, más que hacia el de las respuestas, y hacia el descubrimiento de buenas nociones y enunciados, mucho más que hacia el de las demostraciones, son otros trazos “yin” fuertemente marcados en mi aproximación a las matemáticas

.Sensibilidad en el manejo del lenguaje e invención de nueva terminología:

Desde un punto de vista cuantitativo, a lo largo de mis años de productividad intensa, mi trabajo se ha concretado sobre todo en unas doce mil páginas de publicaciones, bajo la forma de artículos, monografías o seminarios, y por medio de centenares, si no miles, de nociones nuevas que han entrado en el patrimonio común, con los nombres mismos que les había dado al despejarlas [dégagées]. En la historia de las matemáticas, creo ser aquel que ha introducido en nuestra ciencia el mayor número de nociones nuevas y, a la vez, ser aquel que se ha visto llevado a inventar el mayor número de nombres nuevos, para expresar esas nociones con delicadeza y de la manera más sugestiva posible.

Un resumen en  http://finiterank.com/docs/grothendieck-zalamea.pdf:

Una sitio web dedicado a Grothendieck: http://www.grothendieckcircle.org/

Hoy, por primera vez en la historia, una sonda espacial aterrizará en un cometa. El cometa en cuestión es 67P/Churyumov-Gerasimenko, Chury para los amigos, la sonda espacial es Rosetta, de la ESA, y el módulo de aterrizaje es Philae.

En directo desde los medios de la ESA: http://rosetta.esa.int/

Podríamos decir que somos nuestras proteínas y que nuestro DNA codifica, entre otras cosas, la manera de construirlas.

Como breve introducción a la genética molecular, diremos que las proteínas son largas cadenas de aminoácidos, de los que existen únicamente 22 diferentes en éstas, sintetizadas por los ribosomas, los cuales son capaces de leer el mRNA, una copia de una sola hebra y con una base diferente al DNA (los cuatro nucleótidos del DNA son Citosina(C), Timina(T), Guanina(G) y Adenina (A) mientras que en el RNA en lugar de timina tenemos Uracilo(U)), por tripletes de nucleótidos.

En resumen, para sintetizar una proteína primero se copia su codificación en la doble hélice de DNA en una hebra de mRNA la cual es leída por un ribosoma y sintetiza una cadena peptidica traduciendo cada triplete de nucleótidos en el aminoácido que codifica éste.

Una proteína funciona porque adquiere una estructura tridimensional, en la que suelen repetirse dos estructuras secundarias características: hélices \alpha  y láminas \beta, durante el proceso de plegamiento. Aunque este plegamiento ocurre de manera relativamente rápida en la naturaleza, simularla computacionalmente se ha demostrado que es un problema NP-difícil.

Un problema puede ser más o menos difícil de resolver. La complejidad computacional pretende clasificar los problemas computacionales desde el punto de vista de cuanto cuesta resolverlos. Y para cuantificar esta dificultad de una manera teórica y objetiva, lo que se hace es ver como varia el tiempo de resolución con el tamaño de la entrada.

De esta manera, un problema perteneciente a la clase P, un problema resoluble en tiempo polinómico, es un problema cuyo tiempo de resolución es una función polinómica del tamaño de la entrada (si crece poco el tamaño de la entrada, crece poco el tiempo que tardamos en resolverlo, lo cual hace que estos problemas sean tratables).

¿Y qué quiere decir que un problema es de clase NP? Son aquellos problemas para los que es difícil encontrar una solución pero fácil verificarla, es decir, no se conoce ningún algoritmo polinómico que nos encuentre una solución pero si lo existe para comprobar que efectivamente lo es.

Para aclarar la definición anterior, pongamos un ejemplo: el problema del viajante de comercio. Dado un conjunto de ciudades, encontrar una ruta para un comerciante de manera que pase por TODAS las ciudades UNA ÚNICA vez. Este problema se traduce en encontrar un ciclo Hamiltoniano en un grafo. Un crecimiento moderado en el número de ciudades implicadas hace que el problema se vuelva prácticamente intratable. Sin embargo, si nos dan ya una solución, una ruta, es prácticamente trivial comprobar si es un ciclo hamiltoniano o no.

El problema P vs NP pretende demostrar si estos dos conjuntos son o no el mismo.

Dos definiciones complementarias para terminar.

  • Un problema es NP-completo si es un problema NP de los mas difíciles, dejémoslo ahí. El problema anterior es un problema de esta clase. Una propiedad que tienen estos problemas es que son todos equivalentes, desde el punto de vista de complejidad computacional, entre si, es decir, existe un algoritmo que traduce cualquier problema NP-completo en cualquier otro en tiempo polinómico. De manera que, si lográramos un algoritmo en P que resolviera uno de ellos, tendríamos un algoritmo en P para todos ellos (traducimos el otro problema al primero en tiempo polinómico, lo resolvemos en tiempo polinómico y traducimos la solución a una solución del original en tiempo polinómico).
  • Un problema es NP-duro si es, al menos, tan difícil como NP.

 

 

¿Cuantas veces necesito doblar un papel por la mitad para conseguir la altura de la Estatua de la Libertad (93m) o de la Torre Eiffel (324m)? Pues, aunque parezca increíble, superaríamos estas alturas con doblar un folio (supongamos 0.1mm) 20 veces o 22 veces respectivamente. Es más, con doblarlo 32 veces y ponernos encima, la Estación Espacial Internacional (ISS) orbitaría por debajo de nuestra posición. Y ésto es debido al vertiginoso crecimiento de la función exponencial: cada vez que doblamos el papel, doblamos la altura anterior.

A continuación, un ejemplo práctico de 13 dobleces llevado a cabo en el MIT:

Como puede verse, no resulta sencillo doblar un papel sobre si mismo tantas veces :-). Sin embargo, a efectos de la altura conseguida, pensemos simplemente en cortar y apilar…

Un número es perfecto si es la suma de sus divisores propios. Un divisor a de un número b es un divisor propio si a divide a b (a|b) pero b no divide a a (b \nmid a). Dicho de otra manera, son todos los divisores de un número excepto el mismo.

De esta manera, 6 = 1 + 2 + 3 es el primer número perfecto, ya que 1, 2, 3 son sus divisores propios. El siguiente número perfecto es el 28.

Dos cuestiones abiertas sobre estos números: ¿Existen infinitos números perfectos? ¿Existen números perfectos impares?

En el segundo libro de Paenza, se explica una manera de multiplicar cualquier par de números conociendo únicamente la tabla del dos. Necesitamos adicionalmente saber dividir por dos y saber sumar. Es es método ruso: vamos dividiendo el primer número por dos olvidándonos de los restos hasta llegar a 1, escribiéndolos en columna. En otra columna hacemos lo contrario con otro número: lo multiplicamos por dos hasta tener tantos elementos como en la columna anterior. Finalmente, sumamos los elementos de la segunda columna cuyo compañero en la primera sea un número impar y ¡voilà!

Este método, junto con el método egipcio, son métodos de multiplicación por duplicación.

¿Por qué funcionan? Básicamente estamos escribiendo  uno de los número en binario y aprovechando que la suma es distributiva 🙂

¡Cuánto tiempo sin escribir nada! Estoy bastante liado con el trabajo y he dejado abandonado el blog. Para que no se diga, una entrada breve: premio Leelavati.

En el penúltimo ICM en Hyderabad, la India, se estableció el premio Leelavati destinado a premiar la divulgación de las matemáticas. Ese año recibió el premio Simon Singh (leí su libro “El enigma de Fermat” en su día y vi el documental “El último teorema de Fermat” que dirigió y fue emitido en la BBC, ambos fantásticos).

En el ICM de este verano el galardonado fue el argentino Adrián Paenza. Aquí su memorable charla pública para la clausura del evento, y aquí sus libros, gratuitos para el disfrute personal, repletos de maravillosa matemática lúdica.

Ayer asistí a la mesa redonda “the Frontiers of Physics: Status and Perspectives” en el IFIC con los Premios Nobel de física Sheldon Glashow (por el desarrollo de la teoría electrodébil) y Frank Wilczek (por la propiedad de la libertad asintótica en la teoría de la cromodinámica cuántica):

nobels

De los cuatro campos que propuso Frank como prometedores, dos son las ondas gravitacionales y la física computacional. Estamos de suerte en el grupo 🙂

A continuación un video en varios idiomas que cierra el proyecto Supercomputación y eCiencia financiado por el programa Consolider en el que nuestro grupo participaba, y yo estuve contratado, en el área de Astrofísica. De hecho, uno de los que participa directamente en el vídeo es el Dr. Miguel Ángel Aloy, mi jefe 🙂 .

Además, como narrador del vídeo en castellano han contado con la participación del actor Morgan Freeman… 😉

Sin más dilación, ¡a disfrutar del vídeo! (castellano, inglés o catalán):

Se pueden dividir los sistemas digitales (aquellos que trabajan con un conjunto discreto de valores para sus entradas y salidas en contraposición a los analógicos que lo hacen con un conjunto infinito)

Podemos pensar las funciones como una especie de entidades que a partir de unas entradas nos generan unas salidas. Por ejemplo, en matemáticas la función f(x)=2x recibe un número real como entrada y nos devuelve el doble de ese número como salida.

Así pues, tenemos que para definir una función necesitamos un conjunto al que pertenecen las entradas de la función, un conjunto al que pertenecen sus salidas y una manera de obtener estas últimas a partir de las primeras (obviamente, estos métodos han de ser capaces de trabajar con los conjuntos anteriores). En particular, para la función anterior, tenemos que tanto los conjuntos de entrada como de salida son los números reales \mathbb{R}, es una función real de variable real, y la regla de transformación es sencillamente multiplicar por dos.

Por lo tanto, las funciones booleanas no son mas que funciones donde los conjuntos de entrada y de salida tienen que ver con los booleanos \mathbb{B} = \{ 0,1\}. O dicho de otra manera, tendran que ser capaces de trabajar solo con ceros y unos. Cuando escribimos

f:\mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B}^m

queremos decir que las entradas son  n valores booleanos \overbrace{\mathbb{B} \times \mathbb{B}}^{n} y lo mismo para los m valores de salida. Nos centraremos en m=1, ya que

f(b_1,\ldots,b_n) = f_1(b_1,\ldots,b_n) \times \ldots \times f_m(b_1,\ldots,b_n)

con

f_i:\mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B}.

Una propiedad interesante de las funciones booleanas es que, debido a que la cardinalidad de los booleanos es |\mathbb{B}|=2, entonces el número de combinaciones posibles para las entradas queda determinado por la aridad n de la función de la siguiente manera:

|\mathbb{B}^n| = 2^n.

Ésto justifica la utilización de las tablas de verdad para especificar el comportamiento de una función. En ella, se colocan a la izquierda todas las posibles combinaciones de las entradas, que como acabamos de ver es finito, y a la izquierda de cada una de las ellas el valor correspondiente de la función que estamos definiendo.

Llegados a este punto, y visto que sigue creciendo el número de visitas, sería interesante no solo escribir sobre las cosas en las que actualmente estoy trabajando (más o menos) sino también sobre aquellas de las que creo que se 🙂

Obviamente, las áreas que mas conozco son las que se corresponden con mis estudios que, ordenados por experiencia, son: ingeniería informática, matemáticas y física.

De esta manera, empezaré a tratar, de manera mas o menos sistemática, y haciendo énfasis en las ideas (que se entiendan las cosas) temas, en primer lugar, de informática: arquitectura de computadores, sistemas operativos, lenguajes de programación, ingeniería del software, bases de datos y redes de ordenadores. También tocaremos temas avanzados interesantísimos: inteligencia artificial, robótica, gráficos por computador, informática teórica, supercomputación…

Sería bonito hacerlo con un enfoque de abajo a arriba, es decir, intentar “fabricar” desde cero nuestro ordenador, su sistema operativo, un lenguaje de programación, su compilador, la red, etc. Ir entendiendo todo lo que vamos necesitando y saber como “construirlo”. O con un ejemplo completo e interesante para las áreas de programación, bases de datos e ingeniería del software. Aunque es muy complicado, lo que se pueda lo haremos desde este punto de vista.

Quién sea capaz de asimilar esta cantidad ingente de información será, a nivel conceptual, como un experto en el área 😕

Todo aparecerá bajo la categoría Divulgación y las subcategorías (y subsubcategorías, etc.) para esta especie de cursos serán las tres primeras létras de cada palabra de su nombre en inglés, la primera en minúscula y el resto en mayúscula (por ejemplo cOMaRC para Computer Architecture). Así lograremos no mezclar las nuevas entradas, con estos objetivos, con las habituales de trabajo del blog. Aunque todo el mundo queda invitado a leer lo que le apetezca, faltaría más…

Cuando tenga clara una entrada, aparecerá en el blog y la iré rellenando poco a poco. Con el símbolo \Box indicaré que un post se da por acabado. El orden de lectura intentaré que corresponda con su orden de publicación (un post publicado en una fecha se debería de leer una vez leidos todos los publicados anteriormente de su misma sub…categoría).

Dicho esto, y con todo el fantástico trabajo que queda por delante, hasta el proximo post 😉

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