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Hoy tiene lugar la investidura como Doctor honoris causa del físico Juan Ignacio Cirac por parte de la Universitat de València. Aprovechando su presencia en la universidad, ayer impartió la conferencia “Simuladores cuánticos” como invitado principal en el Encuentro de Excelencia en Física que tuvo lugar.

El problema de estudiar sistemas cuánticos con los supercomputadores actuales es que estamos intentando simular sistemas cuánticos mediante uno que es clásico, por lo que se intuyen muchas limitaciones.

La idea fundamental de la conferencia, o por lo menos lo que entendí yo, fue la de utilizar sistemas cuánticos sencillos controlables para simular estos otros mucho mas complicados. De este sistema bajo control, el simulador, conocemos su Hamiltoniano, su energía, y lo que vamos a hacer es que, como tenemos control absoluto sobre todos sus parámetros, modificarlos para conseguir que dicho Hamiltoniano sea equivalente al del sistema en estudio, con lo que, una vez hecho esto, se deja evolucionar el sistema y a partir de ésta podremos sacar nuestras conclusiones.

¿Y como son físicamente estos simuladores? Pues comentó que se trata de atrapar átomos a partir de sus propiedades ópticas o magnéticas y enfriarlos mediante láser o por evaporación. Comentó la realización concreta de un sistema cuántico sencillo, del  que de hecho si se conocía su comportamiento por otras técnicas y que sirvió de test de los simuladores, y finalmente comentó como utilizar simuladores cuánticos para simular física de partículas.

Todo muy interesante 🙂

 

En el artículo técnico What would a binary black hole merger look like?  se simula, mediante técnicas de ray tracing, como vería un observador externo el merge de dos agujeros negros (del artículo y del sitio web de los autores están sacadas prácticamente todas las imágenes).

Si estamos mirando hacia algún sitio, digamos:

ClockTower-400x300

y pasa un agujero negro frente a nosotros, lo primero que se nos viene a la cabeza es la siguiente imagen:

ClockTower-400x300b

ya que como de un agujero negro no puede escapar nada, ni la luz, pensamos que veríamos una simple esfera negra tapando un trozo de nuestra visión. Sin embargo, una imagen mas realista de lo que veríamos es:

ClockTower_BH-400x300debido a la curvatura que experimentan los rayos de luz por la curvatura del espacio-tiempo que genera el agujero negro: efecto de lente gravitacional.

Colocando una imagen de fondo más métrica, así es como se verían los espacios de Minkowski, Schwarzschild y Kerr.

analyticSpacetimesSi en lugar de un agujero negro tenemos un sistema binario de agujeros negros de igual masa, entonces tendríamos:

bbhSystem

Finalmente, una animación del merge:

Ayer asistí a la mesa redonda “the Frontiers of Physics: Status and Perspectives” en el IFIC con los Premios Nobel de física Sheldon Glashow (por el desarrollo de la teoría electrodébil) y Frank Wilczek (por la propiedad de la libertad asintótica en la teoría de la cromodinámica cuántica):

nobels

De los cuatro campos que propuso Frank como prometedores, dos son las ondas gravitacionales y la física computacional. Estamos de suerte en el grupo 🙂

Tenemos:

  1. \bar{r} := \frac{r}{r+a}
  2. \Delta := \frac{(1-\bar{r})^4}{a^2} \partial_{\bar{r}\bar{r}} + \frac{(1-\bar{r})^4}{a^2}\frac{2}{\bar{r}} \partial_{\bar{r}}
  3. \Delta \Theta_X = 6 \pi [ \frac{(1-\bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} S^*_{\bar{r}} + \frac{1 - \bar{r}}{a} \frac{2}{\bar{r}} S^*_{\bar{r}} + \frac{1-\bar{r}}{a} \frac{\cot \theta}{\bar{r}} S^*_{\theta}]
  4. \Delta X^{\bar{r}} = 8 \pi S^*_{\bar{r}} - \frac{1}{3} \frac{(1-\bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} \Theta_X
  5. \hat{A}^{\bar{r}\bar{r}} = \frac{4}{3}\frac{(1-\bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}} X^{\bar{r}} - \frac{2}{3}2\frac{1-\bar{r}}{a}\frac{1}{\bar{r}} X^{\bar{r}}
  6. \Delta \Theta_\beta = \frac{3}{2}[\frac{(1-\bar{r})^4}{a^2} \partial_{\bar{r}\bar{r}}u + \frac{(1-\bar{r})^3(2-\bar{r})}{2a^2} \frac{4}{\bar{r}}u + \frac{(1-\bar{r})^2}{a^2} \frac{2}{\bar{r}^2}u]

con:

u:=\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\bar{r}\bar{r}}

y:

\{\frac{2 (\bar{r}_i - 1)^4 (\bar{r_i} - (\bar{r}_{i+1} - \bar{r}_i))}{a^2 (\bar{r}_i - \bar{r}_{i-1}) \bar{r_i} (\bar{r}_{i+1} - \bar{r}_{i-1} )},

\frac{(\bar{r}_i - 1)^2 (\frac{-2}{h_\theta^2 \bar{r}_i^2} + \frac{(\bar{r}_i - 1)^2 ((r_{i+1}-r_i)-(r_i-r_{i-1})-2)}{(r_{i+1}-r_i)(r_i - r_{i-1})} + \frac{-2 \csc^2 \theta_i}{h_\varphi^2 \bar{r}_i^2})}{a^2},

\frac{2 (\bar{r}_i - 1)^4 ((\bar{r}_{i} - \bar{r}_{i-1}) + \bar{r_i})}{a^2 (\bar{r}_{i+1} - \bar{r}_i) \bar{r}_i (\bar{r}_{i+1} - \bar{r}_{i-1} )} \}

Una de las consecuencias mas asombrosas de la relatividad general de Einstein son los agujeros negros: soluciones de éstas en las que la curvatura del espacio-tiempo es tan extrema que incluso los rayos de luz quedan atrapados. Se cree que los agujeros negros se forman durante la muerte de estrellas con suficiente masa cuando ésta colapsa hacia dentro. Aunque no se pueden ver, las evidencias gravitacionales observadas consistentes con las predicciones avalan su existencia.

La definición mas intuitiva para la singularidad espacio-temporal es la de punto con curvatura infinita (aunque la mas apropiada técnicamente tiene que ver con cierto tipo de geodésicas incompletas).

 

Aparece en Science el artículo “Holographic description of quantum black hole on a computer” en el que parece ser el primer trabajo de gravedad cuántica numérica. Traduciremos a continuación el abstract y enlazaremos con futuras entradas donde explicaremos cada uno de los conceptos expuestos en éste.

“El descubrimiento de que los agujeros negros radían partículas y eventualmente pueden evaporarse llevó a Hawking a plantear la conocida paradoja de la pérdida de información. Esta paradoja provocó un largo y sério debate ya que afirmaba que las leyes fundamentales de la mecánica cuántica podían ser violadas. Una posible solución ha emergido recientemente desde la teoría de supercuerdas, una teoría consistente de gravedad cuántica: si el la descripción holográfica de un agujero negro cuántico basada en la dualidad gauge/gravedad es correcta, la información no se pierde y los mecanismos cuánticos permanecen válidos. Aquí ponemos a prueba esta dualidad gauge/gravedad en un ordenador al nivel de gravedad cuántica por primera vez. La masa del agujero negro obtenida por simulaciones Monte Carlo de la teoría gauge dual reproduce de manera precisa los efectos de gravedad cuántica en un agujero negro en evaporación. Este resultado abre nuevas perpectivas totalmente nuevas hacia la gravedad cuántica ya que uno puede simular agujeros negros cuánticos a través de las teorías gauge duales.”

Interesante, no? 🙂

Ya comentamos en este post el formalismo Lagrangiano (coordenadas generalizadas de posiciones y velocidades). Vamos a comentar ahora la imagen Hamiltoniana.

Como en el caso anterior, utilizamos coordenadas de posición generalizadas q^1, \ldots, q^n que ahora irán acompañadas de las coordenadas de los momentos generalizados p^1, \ldots, p^n. Para una única partícula libre,  el momento no es mas que las velocidad multiplicada por la masa, y en general, siempre podemos obtenerlo a partir del Lagrangiano:

p_r = \frac{\partial}{\partial \dot{q}^r} \mathcal{L},

que nos proporciona las coordenadas para el espacio cotangente y poder escribir el covector como p_a dq^a.

Con todo ésto, la función Hamiltoniana se define como:

\mathcal{H} := \mathcal{H}(q^1,\ldots,q^n;p_1,\ldots,p_n),

y una manera de obtenerlo a partir del Lagrangiano es:

\mathcal{H} = [\dot{q}^r \frac{\partial}{\partial\dot{q}^r} - 1 ] \mathcal{L},

reescrita en términos de los momentos (y no las velocidades, que son las que aparecen en \mathcal{L}).

Al pasar al mundo cuántico, podemos identificar los momentos con los operadores diferenciales introduciendo el factor \hbar := \frac{h}{2 \pi}:

p_a = i \hbar \frac{\partial}{\partial x^a},

para el momento asociado a la posición x^a.

Y no solo eso. Si consideramos las variables de los momentos p_a como primarias y queremos obtener las de posición x^a a partir de éstas, exite una simetría muy precisa entre el espacio de momentos y el espacio de posiciones, de manera que tenemos:

x^a = i \hbar \frac{\partial}{\partial p_a},

donde la transformada de Fourier juega un papel importante también ahora.

En ambos casos, podemos obtener la regla de conmutación canónica que relaciona posiciones y momentos lineales:

p_a x^a - x^a p_a = i \hbar \delta^a_b.

Recordemos lo ya expuesto en este post: que en las coordenadas esferoidales prolatas (\mu, \nu, \varphi), las dos primeras (\mu, \nu) provienen de las coordenadas elípticas, donde \mu \in ]0,+\infty[ y \nu \in ]0,2\pi[, mientras que la última \varphi \in ]0,2\pi[ proviene de rotarlas alrededor del eje que une los focos.

Compactificamos la primera coordenada mediante \boxed{\mu = b \tan \frac{\pi \bar{\mu}}{2}}.

El Laplaciano y las fuentes, en estas coordenadas y con esta compactificación, utilizando una nueva función en Mathematica que nos lo calcula todo, quedan:

lap_ellComNor2

\boxed{\Delta \Theta_{X} = 6 \pi \mathcal{D}^j S^*_j}

s1_ellComNor2

\boxed{\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X}

s21_ellComNor2

\underline{\hat{A}^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}}

A1x_ellComNor2

A2x_ellComNor2

A3x_ellComNor2

\boxed{\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7} }

\boxed{\Delta (\alpha \psi) = [ 2 \pi (E^* + 2 S^*) \psi^{-7} + \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-8} ] (\alpha \psi) }

\boxed{\Delta \Theta_{\beta} = \frac{3}{4} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} )}

\boxed{\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j ( 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }

Recordemos lo ya expuesto en este post: que en las coordenadas biesféricas (\xi, \eta, \varphi), las dos primeras (\xi, \eta) provienen de las coordenadas bipolares, donde la primera indica el ángulo entre las dos rectas que unen nuestro punto con los dos focos que necesitamos para determinar las bipolares y la segundo es el logartimo del ratio entre la longitud de estas dos rectas, mientras que la última proviene de rotarlas alrededor del eje que une los focos.

Compactificamos la segunda coordenada mediante \boxed{\eta = \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}}}.

El Laplaciano, en estas coordenadas y con esta compactificación, queda:

\Delta = \frac{(\cos \xi - \mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1-\bar{\eta}})^2}{a^2} \big [ \partial_{\xi \xi} + \csc \xi \frac{-1 + \cos \xi \, \mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1-\bar{\eta}}}{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1-\bar{\eta}} - \cos \xi} \partial_{\xi}

+\frac{(\bar{\eta} - 1)^4}{b^2} \partial_{\bar{\eta} \bar{\eta}} + \frac{(\bar{\eta} - 1)^2}{b^2} (2(\bar{\eta}-1) -\frac{b \, \mbox{\scriptsize sinh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}}}{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}) \partial_{\bar{\eta}} + \csc^2 \xi \partial_{\varphi} \big ],

las derivadas covariantes de covectores (1-formas):

CovDer_BiSphComNor1

y las fuentes:

\boxed{\Delta \Theta_{X} = 6 \pi \mathcal{D}^j S^*_j}

\Delta \Theta_X = 6 \pi f^{ji} \mathcal{D}_i S^*_j = 6 \pi ( \mathcal{D}_{\xi} S^*_{\xi} + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} S^*_{\bar{\eta}} + \mathcal{D}_{\varphi} S^*_{\varphi} ) =

s1_biSphComNor1

\boxed{\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X}

Pasando la derivada contravariante a covariante mediante la métrica, queda:

\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} f^{ik} \mathcal{D}_k \Theta_X.

Definimos ahora

S_X^i := 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} f^{ik} \mathcal{D}_k \Theta_X,

de manera que:

S_X^{\xi} = 8 \pi f^{\xi j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\xi k}\mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\xi} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\xi} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\xi} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{a} \partial_{\xi} \Theta_X

S_X^{\bar{\eta}} = 8 \pi f^{\bar{\eta} j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\bar{\eta} k} \mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{\eta}} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{\eta}} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\bar{\eta}} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{a} \frac{(\bar{\eta} - 1)^2}{b} \partial_{\bar{\eta}} \Theta_X

S_X^{\varphi} = 8 \pi f^{\varphi j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\varphi k} \mathcal{D}^{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\varphi} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\varphi} \Theta_X =

= 8 \pi S^*_{\varphi} - \frac{\mbox{\scriptsize cosh} \frac{b \bar{\eta}}{1 - \bar{\eta}} - \cos \xi}{a} \csc \xi \partial_{\varphi} \Theta_X

En este punto tenemos que el vector

(S_X^{\xi}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S_X^{\bar{\eta}}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S_X^{\varphi}(\xi,\bar{\eta},\varphi))

expresado en la base que resulta de normalizar la base coordenada \{ \partial_{\xi}, \partial_{\bar{\eta}}, \partial_{\varphi} \}. Lo que hacemos ahora es expresar este vector en la nueva base \{ \partial_x, \partial_y, \partial_z \}, de manera que obtenemos

(S_X^{x}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S_X^{y}(\xi,\bar{\eta},\varphi),S_X^{z}(\xi,\bar{\eta},\varphi)).

y como es esta base las ecuaciones están desacopladas y \Theta_X es un campo escalar, resolvemos independientemente:

\Delta X^{x} = S_X^{x},

\Delta X^{y} = S_X^{y},

\Delta X^{z} = S_X^{z}.

Finalmente, con el cambio de base inverso, calculamos a partir de (X^{x},X^{y},X^{z}) el vector (X^{\xi},X^{\bar{\eta}},X^\varphi) .

\underline{\hat{A}^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}}

Necesitamos ahora la derivada covariante de un vector (hasta ahora habían coincidido las derivadas covariantes de vectores y covectores, pero en este caso no):

CovDer_BiSphComNor1_vec

volvemos a pasar las derivadas contravariantes a covariantes:

\hat{A}^{ij} = f^{im} \mathcal{D}_m X^j + f^{jn} \mathcal{D}_n X^i - \frac{2}{3} f^{ij} \mathcal{D}_k X^{k}

y obtenemos:

\hat{A}^{\xi \xi} = f^{\xi m} \mathcal{D}_m X^{\xi} + f^{\xi n} \mathcal{D}_n X^{\xi} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( 2 \mathcal{D}_{\xi} X^{\xi} - \mathcal{D}_{\bar{\eta}} X^{\bar{\eta}} - \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

A11_biSphComNor1

\hat{A}^{\xi \bar{\eta}} = f^{\xi m} \mathcal{D}_m X^{\bar{\eta}} + f^{\bar{\eta} n} \mathcal{D}_n X^{\xi} = \mathcal{D}_{\xi} X^{\bar{\eta}} + \mathcal{D}_{\bar{\eta}} X^{\xi} =

A12_biSphComNor1

\hat{A}^{\xi \varphi} = f^{\xi m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\xi} = \mathcal{D}_{\xi} X^{\varphi} + \mathcal{D}_{\varphi} X^{\xi} =

A13_biSphComNor1

\hat{A}^{\bar{\eta} \bar{\eta}} = f^{\bar{\eta} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{\eta}} + f^{\bar{\eta} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{\eta}} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\xi} X^{\xi} + 2 \mathcal{D}_{\bar{\eta}} X^{\bar{\eta}} - \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

A22_biSphComNor1

\hat{A}^{\bar{\eta} \varphi} = f^{\bar{\eta} m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\bar{\eta}} = \mathcal{D}_{\bar{\eta}} X^{\varphi} + \mathcal{D}_{\varphi} X^{\bar{\eta}} =

A23_biSphComNor1

\hat{A}^{\varphi \varphi} = f^{\varphi m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\varphi} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\bar{r}} - \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} +2 \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

A33_biSphComNor1

Las dos ecuaciones no lineales correspondientes al factor conforme \psi y al lapse \alpha, como no contienen derivadas covariantes, quedan como las teniamos:

\boxed{\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7} }

\boxed{\Delta (\alpha \psi) = [ 2 \pi (E^* + 2 S^*) \psi^{-7} + \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-8} ] (\alpha \psi) }

Finalmente, para el shift \beta y su ecuación auxiliar tenemos:

\boxed{\Delta \Theta_{\beta} = \frac{3}{4} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} )}

\boxed{\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j ( 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }

que trataremos en el siguiente post.

Compactificamos la primera coordenada mediante \boxed{r = \frac{a \bar{r}}{1 - \bar{r}}}.

El Laplaciano, con esta compactificación, queda:

\Delta = \frac{(a-\bar{r})^4}{a^4} \partial_{\bar{r} \bar{r}} + \frac{2}{\bar{r}} \frac{(a-\bar{r})^4}{a^4} \partial_{\bar{r}} + \frac{(a - \bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \partial_{\theta \theta} + \frac{(a-\bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2} \cot \theta \partial_{\theta} + \frac{(a - \bar{r})^2}{a^2 \bar{r}^2 } \csc \theta \partial_{\varphi \varphi}

y las fuentes:

\boxed{\Delta \Theta_{X} = 6 \pi \mathcal{D}^j S^*_j}

\Delta \Theta_X = 6 \pi f^{ji} \mathcal{D}_i S^*_j = 6 \pi ( \mathcal{D}_{\bar{r}} S^*_{\bar{r}} + \mathcal{D}_{\theta} S^*_{\theta} + \mathcal{D}_{\varphi} S^*_{\varphi} ) =

= 6 \pi \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} ( (\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} S^*_{\bar{r}} + 2 S^*_{\bar{r}} + \partial_{\theta} S^*_{\theta} + \cot \theta S^*_{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} S^*_{\varphi} )

\boxed{\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X}

Pasando la derivada contravariante a covariante mediante la métrica, queda:

\Delta X^{i} = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} f^{ik} \mathcal{D}_k \Theta_X.

Definimos ahora

S_X^i := 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3} f^{ik} \mathcal{D}_k \Theta_X,

de manera que:

S_X^{\bar{r}} = 8 \pi f^{\bar{r} j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\bar{r} k}\mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{r}} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\bar{r}} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\bar{r}} - \frac{(1-\bar{r})^2}{a^2} \partial_{\bar{r}} \Theta_X,

S_X^{\theta} = 8 \pi f^{\theta j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\theta k} \mathcal{D}_{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\theta} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\theta} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\theta} - \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta} \Theta_X,

S_X^{\varphi} = 8 \pi f^{\varphi j} S^*_j - \frac{1}{3} f^{\varphi k} \mathcal{D}^{k} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\varphi} - \frac{1}{3} \mathcal{D}_{\varphi} \Theta_X = 8 \pi S^*_{\varphi} - \frac{a-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \Theta_X.

En este punto tenemos que el vector

(S_X^{\bar{r}}(\bar{r},\theta,\varphi),S_X^{\theta}(\bar{r},\theta,\varphi),S_X^{\varphi}(\bar{r},\partial_\theta,\partial_\varphi))

expresado en la base \{ \partial_{\bar{r}}, \theta, \varphi \}. Lo que hacemos ahora es expresar este vector en la nueva base \{ \partial_x, \partial_y, \partial_z \}, de manera que obtenemos

(S_X^{x}(\bar{r},\theta,\varphi),S_X^{y}(\bar{r},\theta,\varphi),S_X^{z}(\bar{r},\theta,\varphi)).

y como es esta base las ecuaciones están desacopladas y \Theta_X es un campo escalar, resolvemos independientemente:

\Delta X^{x} = S_X^{x},

\Delta X^{y} = S_X^{y},

\Delta X^{z} = S_X^{z}.

Finalmente, con el cambio de base inverso, calculamos a partir de (X^{x},X^{y},X^{z}) el vector (X^{\bar{r}},X^\theta,X^\varphi) .

\underline{\hat{A}^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}}

volvemos a pasar las derivadas contravariantes a covariantes:

\hat{A}^{ij} = f^{im} \mathcal{D}_m X^j + f^{jn} \mathcal{D}_n X^i - \frac{2}{3} f^{ij} \mathcal{D}_k X^{k}

y obtenemos:

\hat{A}^{\bar{r} \bar{r}} = f^{\bar{r} m} \mathcal{D}_m X^{\bar{r}} + f^{\bar{r} n} \mathcal{D}_n X^{\bar{r}} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( 2 \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\bar{r}} - \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} - \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

= \frac{2(1-\bar{r})}{3a\bar{r}} [ 2(\bar{r}-\bar{r}^2)\partial_{\bar{r}} X^{\bar{r}} - 2 X^{\bar{r}} - \partial_{\theta} X^{\theta} - \cot \theta X^{\theta} - \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} ]

\hat{A}^{\bar{r} \theta} = f^{\bar{r} m} \mathcal{D}_m X^{\theta} + f^{\theta n} \mathcal{D}_n X^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\theta} + \mathcal{D}_{\theta} X^{\bar{r}} =

= \frac{1-\bar{r}}{a\bar{r}} [ (\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^{\theta} - X^{\theta} + \partial_{\theta} X^{\bar{r}} ],

\hat{A}^{\bar{r} \varphi} = f^{\bar{r} m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\bar{r}} = \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\varphi} + \mathcal{D}_{\varphi} X^{\bar{r}} =

= \frac{1-\bar{r}}{a\bar{r}} [ (\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^{\varphi} - X^{\varphi} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\bar{r}} ],

\hat{A}^{\theta \theta} = f^{\theta m} \mathcal{D}_m X^{\theta} + f^{\theta n} \mathcal{D}_n X^{\theta} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\bar{r}} + 2 \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} - \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

= \frac{2(1-\bar{r})}{3 a \bar{r}} [ -(\bar{r}-\bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^{\bar{r}} + X^{\bar{r}} + 2 \partial_{\theta} X^{\theta} - \cot \theta X^{\theta} - \csc \partial_{\varphi} X^{\varphi} ]

\hat{A}^{\theta \varphi} = f^{\theta m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\theta} = \mathcal{D}_{\theta} X^{\varphi} + \mathcal{D}_{\varphi} X^{\theta} =

= \frac{1-\bar{r}}{a\bar{r}} [ \partial_{\theta} X^{\varphi} - \cot \theta X^{\varphi} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\theta} ],

\hat{A}^{\varphi \varphi} = f^{\varphi m} \mathcal{D}_m X^{\varphi} + f^{\varphi n} \mathcal{D}_n X^{\varphi} - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^{k} = \frac{2}{3}( - \mathcal{D}_{\bar{r}} X^{\bar{r}} - \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} +2 \mathcal{D}_{\varphi} X^{\varphi}) =

= \frac{2(1-\bar{r})}{3 a \bar{r}} [ -(\bar{r} - \bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^{\bar{r}} + X^{\bar{r}} - \partial_{\theta} X^{\theta} + 2 \cot \theta X^{\theta} + 2 \csc \theta \partial_{\varphi} T^{\varphi} ]

Las dos ecuaciones no lineales correspondientes al factor conforme \psi y al lapse \alpha, como no contienen derivadas covariantes, quedan como las teniamos:

\boxed{\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7} }

\boxed{\Delta (\alpha \psi) = [ 2 \pi (E^* + 2 S^*) \psi^{-7} + \frac{1}{8}(f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-8} ] (\alpha \psi) }

Finalmente, para el shift \beta y su ecuación auxiliar tenemos:

\boxed{\Delta \Theta_{\beta} = \frac{3}{4} \mathcal{D}_i \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} )}

\boxed{\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j ( 2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij} ) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_{\beta} }

que lo tratamos en este post.

Las ecuaciones de la aproximación CFC de las ecuaciones de Einstein en el formalismo 3+1 expresadas de forma covariante son:

\Delta X^i = 8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j X^j),

\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}}{8} \psi^{-7},

\Delta (\alpha \psi) = 2 \pi \psi^{-2} (E^* + 2S^*) (\alpha \psi) + 7 \psi^{-8} \frac{f_{il} f_{im} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}}{8} (\alpha \psi),

\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j \beta^j),

donde \hat{A}^{ij} \approx (LX)^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}.

En coordenadas cartesianas, (x,y,z), tenemos:

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) X^x = 8 \pi S_x^* - \frac{1}{3} \partial_{xx} X^x,

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) X^y = 8 \pi S_y^* - \frac{1}{3} \partial_{yy} X^y,

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) X^z = 8 \pi S_z^* - \frac{1}{3} \partial_{zz} X^z,

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{As}{8} \psi^{-7},

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) (\alpha \psi) = 2 \pi \psi^{-2} (E^* + 2S^*) (\alpha \psi) + 7 \psi^{-8} \frac{As}{8} (\alpha \psi),

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \beta^x = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xj}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^x (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \beta^y = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yj}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^y (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}) \beta^z = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zj}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^z (\mathcal{D}_j \beta^j),

con

\hat{A}^{xx} = \partial_x X^x + \partial_x X^x - \frac{2}{3} \partial_k X^k f^{xx},

\hat{A}^{xy} = \partial_x X^y + \partial_y X^x,

\hat{A}^{xz} = \partial_x X^z + \partial_z X^x,

\hat{A}^{yy} = \partial_y X^y + \partial_y X^y - \frac{2}{3} \partial_k X^k f^{yy},

\hat{A}^{yz} = \partial_y X^z + \partial_z X^y,

\hat{A}^{zz} = \partial_z X^z + \partial_z X^z - \frac{2}{3} \partial_k X^k f^{zz},

y

As:=(A^{xx})^2+(A^{xy})^2+(A^{xz})^2+(A^{yy})^2+(A^{yz})^2+(A^{zz})^2.

En coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), las ecuaciones quedan:

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) X^r =

= 8 \pi f^{r j} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^r (\mathcal{D}_j X^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) X^\theta =

= 8 \pi f^{\theta j} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\theta (\mathcal{D}_j X^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) X^\varphi =

= 8 \pi f^{\varphi j} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\varphi (\mathcal{D}_j X^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{As}{8} \psi^{-7},

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) (\alpha \psi) =

= 2 \pi \psi^{-2} (E^* + 2S^*) (\alpha \psi) + 7 \psi^{-8} \frac{As}{8} (\alpha \psi),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \beta^r =

= \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{r j}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^r (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \beta^\theta =

= \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\theta j}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\theta (\mathcal{D}_j \beta^j),

(\partial_{rr} + \frac{2}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta\theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_\theta + \frac{\cot^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi\varphi}) \beta^\varphi =

\mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{\varphi j}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^\varphi (\mathcal{D}_j \beta^j),

con:

\hat{A}^{rr} = \mathcal{D}^r X^r + \mathcal{D}^r X^r - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{rr},

\hat{A}^{r\theta} = \mathcal{D}^r X^\theta + \mathcal{D}^\theta X^r,

\hat{A}^{r\varphi} = \mathcal{D}^r X^\varphi + \mathcal{D}^\varphi X^r,

\hat{A}^{\theta\theta} = \mathcal{D}^\theta X^\theta + \mathcal{D}^\theta X^\theta - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{\theta\theta},

\hat{A}^{\theta\varphi} = \mathcal{D}^\theta X^\varphi + \mathcal{D}^\varphi X^\theta,

\hat{A}^{\varphi\varphi} = \mathcal{D}^\varphi X^\varphi + \mathcal{D}^\varphi X^\varphi - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{\varphi\varphi},

y

As:=(A^{rr})^2+(A^{r\theta})^2+(A^{r\varphi})^2+(A^{\theta\theta})^2+(A^{\theta\varphi})^2+(A^{\varphi\varphi})^2.

Hace un tiempo que andaba pensando en transformadas de Fourier y en su generalización en variedades, había leido y comentado cosas con profesores y, finalmente, tengo algo de luz en mi cabeza :-). A ver si nos entendemos enumerando las ideas:

  1. Cuando pensamos en la transformada de Fourier clásica, para pasar al dominio de frecuencias una señal f(t), ésta se encuentra en el espacio euclideo \mathbb{R}^2.
  2. El espacio euclideo \mathbb{R}^2 tiene el producto escalar habitual \langle u, v \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2, una métrica.
  3. En general, en \mathbb{K}^n, para reales o complejos, tenemos el producto escalar \langle u, v \rangle = \Sigma_{i=1}^{n} u_i \bar{v_i}.
  4. Pensando en transformadas, aunque la función f(x) \subset \mathbb{R}^2, en realidad la estamos pensando como un elemento de un espacio mas general: un espacio de funciones.
  5. El espacio en cuestión es L^2(\mathbb{R}):=\{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} medible \,|\, \int_{\mathbb{R}} |f|^2 < +\infty \}.
  6. Este espacio forma parte de una familia, los espacios de Lebesgue L^p(\Omega):=\{ f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} \,|\, \int_{\Omega} |f|^p < +\infty \}, donde p \in [0,+\infty) y \Omega es un conjunto medible en el sentido de Lebesgue. Esta familia de espacios normados, con norma ||\,\,||_{p}:=(\int_{\Omega} |f|^p)^{\frac{1}{p}}, son espacios de Banach.
  7. En realidad, L^2(\Omega) es un espacio de Hilbert, pues su norma deriva del producto escalar B(f,g):= \int_{\Omega} f\bar{g}, pues para cualquier producto escalar B: H\times H \rightarrow \mathbb{K} siempre podemos definir su norma asociada q_{B}: H \rightarrow \mathbb{R}^+ \cup {0} \,/\, u \mapsto q_B(u):=\sqrt{B(u,u)} con u \in H.
  8. En el caso particular de la tranformada de Fourier de una función f(t), podemos entenderla como el producto escalar de esta por la exponencial compleja e^{-2 \pi i \xi t}: f(\xi):=B(f(t),e^{-2 \pi i \xi t}) = \int_{\mathbb{R}} f(t) e^{-2 \pi i \xi t} dt.
  9. De esta manera, en \mathbb{R}^2 tenemos vectores, y podemos hacer geometría mediante el producto escalar habitual, pero también tenemos funciones, y también con éstas podemos hacer geometría mediante el último producto escalar definido, o podriamos definir l^p:=\{ \{a_n\}_{n=1}^\infty \,|\, \Sigma_{n=1}^\infty |\{ a_n\}|^p < +\infty\} con B: l \times l \rightarrow \mathbb{K} \,/\, (\{a_n\}_{n=1}^\infty,\{b_n\}_{n=1}^\infty) \mapsto \Sigma_{n=1}^\infty a_n \bar{b_n} y hacer geometría con sucesiones.
  10. Por tanto, puedo definir diferentes entidades sobre un mismo espacio, definir su correspondiente producto escalar y hacer geometría con éstas.
  11. Al igual que utilizamos el producto escalar habitual del plano tangente para trabajar en un punto de la variedad, tendríamos que hacer lo mismo con el resto de entidades.
  12. Cuando hablamos de teoría espectral, necesitamos un sistema ortonormal \{ x_i \}_{i \in I}, es decir, un conjunto de vectores que forman una base y  que B(u_i,u_j) = \delta_{ij}. ¿Cómo encontrar un sistema de este tipo?
  13. Sabemos que vectores propios asociados a valores propios diferentes son linealmente independientes. Por tanto, podemos construir un sistema de este tipo diagonalizando un operador. De hecho, podemos relacionar la base utilizada en Fourier con el operador diferenciación.
  14. Cuando tenemos diversas variables, el operador equivalente sería el Laplaciano. Por tanto, podriamos construir una base ortonormal infinita en una variedad encontrando una base de vectores propios asociados al operador Laplaciano definido en la variedad.
  15. En realidad, al trabajar con una variedad M, por un lado tengo el operador de Laplace-Beltrami, que es una generalización del Laplaciano al caso de variedades, y por otra tendré que considerar funciones sobre éste, por lo que ahora trabajaré con el espacio L^2(M) := \{ f: M \rightarrow \mathbb{C} \,|\, \int_M |f|^2 < +\infty \}.

Aunque lo había oido muchas veces, creo que acabo de entender la idea práctica de lo que significa tener una ecuación escrita en formulación covariante: es una expresión que será válida en cualquier sistema de referencia.

Tradicionalmente hay dos maneras de enfrentarse a los tensores: la de los físicos, mediante índices, y la de los matemáticos, sin índices. Como en todo, cada una tiene sus ventajas y sus inconvenientes. En la primera tenemos definidos unos sistemas de referencia, ya que los necesitamos para hacer física (las medidas de los experimentos estarán hechas en referencia a algo) y tiene una ventaja obvia a la hora de realizar cálculos prácticos. En la segunda, estamos mas preocupados por demostrar cosas, y nos interesa encontrar que hay de verdad en todo aquello independientemente del sistema en el que esté expresado.

Supongamos la siguiente ecuación covariante que me aparece en la aproximación CFC:

\Delta \Theta_X = 6 \pi \mathcal{D}^i S_i^*.

Esta es, por ser covariante, válida siempre, la expresemos en la referencia que queramos. Por tanto, lo podemos hacer en la base coordenada cartesiana \{ \partial_x, \partial_y, \partial_z\}:

(\partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz} ) \Theta_X = 6 \pi (\partial_x S_x^* + \partial_y S_y^* +\partial_z S_z^*),

o en la base coordenada esférica \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \}:

(\partial_{rr} + \frac{1}{r} \partial_{r} + \frac{1}{r^2} \partial_{\theta \theta} + \frac{\cot \theta}{r^2} \partial_{\theta} + \frac{\csc^2 \theta}{r^2} \partial_{\varphi \varphi}) \Theta_X =

6 \pi (\mathcal{D}_r (S^*)^r + \mathcal{D}_\theta (S^*)^\theta + \mathcal{D}_\varphi (S^*)^\varphi),

donde:

\mathcal{D}_r (S^*)^r = \partial_r (S^*)^r,

\mathcal{D}_\theta (S^*)^\theta = \frac{1}{r} \partial_\theta (S^*)^\theta + \frac{1}{r} (S^*)^r y

\mathcal{D}_\varphi (S^*)^\varphi = \frac{\csc \theta}{r} \partial_\varphi (S^*)^\varphi + \frac{\cot \theta}{r} (S^*)^\theta + \frac{1}{r} (S^*)^r.

En la geometría de Riemann, podemos calcular una connexión \nabla a partir de su tensor métrico (la conexión de Levi-Civita). Esta derivación covariante es libre de torsión, por lo que el tensor de Ricci R_{\alpha \beta} debe ser simétrico. Hoy el profesor Juan Antonio Morales me ha introducido en la geometría de Riemann-Cartan, donde el tensor de Ricci puede ser asimétrico gracias a la existencia de un campo de torsión afín sobre la variedad. Lo que tenemos entonces es una conexión de Cartan.

Parece ser que esto permite el intercambio, para la conservación total del momento, entre espín y momento angular orbital.

Básicamente, podemos pensar la geometría diferencial desde el punto de vista de las bases coordenadas (naturales u holonómicas), donde los conmutadores (las derivadas de Lie \mathcal{L}_X Y := [X,Y] entre los campos coordenados, que intuitivamente miden la diferencia entre el arrastre del segundo campo mediante el primero respecto de su valor real en el punto final) son nulos, o pensarla desde el punto de vista de bases no coordenadas formadas por n campos vectoriales cualesquiera, si estamos en dimensión n, donde los corchetes de Lie ahora no son nulos.

Todo esto enlaza con este post y la manera de calcular los coeficientes de la conexión \gamma^{i}_{\phantom{i}jk}, introducidos en este post, para una base dada.

La fórmula para los símbolos de la conexión de Levi-Civita en una base \{e_i\} cualquiera es:

\gamma^{l}_{\phantom{l}jk} = \frac{1}{2} g^{lm} (e_k(g_{mj}) + e_j(g_{mk}) - e_m(g_{jk}) + c_{mjk} + c_{mkj} - c_{jkm}),

donde:

c_{jkm} = g_{mi}c_{jk}^{\phantom{jk}i} y [e_j,e_k] = c_{jk}^{\phantom{jk}i} e_i.

En una base coordenada \{ \partial_i \} tenemos que c_{mjk} = c_{mkj} = c_{jkm} = 0, por lo que:

\Gamma^{l}_{\phantom{l}jk} = \frac{1}{2} g^{lm} (\partial_k(g_{mj}) + \partial_j(g_{mk}) - \partial_m(g_{jk})),

mientras que en una base ortonormal \{ \hat{e}_i\} tenemos que \hat{e}_i(g_{jk}) = 0 y, por tanto:

\hat{\gamma}^{l}_{\phantom{l}jk} = \frac{1}{2} \eta^{lm} (c_{mjk} + c_{mkj} - c_{jkm}).

A mi casi-código SPH le he añadido la libreria Voro++ de Chris Rycroft y ésta va calculando las correspondientes teselaciones de Voronoi tridimensionales correspondientes a las partículas siguiendo movimientos pendulares (sobre planos z=cte) .

Pulsar sobre la imagen para empezar la animación.animate_1

El blog, que empezó para servir de mero canal de comunicación asíncrono entre dos o tres personas, acaba de superar las mil visitas mensuales. Aunque no conozco a casi ninguno de mis lectores,

¡GRACIAS A TODOS! 🙂

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Laplaciano en cartesianas:

\Delta u = \Sigma_i \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}u

1d

\frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2} = f_i

\frac{1}{h^2}u_{i-1} + \frac{1}{h^2}u_{i+1} +\frac{-2}{h^2}u_i= f_i

2d

\frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{h_x^2} + \frac{u_{i,j-1}-2u_{i,j}+u_{i,j+1}}{h_y^2} = f_{i,j}

i fijo:

\frac{1}{h_y^2}u_{i,j-1} + \frac{1}{h_y^2}u_{i,j+1} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2})u_{i,j}= g_{i,j}(:=f_{i,j} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i-1,j} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i+1,j})

j fijo:

\frac{1}{h_x^2}u_{i-1,j} + \frac{1}{h_x^2}u_{i+1,j} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2})u_{i,j}= g_{i,j}(:=f_{i,j} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j-1} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j+1})

3d

\frac{u_{i-1,j,k}-2u_{i,j,k}+u_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{u_{i,j-1,k}-2u_{i,j,k}+u_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{u_{i,j,k-1}-2u_{i,j,k}+u_{i,j,k+1}}{h_z^2} = f_{i,j,k}

i,j fijos:

\frac{1}{h_z^2}u_{i,j,k-1} + \frac{1}{h_z^2}u_{i,j,k+1} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2}+\frac{-2}{h_z^2})u_{i,j,k}= g_{i,j,k}

(g_{i,j,k}:=f_{i,j,k} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i-1,j,k} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i+1,j,k} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j-1,k} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j+1,k})

i,k fijos:

\frac{1}{h_y^2}u_{i,j-1,k} + \frac{1}{h_y^2}u_{i,j+1,k} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2}+\frac{-2}{h_z^2})u_{i,j,k}= g_{i,j,k}

(g_{i,j,k}:=f_{i,j,k} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i-1,j,k} + \frac{-1}{h_x^2}u_{i+1,j,k} + \frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k-1} + \frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k+1})

j,k fijos:

\frac{1}{h_x^2}u_{i-1,j,k} + \frac{1}{h_x^2}u_{i+1,j,k} +(\frac{-2}{h_x^2}+\frac{-2}{h_y^2}+\frac{-2}{h_z^2})u_{i,j,k}= g_{i,j,k}

(g_{i,j,k}:=f_{i,j,k} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j-1,k} + \frac{-1}{h_y^2}u_{i,j+1,k} + \frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k-1} + \frac{-1}{h_z^2}u_{i,j,k+1})

Como \Delta u = f \leftrightarrow u = \Delta^{-1} f entonces \mathcal{M}(u) = \mathcal{M}(\Delta^{-1} f) y

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f) = \frac{1}{r} M(f) + \frac{1}{r^2}n_i D^i(f) + \frac{3}{2} \frac{1}{r^3} n_{\langle i} n_{j \rangle} Q^{ij}(f) + O(\frac{1}{r^4}) +

+ \Delta_0^{-1} \mathcal{M}(f)

con

M(f) = - \frac{1}{4 \pi} \int f,

D^i(f) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i f,

Q^{ij}(f) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j f

y \mathcal{M}(f) = 0 si f es de soporte compacto.

 1.- \boxed{\Delta \Theta_X = \frac{3}{4} 8 \pi \mathcal{D}^i S_i^*} donde \Theta_X := \mathcal{D}_j X^j

En este caso, f_{\Theta_X} := \frac{3}{4} 8 \pi \mathcal{D}^i S_i^* y, por tanto, \mathcal{M}(f_{\Theta_X})=0. De esta manera, tenemos:

M(f_{\Theta_X}) =,

D^i(f_{\Theta_X}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i \frac{3}{4} 8 \pi \mathcal{D}^i S_i^* = -\frac{3}{2} (\int \mathcal{D}^j(x^i S_j^*) d^3x' - \int S_j^* \mathcal{D}^j x^i d^3x'),

Q^{ij}(f_{\Theta_X}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j \frac{3}{4} 8 \pi \mathcal{D}^i S_i^*

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_{\Theta_X}) = + O()

2.- \boxed{\Delta X^i = 8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X}

Ahora hacemos f_{X^i} := 8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X

M(f_{X^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int 8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X,

D^i(f_{X^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i (8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X),

Q^{ij}(f_{X^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j (8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X)

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_{X^i}) = + O()

3.- \boxed{\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7}}

En esta ocasión, f_\psi := -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7}

M(f_\psi) = - \frac{1}{4 \pi} \int -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7},

D^i(f_\psi) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i (-2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7}),

Q^{ij}(f_\psi) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j (-2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7})

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_\psi) = + O()

4.- \boxed{ \Delta (\alpha \psi) = \big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi) }

Definimos f_{\alpha \psi}:=\big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi)

M(f_{\alpha \psi}) = - \frac{1}{4 \pi} \int \big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi),

D^i(f_{\alpha \psi}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i (\big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi)),

Q^{ij}(f_{\alpha \psi}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j (\big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi))

\mathcal{M}(\Delta^{-1} f_{\alpha \psi}) = + O()

5.- \boxed{\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij})) } con \Theta_\beta := \mathcal{D}_i \beta^i

Para esta ecuación, f_{\Theta_\beta}:=\frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij}))

M(f_{\Theta_\beta}) = - \frac{1}{4 \pi} \int \frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij})),

D^i(f_{\Theta_\beta}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i \frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij})),

Q^{ij}(f_{\Theta_\beta}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j \frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij}))

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_{\Theta_\beta}) = + O()

6.- \boxed{\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta}

Finalmente, tenemos f_{\beta^i}:=\mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta

M(f_{\beta^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int \mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta,

D^i(f_{\beta^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i (\mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta),

Q^{ij}(f_{\beta^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j (\mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta)

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_{\beta^i}) = + O()

En el post anterior hemos comentado algunos grupos topológicos, que veremos en posteriores entradas que están dotados de mas estructura (grupos de Lie), que son importantes para la física. Introducimos brevemente aquí el modelo estandar de la física de partículas. Concretamente, estaremos interesados en:

SU(3) \times SU(2) \times U(1),

que hace referencia a las simetrías del lagrangiano correspondiente.

Las partículas tienen masa, espín y carga como características principales.

En el modelo estandar tenemos:

  • 12 fermiones (o partículas de materia) con espín \frac{1}{2}: los 6 leptones (electrón e, muón \mu y tauón \tau con sus respectivos neutrinos \nu_e, \nu_\mu y \nu_\tau), y los 6 quarks (up u y down d, charm c y strange s, top t y bottom b).
  • 4 bosones (o partículas mediadoras de fuerzas) con espín 1: el fotón \gamma para la interacción electromagnética, cuyo grupo gauge es U(1); los bosones W^+, W^- y Z^0 para las interacciones nucleares débiles, con grupo SU(2); y los 8 gluones para la interacción nuclear fuerte, con grupo SU(3).

La siguiente imagen es un excelente resumen de todo lo escrito:

Standard_Model_of_Elementary_Particles-es

Hace una semana y pico que estoy de vacaciones y tenía ésto abandonado. Como me he comprado unos cuantos libros (cinco en total y que me voy a leer estos días :D) de editorial URSS sobre Ciencias Físico-Matemáticas, aprovecharé para meter unos cuantos posts sobre cosas interesantes que vaya leyendo. Son libros típicos de paises del este con bastantes ejercicios donde la física y las matemáticas van muy de la mano. Lo dejaremos aquí de momento.

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