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Aparece en Science el artículo “Holographic description of quantum black hole on a computer” en el que parece ser el primer trabajo de gravedad cuántica numérica. Traduciremos a continuación el abstract y enlazaremos con futuras entradas donde explicaremos cada uno de los conceptos expuestos en éste.

“El descubrimiento de que los agujeros negros radían partículas y eventualmente pueden evaporarse llevó a Hawking a plantear la conocida paradoja de la pérdida de información. Esta paradoja provocó un largo y sério debate ya que afirmaba que las leyes fundamentales de la mecánica cuántica podían ser violadas. Una posible solución ha emergido recientemente desde la teoría de supercuerdas, una teoría consistente de gravedad cuántica: si el la descripción holográfica de un agujero negro cuántico basada en la dualidad gauge/gravedad es correcta, la información no se pierde y los mecanismos cuánticos permanecen válidos. Aquí ponemos a prueba esta dualidad gauge/gravedad en un ordenador al nivel de gravedad cuántica por primera vez. La masa del agujero negro obtenida por simulaciones Monte Carlo de la teoría gauge dual reproduce de manera precisa los efectos de gravedad cuántica en un agujero negro en evaporación. Este resultado abre nuevas perpectivas totalmente nuevas hacia la gravedad cuántica ya que uno puede simular agujeros negros cuánticos a través de las teorías gauge duales.”

Interesante, no? 🙂

Ya comentamos en este post el formalismo Lagrangiano (coordenadas generalizadas de posiciones y velocidades). Vamos a comentar ahora la imagen Hamiltoniana.

Como en el caso anterior, utilizamos coordenadas de posición generalizadas q^1, \ldots, q^n que ahora irán acompañadas de las coordenadas de los momentos generalizados p^1, \ldots, p^n. Para una única partícula libre,  el momento no es mas que las velocidad multiplicada por la masa, y en general, siempre podemos obtenerlo a partir del Lagrangiano:

p_r = \frac{\partial}{\partial \dot{q}^r} \mathcal{L},

que nos proporciona las coordenadas para el espacio cotangente y poder escribir el covector como p_a dq^a.

Con todo ésto, la función Hamiltoniana se define como:

\mathcal{H} := \mathcal{H}(q^1,\ldots,q^n;p_1,\ldots,p_n),

y una manera de obtenerlo a partir del Lagrangiano es:

\mathcal{H} = [\dot{q}^r \frac{\partial}{\partial\dot{q}^r} - 1 ] \mathcal{L},

reescrita en términos de los momentos (y no las velocidades, que son las que aparecen en \mathcal{L}).

Al pasar al mundo cuántico, podemos identificar los momentos con los operadores diferenciales introduciendo el factor \hbar := \frac{h}{2 \pi}:

p_a = i \hbar \frac{\partial}{\partial x^a},

para el momento asociado a la posición x^a.

Y no solo eso. Si consideramos las variables de los momentos p_a como primarias y queremos obtener las de posición x^a a partir de éstas, exite una simetría muy precisa entre el espacio de momentos y el espacio de posiciones, de manera que tenemos:

x^a = i \hbar \frac{\partial}{\partial p_a},

donde la transformada de Fourier juega un papel importante también ahora.

En ambos casos, podemos obtener la regla de conmutación canónica que relaciona posiciones y momentos lineales:

p_a x^a - x^a p_a = i \hbar \delta^a_b.

Hace un tiempo que andaba pensando en transformadas de Fourier y en su generalización en variedades, había leido y comentado cosas con profesores y, finalmente, tengo algo de luz en mi cabeza :-). A ver si nos entendemos enumerando las ideas:

  1. Cuando pensamos en la transformada de Fourier clásica, para pasar al dominio de frecuencias una señal f(t), ésta se encuentra en el espacio euclideo \mathbb{R}^2.
  2. El espacio euclideo \mathbb{R}^2 tiene el producto escalar habitual \langle u, v \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2, una métrica.
  3. En general, en \mathbb{K}^n, para reales o complejos, tenemos el producto escalar \langle u, v \rangle = \Sigma_{i=1}^{n} u_i \bar{v_i}.
  4. Pensando en transformadas, aunque la función f(x) \subset \mathbb{R}^2, en realidad la estamos pensando como un elemento de un espacio mas general: un espacio de funciones.
  5. El espacio en cuestión es L^2(\mathbb{R}):=\{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} medible \,|\, \int_{\mathbb{R}} |f|^2 < +\infty \}.
  6. Este espacio forma parte de una familia, los espacios de Lebesgue L^p(\Omega):=\{ f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} \,|\, \int_{\Omega} |f|^p < +\infty \}, donde p \in [0,+\infty) y \Omega es un conjunto medible en el sentido de Lebesgue. Esta familia de espacios normados, con norma ||\,\,||_{p}:=(\int_{\Omega} |f|^p)^{\frac{1}{p}}, son espacios de Banach.
  7. En realidad, L^2(\Omega) es un espacio de Hilbert, pues su norma deriva del producto escalar B(f,g):= \int_{\Omega} f\bar{g}, pues para cualquier producto escalar B: H\times H \rightarrow \mathbb{K} siempre podemos definir su norma asociada q_{B}: H \rightarrow \mathbb{R}^+ \cup {0} \,/\, u \mapsto q_B(u):=\sqrt{B(u,u)} con u \in H.
  8. En el caso particular de la tranformada de Fourier de una función f(t), podemos entenderla como el producto escalar de esta por la exponencial compleja e^{-2 \pi i \xi t}: f(\xi):=B(f(t),e^{-2 \pi i \xi t}) = \int_{\mathbb{R}} f(t) e^{-2 \pi i \xi t} dt.
  9. De esta manera, en \mathbb{R}^2 tenemos vectores, y podemos hacer geometría mediante el producto escalar habitual, pero también tenemos funciones, y también con éstas podemos hacer geometría mediante el último producto escalar definido, o podriamos definir l^p:=\{ \{a_n\}_{n=1}^\infty \,|\, \Sigma_{n=1}^\infty |\{ a_n\}|^p < +\infty\} con B: l \times l \rightarrow \mathbb{K} \,/\, (\{a_n\}_{n=1}^\infty,\{b_n\}_{n=1}^\infty) \mapsto \Sigma_{n=1}^\infty a_n \bar{b_n} y hacer geometría con sucesiones.
  10. Por tanto, puedo definir diferentes entidades sobre un mismo espacio, definir su correspondiente producto escalar y hacer geometría con éstas.
  11. Al igual que utilizamos el producto escalar habitual del plano tangente para trabajar en un punto de la variedad, tendríamos que hacer lo mismo con el resto de entidades.
  12. Cuando hablamos de teoría espectral, necesitamos un sistema ortonormal \{ x_i \}_{i \in I}, es decir, un conjunto de vectores que forman una base y  que B(u_i,u_j) = \delta_{ij}. ¿Cómo encontrar un sistema de este tipo?
  13. Sabemos que vectores propios asociados a valores propios diferentes son linealmente independientes. Por tanto, podemos construir un sistema de este tipo diagonalizando un operador. De hecho, podemos relacionar la base utilizada en Fourier con el operador diferenciación.
  14. Cuando tenemos diversas variables, el operador equivalente sería el Laplaciano. Por tanto, podriamos construir una base ortonormal infinita en una variedad encontrando una base de vectores propios asociados al operador Laplaciano definido en la variedad.
  15. En realidad, al trabajar con una variedad M, por un lado tengo el operador de Laplace-Beltrami, que es una generalización del Laplaciano al caso de variedades, y por otra tendré que considerar funciones sobre éste, por lo que ahora trabajaré con el espacio L^2(M) := \{ f: M \rightarrow \mathbb{C} \,|\, \int_M |f|^2 < +\infty \}.

Leyendo el capítulo dedicado a Lagrangianos y Hamiltonianos del libro de Roger Penrose El camino a la realidad me sorprendió cuando en un momento, después de presentar al Lagrangiano

\mathcal{L} = \mathcal{L}(q^1, \ldots, q^n, \dot{q}^1, \ldots, \dot{q}^n )

como una función, de posiciones generalizadas q^i que etiquetan los puntos del espacio de configuración \mathcal{C}, una variedad diferenciable de dimensión n, y velocidades generalizadas \dot{q}^i:=\frac{d}{dt}q^i, cuya interpretación física es la diferencia entre energía cinética K del sistema y la energía potencial V debido a fuerzas externas, es decir, \mathcal{L} = K-V, las ecuaciones de Euler-Lagrange quedan como:

\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{q}^r}\mathcal{L} = \frac{\partial}{\partial q^r} \mathcal{L} con r=1 \ldots n,

recordando que cada \dot{q}^r debe tratarse como una variable independiente.

Esto, aquí mi sorpresa, es idéntico a lo que utilizamos en este post

\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{x}^i} g = \frac{\partial}{\partial x ^i} g

para calcular las geodésicas de una variedad Riemanniana sin necesidad de pasar por el cálculo de los símbolos de Christoffel a partir de su métrica, por ejemplo, para encontrar su conexión…

Así pues, la conclusión es que, como cada punto \alpha de la variedad n-dimensional \mathcal{C} representa una configuración del sistema y, a medida que evoluciona en el tiempo, describe una curva \alpha(t) \in \mathcal{C}, esta trayectoria puede considerarse como una geodésica en el espacio de fases \mathcal{C}.

Para terminar, pone un sencillo ejemplo donde el sistema consta de una única partícula de masa m que se mueve en el campo gravitatorio cerca de la superficie terrestre V(t,x,y,z)=mgz. Utilizando \frac{1}{2}mv^2 para la energía cinética, nos queda que el Lagrangiano es:

\mathcal{L} = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-mgz,

por lo que la ecuación de Euler-Lagrange para z nos queda:

m\frac{d}{dt}\dot{z} = mg \Leftrightarrow \ddot{z} = g,

que es lo que esperabamos :-).

Postulado 1: La representación del estado de un sistema físico.

P1. La máxima información posible sobre un sistema físico en un instante dado t es su estado cuántico, que se representa por un vector (ket) de norma 1 y de fase arbitraria en un espacio de Hilbert separable.

Superposición en un producto tensorial de espacios de Hilbert

Postulado 2: La representación de las magnitudes medibles.

P2. Cualquier magnitud del sistema que en pricipio se pueda medir tiene asociada un operador lineal autoadjunto definido sobre el espacio vectorial de los estados. La totalidad de los autovalores recibe el nombre de espectro y los autovectores definen una base del espacio de Hilbert.

Conjunto completo de observables compatibles

Postulado 3: El resultado de la medida.

P3. El resultado de una medida de un observable A sobre un estado |\psi \rangle solo puede ser uno de sus autovalores. La probabilidad de que al medir A, de descomposicón espectral A=\sum_i \lambda_i \Pi_i,\, (\lambda_i \neq \lambda_j), sobre un estado |\psi \rangle obtengamos el resultado \lambda_i es:

\mathcal{P}_{| \psi \rangle} (A:\lambda_i) = ||\Pi_i | \psi \rangle ||^2 = \langle \psi | \Pi_i | \psi \rangle

donde A:\lambda_i indica que la medida del observable A nos da el valor \lambda_i

Dualidad onda-particula

Incertidumbre de Heisenberg

Postulado 4: La proyección, reducción o colapso.

P4. Cualquier estado | \phi \rangle sobre el que se realiza una medida del observable A que es filtrante respecto del autovalor \lambda_i, pasa a estar inmediatamente despues de la medida en el estado

\frac{\Pi_i | \phi \rangle}{||\Pi_i | \phi \rangle||}

con probabilidad ||\Pi_i | \phi \rangle||^2, o se destruye durante el proceso de medida.

La no localidad de la mecánica cuántica

Postulado 5: La evolución temporal.

P5. Entre medidas, el sistema evoluciona según

i\hbar \frac{\partial}{\partial t} | \varphi(t) \rangle = H | \varphi (t) \rangle

donde H es el operador hamiltoniano del sistema.

Postulado 6: los operadores de posición y de momento.

P6. Los operadores de posición, en coordenadas cartesianas, y de momento satisfacen las reglas de conmutación:

[X_i,X_j]=0, \, [P_i,P_j]=0, \, [X_i,P_j]=i \hbar \delta_{ij} I.

La función de onda en el espacio de posiciones

La función de onda en el espacio de momentos

Dimensiones y teorema de Ehrenfest

Los valores de los operadores X_i y P_i evolucionan según las leyes clásicas pero con fuerzas medias.

Para formular matemáticamente la mecánica cuántica necesitamos hablar de espacios de Hilbert y de operadores lineales. La rama de las matemáticas que trata estos temas es el análisis funcional.

Procederemos a dar cada una de las definiciones en el momento que las necesitemos, de manera que, como lo que nos interesan son los espacios de Hilbert y los operadores lineales, definiremos estos en primer lugar. Sin embargo, como estas definiciones se basan en otras definiciones, que por abstracción adquieren identidad propia, iremos introduciendo las mismas a medida que nos vayan apareciendo.

Espacios de Hilbert

Definición (Espacio de Hilbert): Un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo.

A esto nos referiamos, pués de momento, nos hemos quedado tal y como estabamos, pues no sabemos que significa ser prehilbertiano y tampoco completo. Estos nuevos conceptos aparecen porque al estudiar los espacios de Hilbert y abstraer ciertas partes, estas adquieren interes per se.

Definición (Espacio prehilbertiano): Un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial H sobre un cuerpo \mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C} en el que tenemos definido un producto escalar.

Definición (Producto escalar): Un producte escalar en un \mathbb{K}-espacio vectorial H es una aplicación:

\langle \cdot , \cdot \rangle: H \times H \longrightarrow \mathbb{K}

tal que es:

  1. lineal en la primera componente: \langle x + y , z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle y $$
  2. simétrica en \mathbb{R}\langle x,y \rangle = \langle y,x \rangle, o hermítica en \mathbb{C}, \langle x,y \rangle = \overline{ \langle y,x \rangle}.
  3. definida positiva: \langle x,x \rangle \geq 0 y \langle x,x \rangle = 0 \Leftrightarrow x=0

Ejemplos

  • (\mathbb{R}^n,\langle \cdot, \cdot \rangle) con \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i es un espacio prehilbertiano.
  • (\mathbb{C}^n, \langle \cdot,\cdot \rangle) con \langle z,w \rangle = \sum_{i=1}^n z_i \overline{w_i} es un espacio prehilbertiano.
  • Sea A un conjunto igual a \{ 1, \ldots , n\}, \mathbb{N}, \mathbb{Z}. El espacio \ell^2(A) es un espacio prehilbertiano con el producto escalar \langle x,y \rangle := \sum_{\alpha \in A} x_\alpha \overline{y_\alpha} con x = \{ x_\alpha \}_{\alpha \in A} y y = \{ y_\alpha \}_{\alpha \in A}. En el caso que A = \mathbb{N} o \mathbb{Z} escribiremos \ell^2(A) = \ell^2. Si A = \{1,\ldots,n\} entonces \ell^2(A) \equiv \mathbb{K}^n que tambien se denota por \ell^2(n).

Vamos a demostrar este último ejemplo. Probaremos, en primer lugar, que \ell^2 es un espacio vectorial, y posteriormente, que \langle \cdot,\cdot \rangle es un producto interior.

Definición (Notación de Dirac): Una notación alternativa para el producto escalar introducida por Dirac y ampliamente utilizada en mecánica cuántica por su versatilidad es la notación bra-ket. Podemos escribir el producto escalara en notación matricial:

\langle \cdot | \cdot \rangle :

Espacios de Banach

Para empezar, recordaremos que un espacio normado es un par (E,|| \cdot ||_E) formado por un espacio vectorial E sobre un cuerpo K, que puede ser \mathbb{R} o \mathbb{C}, y una norma ||\cdot||_E sobre E, que es una función:

||\cdot||_E : E \longrightarrow [0,+\infty[

que satisface las propiedades de:

  1. separación: ||x||_E = 0 \Leftrightarrow x = 0.
  2. homogeneidad: ||\lambda x|| = |\lambda|||x||_E.
  3. desigualdad triangular:

Cuando exigimos que las funciones de transición del atlas que recubre una variedad diferenciable sean holomorfas podemos decir que tenemos una variedad compleja. En particular, toda variedad compleja de dimensión n será una variedad diferenciable de dimensión 2n dotada de una orientación natural. Las superfícies de Riemann, o los grupos de Lie con operaciones de grupo holomorfas son ejemplos de variedades complejas.

Las variedades lorentzianas son importantes en relatividad general. La mecánica cuántica tiene su base matemática en los espacios de Hilbert complejos separables (L^2(\mathbb{R}) o \mathbb{C}^{2n+1}).

Existen diferentes maneras de definir el cuerpo de los números complejos. La mas intuitiva es hacer tomar el conjunto \mathbb{R} \times \mathbb{R} y definir las operaciones internas:

  • (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2) .
  • (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + x_2 y_1).

con (x_1,y_1), (x_2, y_2) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}. Es sencillo comprobar que \mathbb{C} := (\mathbb{R} \times \mathbb{R}, +, \cdot) tiene estructura de cuerpo.

Otra manera mas elegante es ver que \mathbb{C} \cong \frac{\mathbb{R}[x]}{(x^2+1)} donde (x^2+1) es el ideal generado por el polinomio irreducible x^2+1 \in \mathbb{R}[x], pues existe una propiedad que nos dice que un anillo conciente de este tipo tiene estructura de cuerpo.

El análisis complejo se encarga del estudio de las funciones de variable compleja. En próximos posts exponemos de manera breve algunos de los contenidos básicos del área: funciones analíticas, funciones holomorfas, funciones elementales, integración en el plano complejo con formula y teorema de Cauchy y teoremas de Laurent y de los residuos con algunas aplicaciones.

junio 2017
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