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Las ecuaciones de Euler gobiernan la dinámica de los fluidos compresibles, como gases o líquidos a alta presión, cuando consideramos despreciables las fuerzas de cuerpo, las tensiones viscosas y los flujos de calor. Forman un sistema de PDE no lineal hiperbólico.

En el caso clásico, deducidas por Leonhard Euler, las leyes de conservación son las siguientes:

  1. Conservación de la masa: \rho_t + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0
  2. Conservación del momento: (\rho \vec{v})_t + \nabla \cdot (\rho \vec{v} \otimes \vec{v} + pI) = 0
  3. Conservación de la energia: E_t + \nabla \cdot [(E + p)] \vec{v} = 0

donde \rho(x,y,z,t) es la densidad de masa, \vec{v}= (v^1,v^2,v^3) es el vector velocidad con v^i(x,y,z,t), p(x,y,z,t) es la presión,

De hecho, podemos escribir el sistema de forma compacta:

U_t + \nabla \cdot H = 0

con el vector columna U = \left[ \begin{array}{c} \rho \\ \rho v^1 \\ \rho v^2 \\ \rho v^3 \\ E \end{array} \right] y el tensor H = \begin{bmatrix} \rho v^1 & \rho (v^1)^2 + p & \rho v^2 v^1 & \rho v^3 v^1 & v^1 (E + p) \\ \rho v^2 & \rho v^1 v^2 & \rho (v^2)^2 + p & \rho v^3 v^2 & v^2 (E + p) \\ \rho v^3 & \rho v^1 v^3 & \rho v^2 v^3 & \rho (v^3)^2 + p & v^3 (E + p) \end{bmatrix}

La derivación de estas leyes de conservación esta basada en la relación entre las integrales en volumenes de control y sus fronteras y utilizando el teorema de Gauss. En la forma integral de las ecuaciones no necesitamos la hipótesis de diferenciabilidad. Para la conservación de la masa asumimos que en un volumen V la masa ni se crea ni se destruye, por lo que la variación de fluido en su interior esta relacionada con la cantidad del mismo que atraviesa su frontera \partial V

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La hidrodinámica (HD) es la parte de la física que estudia la dinámica de los fluidos tanto incompresibles, los líquidos, como compresibles, los gases o los líquidos a alta presión (de hecho, todos los fluidos son compresibles, siendo la incompresibilidad una aproximación para simplificar las ecuaciones que describen su dinámica).

La magnetohidrodinámica (MHD) estudia la dinámica de fluidos conductores de electricidad en presencia de campos electromagnéticos. El conjunto de ecuaciones que describen la MHD son una combinación de las ecuaciones de Navier Stokes de la dinámica de fluidos y las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo que deben ser resueltas simultaneamente.

Cuando tenemos flujos a velocidades cercanas a la velocidad de la luz entonces hablamos de hidrodinámica en relatividad especial (SRHD) y magnetohidrodinámica en relatividad especial (SRMHD).

Finalmente, cuando el fluido está en presencia de fuertes campos gravitatorios, como por ejemplo en presencia de objetos compactos, hablamos de hidrodinámica y magnetohidrodinámica en relatividad general (GRHD y GRMHD).

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