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No hay que confundir los dos conceptos del título del post. Por un lado tenemos claramente definido el concepto de serie convergente: una serie es convergente si la sucesión de las sumas parciales tiene límite. Por otro, existen métodos de sumación, que pretenden extender, de manera consistente, la asignación de un valor de suma a una serie divergente en el sentido anterior.

Sin entrar en criterios de convergencia de series, existe una manera muy sencilla de saber si una serie diverge: si la sucesión de términos no tiende a cero, entonces la serie diverge:

\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty.

Por ejemplo, las series:

\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n = 1 - 2 + 3 - \ldots

\sum_{n=1}^{\infty} n = 1 + 2 + 3 + \ldots

son divergentes, ya que la sucesión de sus correspondientes sumas parciales (1,-1,2,-2\ldots; 1,3,6,10,\ldots ) no tiene límite o, por el criterio anterior, \lim_{n \rightarrow \infty} (-1)^{n-1} n \neq 0 y \lim_{n \rightarrow \infty} n \neq 0.

Sin embargo, podemos asignarle un valor a esta suma (jugando apropiadamente con los términos :-)). En el primer caso, ya Euler encontró que:

\sum_{n=1}^{\infty} n = 1 - 2 +3 -4 + \ldots = \frac{1}{4},

y posteriormente se establecieron métodos bien definidos para encontrar sumas generalizadas de series divergentes.

En el segundo caso, podemos utilizar la extensión analítica (de funciones analíticas y sus extensiones comenté algo en este post) de la función zeta de Riemann (una nota curiosa aquí):

\zeta(s):=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \ldots,

ya que nuestra serie no es mas que \zeta(-1) y, como se puede demostrar que:

\zeta(-s) = \frac{B_{s+1}}{s+1},

donde B_n son los números de Bernoulli, entonces tenemos que:

\sum_{n=1}^{\infty} n = 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots = -\frac{1}{12},

En este post, Tao da una interpretación matemáticamente consistente de lo que son estos valores.

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Hace un tiempo que andaba pensando en transformadas de Fourier y en su generalización en variedades, había leido y comentado cosas con profesores y, finalmente, tengo algo de luz en mi cabeza :-). A ver si nos entendemos enumerando las ideas:

  1. Cuando pensamos en la transformada de Fourier clásica, para pasar al dominio de frecuencias una señal f(t), ésta se encuentra en el espacio euclideo \mathbb{R}^2.
  2. El espacio euclideo \mathbb{R}^2 tiene el producto escalar habitual \langle u, v \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2, una métrica.
  3. En general, en \mathbb{K}^n, para reales o complejos, tenemos el producto escalar \langle u, v \rangle = \Sigma_{i=1}^{n} u_i \bar{v_i}.
  4. Pensando en transformadas, aunque la función f(x) \subset \mathbb{R}^2, en realidad la estamos pensando como un elemento de un espacio mas general: un espacio de funciones.
  5. El espacio en cuestión es L^2(\mathbb{R}):=\{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} medible \,|\, \int_{\mathbb{R}} |f|^2 < +\infty \}.
  6. Este espacio forma parte de una familia, los espacios de Lebesgue L^p(\Omega):=\{ f: \Omega \rightarrow \mathbb{C} \,|\, \int_{\Omega} |f|^p < +\infty \}, donde p \in [0,+\infty) y \Omega es un conjunto medible en el sentido de Lebesgue. Esta familia de espacios normados, con norma ||\,\,||_{p}:=(\int_{\Omega} |f|^p)^{\frac{1}{p}}, son espacios de Banach.
  7. En realidad, L^2(\Omega) es un espacio de Hilbert, pues su norma deriva del producto escalar B(f,g):= \int_{\Omega} f\bar{g}, pues para cualquier producto escalar B: H\times H \rightarrow \mathbb{K} siempre podemos definir su norma asociada q_{B}: H \rightarrow \mathbb{R}^+ \cup {0} \,/\, u \mapsto q_B(u):=\sqrt{B(u,u)} con u \in H.
  8. En el caso particular de la tranformada de Fourier de una función f(t), podemos entenderla como el producto escalar de esta por la exponencial compleja e^{-2 \pi i \xi t}: f(\xi):=B(f(t),e^{-2 \pi i \xi t}) = \int_{\mathbb{R}} f(t) e^{-2 \pi i \xi t} dt.
  9. De esta manera, en \mathbb{R}^2 tenemos vectores, y podemos hacer geometría mediante el producto escalar habitual, pero también tenemos funciones, y también con éstas podemos hacer geometría mediante el último producto escalar definido, o podriamos definir l^p:=\{ \{a_n\}_{n=1}^\infty \,|\, \Sigma_{n=1}^\infty |\{ a_n\}|^p < +\infty\} con B: l \times l \rightarrow \mathbb{K} \,/\, (\{a_n\}_{n=1}^\infty,\{b_n\}_{n=1}^\infty) \mapsto \Sigma_{n=1}^\infty a_n \bar{b_n} y hacer geometría con sucesiones.
  10. Por tanto, puedo definir diferentes entidades sobre un mismo espacio, definir su correspondiente producto escalar y hacer geometría con éstas.
  11. Al igual que utilizamos el producto escalar habitual del plano tangente para trabajar en un punto de la variedad, tendríamos que hacer lo mismo con el resto de entidades.
  12. Cuando hablamos de teoría espectral, necesitamos un sistema ortonormal \{ x_i \}_{i \in I}, es decir, un conjunto de vectores que forman una base y  que B(u_i,u_j) = \delta_{ij}. ¿Cómo encontrar un sistema de este tipo?
  13. Sabemos que vectores propios asociados a valores propios diferentes son linealmente independientes. Por tanto, podemos construir un sistema de este tipo diagonalizando un operador. De hecho, podemos relacionar la base utilizada en Fourier con el operador diferenciación.
  14. Cuando tenemos diversas variables, el operador equivalente sería el Laplaciano. Por tanto, podriamos construir una base ortonormal infinita en una variedad encontrando una base de vectores propios asociados al operador Laplaciano definido en la variedad.
  15. En realidad, al trabajar con una variedad M, por un lado tengo el operador de Laplace-Beltrami, que es una generalización del Laplaciano al caso de variedades, y por otra tendré que considerar funciones sobre éste, por lo que ahora trabajaré con el espacio L^2(M) := \{ f: M \rightarrow \mathbb{C} \,|\, \int_M |f|^2 < +\infty \}.

Dado un \mathbb{K}-espacio vectorial E, diremos que la aplicación:

B:E \times E \longrightarrow \mathbb{K}

es un producto escalar si verifica:

  1. Fijado y \in E, entonces E \longrightarrow \mathbb{K} \,:\, x \mapsto B(x,y) es lineal.
  2. B(x,y) = \bar{B(y,x)}, \forall x,y \in E.
  3. B(x,y) \geq 0, \forall x \in E.
  4. B(x,x)=0 \leftrightarrow x=0, \forall x \in E.

Llamamos espacio pre-Hilbertiano al par (E,B).

Dos consecuencias inmediatas de estas propiedades son:

  1. Fijado x \in E, entonces E \longrightarrow \mathbb{K} \,:\, y \mapsto B(x,y) es sesquilineal.
  2. B(0,y)=B(x,0)=0, \forall x,y \in E.

Podemos definir la aplicación norma como:

q:E \longrightarrow \mathbb{R}^+ \cup \{0\} \,:\, x \mapsto \sqrt{B(x,x)},

que cumple la desigualdad de Cauchy-Schwartz:

|B(x,y)| \leq q(x)q(y), \forall x,y \in E,

dandose la igualdad cuando x, y son linealmente dependientes, y las propiedades:

  1. q(x+y) \leq q(x)+ q(y), \forall x,y \in E.
  2. q(\lambda x) = \lambda q(x), \forall x \in E.
  3. q(x)=0 \leftrightarrow x=0, \forall x \in E.

Podemos definir la aplicación distancia como:

d: E \times E \longrightarrow \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \} \,:\, (x,y) \mapsto q(x-y),

cumpliendo:

  1. q(x,y) = q(y,x).
  2. d(x,y)=0 \leftrightarrow x = y.
  3. d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y).

¿Qué pasa ahora si empezamos a eliminar requisitos en las definiciones? Se siguen cumpliendo propiedades interesantes de manera que las estructuras resultantes son ricas o no? Suponemos que si. Vamos a ver…

Hablemos de generalizaciones, cosa esencial en matemáticas:

  • Desde el punto de vista del análisis funcional, ¿qué pasa si nuestro espacio tiene asociada una métrica no definida positiva?
  • En el caso finito, ¿qué pasa cuando en lugar de trabajar con \mathbb{R}^n o \mathbb{C}^n tengo variedades diferenciables mas generales?
  • En analisis funcional tengo espacios de funciones donde estas cumplen una propiedad asociada con una medida y especificada normalmente mediante una integral. ¿Puedo tener espacios de variedades cumpliendo propiedades de este tipo? (pues tiene sentido hablar de integración en variedades orientadas)
  • Al hablar de variedades de Riemann, asociamos una métrica a una variedad para poder hablar de distancias, areas, angulos, etc. En realidad, asociamos un producto escalar, un tensor 2 veces covariante, del que deriva una norma a partir de la que podemos especificar una distancia.

Para formular matemáticamente la mecánica cuántica necesitamos hablar de espacios de Hilbert y de operadores lineales. La rama de las matemáticas que trata estos temas es el análisis funcional.

Procederemos a dar cada una de las definiciones en el momento que las necesitemos, de manera que, como lo que nos interesan son los espacios de Hilbert y los operadores lineales, definiremos estos en primer lugar. Sin embargo, como estas definiciones se basan en otras definiciones, que por abstracción adquieren identidad propia, iremos introduciendo las mismas a medida que nos vayan apareciendo.

Espacios de Hilbert

Definición (Espacio de Hilbert): Un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo.

A esto nos referiamos, pués de momento, nos hemos quedado tal y como estabamos, pues no sabemos que significa ser prehilbertiano y tampoco completo. Estos nuevos conceptos aparecen porque al estudiar los espacios de Hilbert y abstraer ciertas partes, estas adquieren interes per se.

Definición (Espacio prehilbertiano): Un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial H sobre un cuerpo \mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C} en el que tenemos definido un producto escalar.

Definición (Producto escalar): Un producte escalar en un \mathbb{K}-espacio vectorial H es una aplicación:

\langle \cdot , \cdot \rangle: H \times H \longrightarrow \mathbb{K}

tal que es:

  1. lineal en la primera componente: \langle x + y , z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle y $$
  2. simétrica en \mathbb{R}\langle x,y \rangle = \langle y,x \rangle, o hermítica en \mathbb{C}, \langle x,y \rangle = \overline{ \langle y,x \rangle}.
  3. definida positiva: \langle x,x \rangle \geq 0 y \langle x,x \rangle = 0 \Leftrightarrow x=0

Ejemplos

  • (\mathbb{R}^n,\langle \cdot, \cdot \rangle) con \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i es un espacio prehilbertiano.
  • (\mathbb{C}^n, \langle \cdot,\cdot \rangle) con \langle z,w \rangle = \sum_{i=1}^n z_i \overline{w_i} es un espacio prehilbertiano.
  • Sea A un conjunto igual a \{ 1, \ldots , n\}, \mathbb{N}, \mathbb{Z}. El espacio \ell^2(A) es un espacio prehilbertiano con el producto escalar \langle x,y \rangle := \sum_{\alpha \in A} x_\alpha \overline{y_\alpha} con x = \{ x_\alpha \}_{\alpha \in A} y y = \{ y_\alpha \}_{\alpha \in A}. En el caso que A = \mathbb{N} o \mathbb{Z} escribiremos \ell^2(A) = \ell^2. Si A = \{1,\ldots,n\} entonces \ell^2(A) \equiv \mathbb{K}^n que tambien se denota por \ell^2(n).

Vamos a demostrar este último ejemplo. Probaremos, en primer lugar, que \ell^2 es un espacio vectorial, y posteriormente, que \langle \cdot,\cdot \rangle es un producto interior.

Definición (Notación de Dirac): Una notación alternativa para el producto escalar introducida por Dirac y ampliamente utilizada en mecánica cuántica por su versatilidad es la notación bra-ket. Podemos escribir el producto escalara en notación matricial:

\langle \cdot | \cdot \rangle :

Espacios de Banach

Para empezar, recordaremos que un espacio normado es un par (E,|| \cdot ||_E) formado por un espacio vectorial E sobre un cuerpo K, que puede ser \mathbb{R} o \mathbb{C}, y una norma ||\cdot||_E sobre E, que es una función:

||\cdot||_E : E \longrightarrow [0,+\infty[

que satisface las propiedades de:

  1. separación: ||x||_E = 0 \Leftrightarrow x = 0.
  2. homogeneidad: ||\lambda x|| = |\lambda|||x||_E.
  3. desigualdad triangular:
diciembre 2017
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