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El caso mas sencillo es cuando tenemos cinco puntos:
,
de manera que:
.
Tal y como escribimos en el anterior post, el polinomio general para cinco puntos quedaria:
,
donde:
,
,
,
,
.
Dado que tratamos de aproximar la segunda derivada, tenemos, en el caso de equidistancia quedaría:
.
Vamos a ver que queda ahora en nuestro caso. Reescribimos los en función de
de manera que, por ejemplo, tenemos:
,
que para , la segunda derivada queda:
.
Haciendo lo mismo para todas las derivadas segundas de todos los , obtenemos la siguiente formula en diferencias finitas:
,
donde los índices hacen referencia a una malla inicial equiespaciada.
Para el mismo denominador, antes teniamos:
.
Podemos hacer lo mismo para cada uno de los puntos ,
,
y
:
En el caso de , tenemos:
.
Dados puntos:
,
definimos el polinomio interpolador de Lagrange:
donde:
.
Con esto, tenemos:
Supongamos que tenemos :
.
En este caso, tenemos:
con:
Como tenemos dos puntos, únicamente podemos aproximar la primera derivada:
con:
,
de manera que:
.
Con esto, tenemos las aproximaciones de primer orden:
,
que, en índices, queda:
,
,
donde (y que es lógico, ya que la derivada será una constante).
Supongamos ahora que tenemos tres puntos:
.
En este caso tenemos:
,
,
.
Ahora tenemos:
,
,
.
,
,
.
,
,
.
De esta manera, por ejemplo, tenemos que:
,
que, en el caso de tener los puntos equiespaciados ( con
), queda la aproximación de segundo orden:
,
que además, como era de esperar, es independiente de :
,
,
.
¿Qué pasa con la primera derivada? En este caso, el resultado si que depende de (por lo que tendremos un resultado diferente en función de si la
vale
,
o
) y lo que obtenemos es:
,
por lo que:
,
que, con equiespaciado, quedan:
,
y
.
Laplaciano en cartesianas:
1d
2d
fijo:
fijo:
3d
fijos:
fijos:
fijos:
Dado el campo vectorial invariante por la izquierda
del grupo de Lie
,
llamamos trayectorias del campo a la soluciones de la ODE:
,
y que, fijada una condición inicial , la trayectoria queda unívocamente determinada en forma de serie exponencial:
con
,
donde .
Las trayectorias:
- son analíticas y esta definidas para todo valor de
por el carácter anaítico y completo de los campos invariantes.
- que pasan por la unidad del grupo de Lie,
, son grupos uniparamétricos de G, ya que cumplen la propiedad
. En este caso:
.
En el caso de , hemos visto que los campos invariantes a la izquierda tienen la forma:
con
y
.
El subgrupo uniparamétrico es la solución a:
con
,
y que es:
.
De esta manera, tenemos:
,
es decir, la exponencial matricial habitual.
En la siguiente simulación tenemos partículas. Cada partícula
representa un péndulo de masa
y posición
, con
constante, sometido a las fuerzas:
, la fuerza de la gravedad, con
constante.
, la fuerza elática de la suspensión, de sentido opuesta a la posición del péndulo y de magnitud
, con
y
la variación de la longitud del péndulo respecto de su longitud en reposo
.
, la fuerza de fricción, con sentido opuesta a la velocidad del péndulo y magnitud
, con
y
.
La ley de Newton queda, para cada uno de los péndulos, es decir, para cada partícula, como el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden:
que es:
Podemos expresar este sistema como un sistemad de ecuaciones de primer orden introduciendo incongnitas adicionales: y
, con lo que nos queda:
En la siguiente simulación tomamos aleatoria para cada partícula
, por lo que tendremos que resolver el sistema de EDOs numéricamente para cada una de ellas. Además, tendremos
,
y
en todos los péndulos. Cada uno de éstos se distribuye a lo largo de una espilar cilíndrica y las velocidades iniciales son, para todas ellas,
,
y
. El intervalo de tiempo es desde
hasta
que se divide en
subintervalos.
El resultado es el siguiente:
En [Rosswog 2009] comenta algunos métodos para ODEs, ya que una de las características relevantes de SPH es que transforma las PDEs de la hidrodinámica en un sistema de ODEs y hacer una simulación en SPH no es mas que resolver dicho sistema.
Las ODEs en astrofísica suelen ser de segundo orden pero podemos transformarlas en un sistema de ODEs de primer orden introduciendo como nuevas variables a las velocidades. De esta manera obtenemos ecuaciones acopladas de la forma:
con
Tenemos, en este caso, dos tipos de problemas: los problemas de contorno y los problemas de valor inicial. Este último caso, que es el que nos interesa, se trata de determinar el valor de en
a partir de la condición inicial
en
.
El método de Euler es el método de integración pedagógico. La solución avanza de a
según:
donde y
es el paso de tiempo escogido. Es un método explícito de primer orden y es asimétrico en tiempo, pues la derivada es correcta al principio del paso de tiempo pero no al final. De ahí el nombre de Euler hacia adelante. En el caso de posiciones, velocidades y aceleraciones, tenemos:
La posibilidad contraria es:
llamado el método de Euler hacia atrás, que es un método implícito. Todos los siguientes métodos que comentaremos son explícitos.
El siguiente método es el Euler modificado que utiliza el valor de la derivada al principio y al final del paso de tiempo:
que es un método de segundo orden. En el caso de posiciones, velocidades y aceleraciones tenemos:
En el método de Runge-Kutta de segundo orden tomamos la derivada en el punto medio de los intervalos de tiempo tomados:
- Tomamos como paso
, calculamos
y evaluamos la derivada en ese punto
- Tomamos el paso entero con esta derivada:
En el caso de posiciones, velocidades y aceleraciones tenemos:
Runge-Kutta de cuarto orden:
Velocity Stormer-Verlet:
En el caso de posiciones, velocidades y aceleraciones tenemos:
Dado que la conservación exacta es en nuestro puede ser mas importante que el orden alto, aconseja el último método.