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En el artículo “MAGMA: a three-dimensional, Lagrangian magnetohydrodynamic code for merger applications” de S. Rosswog y D. Price comentan como introducir campos magnéticos en SPH. Las ecuaciones ya discretizadas quedan:

Ecuación de densidad:

\rho = \sum_b m_b W(r-r_b,h)

Ecuación del momento (conh: “grad-h” term, mag: magnetic force term, g: self-gravity and gravitational softening term)

\frac{d}{dt}v_{a,MHD} = \frac{d}{dt} (v_{a,h}+v_{a,h,dis}+v_{a,g}+v_{a,mag}+v_{a,mag,dis})

donde

\frac{d}{dt}v_{a,h} = -\sum_b m_b \big ( \frac{P_a}{\Omega_a \rho_a^2} \nabla_a W_{ab}(h_a)+ \frac{P_b}{\Omega_b \rho_b^2} \nabla_a W_{ab}(h_b) \big )

\frac{d}{dt}v_{a,h,dis} =

\frac{d}{dt}v_{a,g} = -G \sum_b m_b \big [ \frac{\phi'_{ab}(h_a) + \frac{\phi'_{ab}(h_b)}{}}{2} \big ]\hat{e}_{ab}

-\frac{G}{2} \sum_b m_b \big [ \frac{\zeta_a}{\Omega_a} \nabla_a W_{ab}(h_a) + \frac{\zeta_b}{\Omega_b} \nabla_a W_{ab}(h_b) \big ]

con

\phi'_{ab} = \frac{\partial \phi}{\partial|r_a-r_b|}, \zeta_k := \frac{\partial h_k}{\partial \rho_k} \sum_b m_b \frac{\partial \phi_{kb}(h_k)}{\partial h_k}

y

\Omega_a := \big ( 1- \frac{\partial h_a}{\partial \rho_a} \cdot \sum_b m_b \frac{\partial}{\partial h_a} W_{ab}(h_a) \big )

\frac{d}{dt}v_{a,mag} = - \sum_b \frac{m_b}{\mu_0} \big \{ \frac{B_a^2 / 2}{\Omega_a \rho_a^2} \nabla_a W_{ab}(h_a) + \frac{B_b^2 / 2}{\Omega_b \rho_b^2} \nabla_a W_{ab}(h_b) \}

+ \sum_b \frac{m_b}{\mu_0} \big \{ \frac{B_a(B_a \cdot \overline{\nabla_a W_{ab}}) - B_b(B_b \cdot \overline{\nabla_a W_{ab}})}{\rho_a \rho_b} \big \}

con

\overline{\nabla_a W_{ab}} = \frac{1}{2} \big [ \frac{1}{\Omega_a} \nabla_a W_{ab}(h_a) + \frac{1}{\Omega_b} \nabla_a W_{ab}(hb) \big ]

\frac{d}{dt}v_{a,mag,dis} =

Ecuación de la energía (con h: “grad-h” term, AV: Artificial Viscosity term y C: Condutivity):

\frac{d}{dt}u_{a,MDH} = \frac{d}{dt} (du_{a,h} + du_{a,AV} + du_{a,C})

donde

\frac{d}{dt}u_{a,h} = \frac{1}{\Omega_a} \frac{P_a}{\rho_a^2} \sum_b m_b v_{ab} \cdot \nabla_a W_{ab}(h_a)

\frac{d}{dt}u_{a,AV} =

\frac{d}{dt}u_{a,C} =

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Trabajando en GRMHD nos encontramos el siguiente problema de Cauchy:

  1. Ecuaciones de Einstein: (\gamma,K)_{t=0} \longrightarrow (\gamma,K)_t
  2. Hidrodinámica: (\rho,q,\tau)_{t=0} \longrightarrow (\rho,q,\tau)_t
  3. Electromagetismo: (E,B)_{t=0} \longrightarrow (E,B)_t

donde \gamma es la métrica y K la curvatura extrinseca; \rho es la densidad de masa, q la densidad de momento, \tau la densidad de energia; E es el campo de fuerza eléctrica y B la inducción magnética.

diciembre 2017
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