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Ya hace casi dos meses que no escribo nada en el blog :-(. Es hora de añadir algo.

El Block Cyclic Reduction es un algoritmo rápido para resolver sistemas de ecuaciones de manera directa cuya matriz tiene estructura tridiagonal por bloques.

Supongamos que tenemos una discretización de un volumen mediante cinco puntos para las x, tres puntos para las y y siete puntos para las z (necesitamos que sean números impares).

Para la dimensión z tenemos:

A_3 = \left(  \begin{array}{ccccccc}  6 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  -1 & 6 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & -1 & 6 & -1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & -1 & 6 & -1 & 0 & 0\\  0 & 0 & 0 & -1 & 6 & -1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 6 & -1\\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 6  \end{array}  \right)

-I_3 =\left(  \begin{array}{ccccccc}  -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1  \end{array}  \right)

Para la dimensión y no queda:

A_2 = \left(  \begin{array}{ccc}  A_3 & -I_3 & 0 \\  -I_3 & A_3 & -I_3 \\  0 & -I_3 & A_3  \end{array}  \right); \,\,\, -I_2 = \left(  \begin{array}{ccc}  -I_3 & 0 & 0 \\  0 & -I_3 & 0 \\  0 & 0 & -I_3  \end{array}  \right)

Y, finalmente, para la dimensión x obtenemos:

A_1 = \left(  \begin{array}{ccccc}  A_2 & -I_2 & 0 & 0 & 0 \\  -I_2 & A_2 & -I_2 & 0 & 0 \\  0 & -I_2 & A_2 & -I_2 & 0 \\  0 & 0 & -I_2 & A_2 & -I_2 \\  0 & 0 & 0 & -I_2 & A_2  \end{array}  \right).

Ahora todo es fácilmente generalizable a n dimensiones x_1, x_2, \ldots, x_n con t_1, t_2, \ldots, t_n puntos en cada dimensión, ya que nos queda A_i una matriz tridiagonal por bloques con t_i \times t_i bloques donde cada uno está formado por matrices A_{i-1} en la diagonal, -I_{i-1} arriba y debajo de la diagonal y 0 en el resto, todas de dimensión t_{i-1} \times t_{i-1} con i=1,\ldots, n. En A_n tenemos el stencil (-1,2n,-1).

En el caso que estamos tratando, para cada fila par de A_1 podemos multiplicarla por A_2 y sumarla a las filas impares anterior y posterior, de manera que eliminamos las variables pares:

-v^1_{j-2} + ((A_2)^2 - 2I_2)v^1_j - v^1_{j+2} = b^1_{j-1} + A_2 b^1_j + b^1_{j+1},

(el ^1 hace referencia a las x y no corresponde a potencias… Para resolver las k impares simplemente:

A_2 v^1_k = b^1_{k} + v^1_{k-1} + v^1_{k+1}. )

Y resulta que definiendo B_2:=(A_2)^2 - 2 I_2, nos queda una matriz B_1 de la misma estructura que A_1, por lo que podemos aplicar este metodo de manera recursiva hasta llegar a tener una sola ecuación (para esto, no basta con que tengamos un número impar de nodos, necesitamos algo como N=2^{k+1}-1).

Llegados a este punto, si estamos con v^n, resolvemos como queramos, pero si estamos en otra variable v^i con i\neq n, la matriz vuelve a tener la misma estructura, pero con una dimensión menos, y volvemos a aplicar el mismo algoritmo.

Tenemos dos lugares distintos donde aplicar recursividad: el primero por ir agrupando de tres en tres las ecuaciones de una dimensión de trabajo (A_i \rightarrow B_i \rightarrow \ldots \rightarrow F_i, F por poner algo :-)); el otro cuando, llegados a una sola ecuación aplicando la recursividad anterior, nos quedan mas dimensiones por resolver (B_{j+1}, B_{j+2}, \ldots ).

Anuncios

Como \Delta u = f \leftrightarrow u = \Delta^{-1} f entonces \mathcal{M}(u) = \mathcal{M}(\Delta^{-1} f) y

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f) = \frac{1}{r} M(f) + \frac{1}{r^2}n_i D^i(f) + \frac{3}{2} \frac{1}{r^3} n_{\langle i} n_{j \rangle} Q^{ij}(f) + O(\frac{1}{r^4}) +

+ \Delta_0^{-1} \mathcal{M}(f)

con

M(f) = - \frac{1}{4 \pi} \int f,

D^i(f) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i f,

Q^{ij}(f) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j f

y \mathcal{M}(f) = 0 si f es de soporte compacto.

 1.- \boxed{\Delta \Theta_X = \frac{3}{4} 8 \pi \mathcal{D}^i S_i^*} donde \Theta_X := \mathcal{D}_j X^j

En este caso, f_{\Theta_X} := \frac{3}{4} 8 \pi \mathcal{D}^i S_i^* y, por tanto, \mathcal{M}(f_{\Theta_X})=0. De esta manera, tenemos:

M(f_{\Theta_X}) =,

D^i(f_{\Theta_X}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i \frac{3}{4} 8 \pi \mathcal{D}^i S_i^* = -\frac{3}{2} (\int \mathcal{D}^j(x^i S_j^*) d^3x' - \int S_j^* \mathcal{D}^j x^i d^3x'),

Q^{ij}(f_{\Theta_X}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j \frac{3}{4} 8 \pi \mathcal{D}^i S_i^*

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_{\Theta_X}) = + O()

2.- \boxed{\Delta X^i = 8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X}

Ahora hacemos f_{X^i} := 8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X

M(f_{X^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int 8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X,

D^i(f_{X^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i (8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X),

Q^{ij}(f_{X^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j (8 \pi f^{ij} S_j^* - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i \Theta_X)

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_{X^i}) = + O()

3.- \boxed{\Delta \psi = -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7}}

En esta ocasión, f_\psi := -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7}

M(f_\psi) = - \frac{1}{4 \pi} \int -2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7},

D^i(f_\psi) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i (-2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7}),

Q^{ij}(f_\psi) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j (-2 \pi E^* \psi^{-1} - \frac{1}{8} ( f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}) \psi^{-7})

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_\psi) = + O()

4.- \boxed{ \Delta (\alpha \psi) = \big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi) }

Definimos f_{\alpha \psi}:=\big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi)

M(f_{\alpha \psi}) = - \frac{1}{4 \pi} \int \big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi),

D^i(f_{\alpha \psi}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i (\big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi)),

Q^{ij}(f_{\alpha \psi}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j (\big( 2 \pi (E^* + 2S^*) \psi^{-2} + \frac{7}{8} (f_{il} f_{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij} ) \psi^{-8} \big) (\alpha \psi))

\mathcal{M}(\Delta^{-1} f_{\alpha \psi}) = + O()

5.- \boxed{\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij})) } con \Theta_\beta := \mathcal{D}_i \beta^i

Para esta ecuación, f_{\Theta_\beta}:=\frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij}))

M(f_{\Theta_\beta}) = - \frac{1}{4 \pi} \int \frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij})),

D^i(f_{\Theta_\beta}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i \frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij})),

Q^{ij}(f_{\Theta_\beta}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j \frac{3}{4}\mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j(2\alpha \psi^{-6}\hat{A}^{ij}))

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_{\Theta_\beta}) = + O()

6.- \boxed{\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta}

Finalmente, tenemos f_{\beta^i}:=\mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta

M(f_{\beta^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int \mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta,

D^i(f_{\beta^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i (\mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta),

Q^{ij}(f_{\beta^i}) = - \frac{1}{4 \pi} \int x^i x^j (\mathcal{D}_j(2\alpha\psi^{-6}\hat{A}^{ij})-\frac{1}{3}\mathcal{D}^i \Theta_\beta)

\mathcal{M}(\Delta^{-1}f_{\beta^i}) = + O()

Para empezar, vamos a calcular numéricamente, y en mecánica clásica,  el campo creado por una partícula con masa en el espacio.

Si colocamos las fronteras de nuestro dominio \Omega \in \mathbb{R}^3 lo suficientemente lejos, el cálculo del potencial gravitatorio se reduce a resolver la ecuación de Poisson

\Delta u(x,y,z) = 4 \pi G \rho(x,y,z) si (x,y,z) \in \Omega

con

u(\bar{x},\bar{y},\bar{z}) = 0 si (\bar{x},\bar{y},\bar{z}) \in \partial \Omega,

y donde \rho(x,y,z) es la densidad de masa.

Aunque en estos casos tenemos solución analítica utilizando la función de Green, vamos a calcularla numéricamente utilizando Chombo, y mediante superposición, extenderlo a un sistema de masas puntuales.

Para empezar con la aproximación, utilizaremos gaussianas para simular las funciones \delta correspondientes a la distribución de masa puntual (mas similares a una \delta cuanto mas estrechas sean).

A continuación, colocaremos una partícula en el centro de un cubo y utilizaremos un malla adaptativa, definida manualmente (aunque Chombo también capaz de hacerlo automáticamente), que se hará mas fina a medida que se acerque a la misma. Esto permitirá tener resolución y tiempo de cálculo donde realmente se necesita:

masPun1masPun2

Colocamos fronteras Dirichlet homogeneas, y ejecutamos. El resultado es:

masPunSol1

que, al ser tridimensional, cuesta un poco de ver. Básicamente, es un campo con simétria esférica. A continuación cortamos con un plano por el centro del campo

masPunSol2masPunSol2b masPunSol2c

y lo elevamos, pues es campo gravitatorio se puede pensar como una curvatura 🙂

masPunSol3b masPunSol3

Suponemos ahora dos masas puntuales y procedemos de la misma manera. El tamaño de la partícula representa su masa.

2masPunSol1

Como se puede apreciar, hemos añadido un poco mas de resolución en la parte de la partícula mas masiva. Lo que obtenemos es (en 3D y en corte):

Finalmente, si elevamos los cortes, obtenemos:

2masPunSol3 2masPunSol3b

Finalmente, algunas gráficas correspondientes a dos nuevos casos en los que separo cada vez mas las partículas:

En el libro de Análisis numérico de Burden y Faires aparecen una serie de ejemplos y ejercicios resueltos de PDEs elípticas en 2D. Vamos a intentar resolverlos utilizando Chombo…

La primera ecuación corresponde con un ejemplo y es

\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y) = 0

en

\Omega = \{ (x,y): 0<x<0.5, 0<y<0.5\}

y cuyas condiciones en la frontera \partial \Omega son

u(x,0)=0, u(0,y)=0, u(x,0.5)=200x, u(0.5,y)=200y.

El resultado es:

ejeM1

Para el ejercicio 12.1.1

u_{xx} + u_{yy} = 4

en

\Omega = \{ (x,y): 0<x<1, 0<y<2\}

y cuyas condiciones en la frontera \partial \Omega son

u(x,0)=x^2, u(0,y)=y^2, u(x,2)=(x-2)^2, u(1,y)=(y-1)^2.

El resultado es:

ejeR1

A continuación, para el 12.1.3.a

u_{xx} + u_{yy} = 0

en

\Omega = \{ (x,y): 0<x<1, 0<y<1\}

y cuyas condiciones en la frontera \partial \Omega son

u(x,0)=0, u(0,y)=0, u(x,1)=x, u(1,y)=y.

El resultado es:

ejeR3a

En el 12.1.3.b encontramos

\Delta u = -(\cos(x+y)+\cos(x-y))

en

\Omega = \{ (x,y): 0<x<\pi, 0<y<\frac{\pi}{2}\}

y

u(x,0)=\cos x , u(0,y)=\cos y, u(x,\frac{\pi}{2})=0, u(\pi,y)=-\cos y,

obteniendo:

 ejeR3b ejeR3b2

El software Chombo, del Berkeley Lab, combina los métodos en diferencias finitas con las mallas adaptativas (AMR) para resolver, entre otras, PDEs elípticas.

Las siguientes imágenes, en 2D y 3D, se han obtenido a partir de su AMRPoisson:

schSolSouschSol

A la hora de resolver las diferentes ecuaciones elípticas CFC tenemos dos posibilidades para fijar las condiciones en la frontera, cada una con sus mas y sus menos.

La primera consiste en hacer un desarrollo multipolar de los terminos fuente en armónicos esféricos, de manera que cuantos mas términos consideremos mas cerca podremos colocar la frontera.

La segunda consiste en compactificar el dominio, lo que nos permite reducir todo el universo a un cubo unidad y considerar Minkowski en su frontera, puesto que ésta corresponde a infinito.

En la discretización que hicimos teníamos dos sistemas acoplados, uno para las X^i y otro para las \beta^i. Procedemos ahora a desacoplarlos.

Para empezar, tomamos la divergencia (plana) del sistema:

\Delta X^i = 8 \pi f^{ij} S^*_j - \frac{1}{3}\mathcal{D}^i \mathcal{D}_j X^j

y, teniendo en cuenta que \mathcal{D} conmuta con \Delta (métrica plana), tenemos:

\Delta (\mathcal{D}_i X^i) = 8 \pi \mathcal{D}^j S^*_j - \frac{1}{3} \Delta (\mathcal{D}_j X^j),

por lo que:

\Delta (\mathcal{D}_i X^i) = \frac{3}{4} 8 \pi \mathcal{D}^j S^*_j.

De esta manera, si definimos \Theta_X := \mathcal{D}_i X^i, nos queda:

\Delta \Theta_X = \frac{3}{4} 8 \pi \mathcal{D}^j S^*_j = 6 \pi (\partial_x S^*_x + \partial_y S^*_y +\partial_z S^*_z ),

que discretizado queda:

\frac{(\Theta_X)_{i-1,j,k}-2(\Theta_X)_{i,j,k}+(\Theta_X)_{i+1,j,k}}{h_x^2} +

\frac{(\Theta_X)_{i,j-1,k}-2(\Theta_X)_{i,j,k}+(\Theta_X)_{i,j+1,k}}{h_y^2} +

\frac{(\Theta_X)_{i,j,k-1}-2(\Theta_X)_{i,j,k}+(\Theta_X)_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

= 6 \pi (\partial_x S^*_x + \partial_y S^*_y +\partial_z S^*_z )_{i,j,k} ,

donde inicialmente:

(S^*_a)_{i,j,k} = (\psi^6)_{i,j,k}\rho_{i,j,k}h_{i,j,k}w^2_{i,j,k}(v_a)_{i,j,k},

(\partial_x S^*_x + \partial_y S^*_y +\partial_z S^*_z )_{i,j,k} =

\frac{(S^*_x)_{i+1,j,k}-(S^*_x)_{i-1,j,k}}{2h_x} + \frac{(S^*_x)_{i,j+1,k}-(S^*_x)_{i,j-1,k}}{2h_y} + \frac{(S^*_x)_{i,j,k+1}-(S^*_x)_{i,j,k-1}}{2h_z}

y que es lineal.

El primer sistema acoplado de ecuaciones quedaría ahora:

\partial_{xx} X^x + \partial_{yy} X^x + \partial_{zz} X^x = 8 \pi S^*_x - \frac{1}{3} \partial_x \Theta_X \approx

\approx \frac{X^x_{i-1,j,k}-2X^x_{i,j,k}+X^x_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{X^x_{i,j-1,k}-2X^x_{i,j,k}+X^x_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{X^x_{i,j,k-1}-2X^x_{i,j,k}+X^x_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

= 8 \pi (S^*_x)_{i,j,k} - \frac{1}{3} (\partial_x \Theta_X)_{i,j,k},

¡que vuelve a ser lineal!

Continuamos con:

\partial_{xx} X^y + \partial_{yy} X^y + \partial_{zz} X^y = 8 \pi S^*_y - \frac{1}{3} \partial_y \Theta_X \approx

\approx \frac{X^y_{i-1,j,k}-2X^y_{i,j,k}+X^y_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{X^y_{i,j-1,k}-2X^y_{i,j,k}+X^y_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{X^y_{i,j,k-1}-2X^y_{i,j,k}+X^y_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

= 8 \pi (S^*_y)_{i,j,k} - \frac{1}{3} (\partial_y \Theta_X)_{i,j,k}

y, finalmente:

\partial_{xx} X^z + \partial_{yy} X^z + \partial_{zz} X^z = 8 \pi S^*_z - \frac{1}{3} \partial_z \Theta_X \approx

\approx \frac{X^z_{i-1,j,k}-2X^z_{i,j,k}+X^z_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{X^z_{i,j-1,k}-2X^z_{i,j,k}+X^z_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{X^z_{i,j,k-1}-2X^z_{i,j,k}+X^z_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

= 8 \pi (S^*_z)_{i,j,k} - \frac{1}{3} (\partial_z \Theta_X)_{i,j,k},

donde calculamos al principio:

(\partial_x \Theta_X)_{i,j,k} = \frac{(\Theta_X)_{i+1,j,k}-(\Theta_X)_{i-1,j,k}}{2h_x}

(\partial_y \Theta_X)_{i,j,k} = \frac{(\Theta_X)_{i,j+1,k}-(\Theta_X)_{i,j-1,k}}{2h_y}

(\partial_z \Theta_X)_{i,j,k} = \frac{(\Theta_X)_{i,j,k+1} - (\Theta_X)_{i,j,k-1}}{2h_z}

A continuación, discretizamos las siguientes ecuaciones:

\hat{A}^{xx} = 2 \partial_x X^x - \frac{2}{3} (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z) \approx

\approx \frac{2}{3}\frac{X^x_{i+1,j,k}-X^x_{i-1,j,k}}{h_x} -\frac{1}{3} \frac{X^y_{i,j+1,k}-X^y_{i,j-1,k}}{h_y} - \frac{1}{3} \frac{X^z_{i,j,k+1}-X^z_{i,j,k-1}}{h_z}) = \hat{A}^{xx}_{i,j,k},

\hat{A}^{xy} = \hat{A}^{yx}= \partial_x X^y + \partial_y X^x \approx

\approx \frac{X^y_{i+1,j,k}-X^y_{i-1,j,k}}{2h_x} + \frac{X^x_{i,j+1,k}-X^x_{i,j-1,k}}{2h_y} = \hat{A}^{xy}_{i,j,k} = \hat{A}^{yx}_{i,j,k},

\hat{A}^{xz} = \hat{A}^{zx} = \partial_x X^z + \partial_z X^x \approx

\approx \frac{X^z_{i+1,j,k}-X^z_{i-1,j,k}}{2h_x} + \frac{X^x_{i,j,k+1}-X^x_{i,j,k-1}}{2h_z} = \hat{A}^{xz}_{i,j,k} = \hat{A}^{zx}_{i,j,k},

\hat{A}^{yy} = 2 \partial_y X^y - \frac{2}{3} (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z) \approx

\approx -\frac{1}{3}\frac{X^x_{i+1,j,k}-X^x_{i-1,j,k}}{h_x} +\frac{2}{3} \frac{X^y_{i,j+1,k}-X^y_{i,j-1,k}}{h_y} - \frac{1}{3} \frac{X^z_{i,j,k+1}-X^z_{i,j,k-1}}{h_z}) = \hat{A}^{yy}_{i,j,k},

\hat{A}^{yz} = \hat{A}^{zy} = \partial_y X^z + \partial_z X^y \approx

\approx \frac{X^z_{i,j+1,k}-X^z_{i,j-1,k}}{2h_y} + \frac{X^y_{i,j,k+1}-X^y_{i,j,k-1}}{2h_z} = \hat{A}^{yz}_{i,j,k} = \hat{A}^{zy}_{i,j,k},

\hat{A}^{zz} = 2 \partial_z X^z - \frac{2}{3} (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z) \approx

\approx -\frac{1}{3}\frac{X^x_{i+1,j,k}-X^x_{i-1,j,k}}{h_x} -\frac{1}{3} \frac{X^y_{i,j+1,k}-X^y_{i,j-1,k}}{h_y} + \frac{2}{3} \frac{X^z_{i,j,k+1}-X^z_{i,j,k-1}}{h_z}) = \hat{A}^{zz}_{i,j,k}.

Por tanto, la siguiente ecuación:

\Delta \psi = -2 \pi \psi^{-1} E^* - \psi^{-7} \frac{(\hat{A}^{xx})^2+(\hat{A}^{yy})^2+(\hat{A}^{zz})^2+2(\hat{A}^{xy})^2+2(\hat{A}^{xz})^2+2(\hat{A}^{yz})^2}{8}

queda:

\approx \frac{\psi_{i-1,j,k}-2\psi_{i,j,k}+\psi_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{\psi_{i,j-1,k}-2\psi_{i,j,k}+\psi_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{\psi_{i,j,k-1}-2\psi_{i,j,k}+\psi_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

=-2 \pi \psi^{-1}_{i,j,k} E^*_{i,j,k} -

- \frac{\psi^{-7}_{i,j,k}}{8} ( (\hat{A}^{xx}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{yy}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{zz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xy}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{yz}_{i,j,k})^2 ) ,

con:

\partial_{\psi_{i,j,k}} F(\psi_{i,j,k}) = -2 ( \frac{1}{h_x^2} + \frac{1}{h_y^2} + \frac{1}{h_z^2} ) -2 \pi \psi_{i,j,k}^{-2} E^*_{i,j,k} -

- \frac{7}{8} \psi^{-8}_{i,j,k} ( (\hat{A}^{xx}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{yy}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{zz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xy}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{yz}_{i,j,k})^2 ),

donde:

E^*_{i,j,k} = \psi^{6}_{i,j,k} (D_{i,j,k}+\tau_{i,j,k})

y la ecuación:

\Delta (\alpha\psi) = (\alpha \psi) (2 \pi \psi^{-2} (E^*+2S^*) +

+ \frac{7}{8} \psi^{-8} ((\hat{A}^{xx})^2+(\hat{A}^{yy})^2+(\hat{A}^{zz})^2+2(\hat{A}^{xy})^2+2(\hat{A}^{xz})^2+2(\hat{A}^{yz})^2) )

como:

\approx \frac{(\alpha\psi)_{i-1,j,k} - 2(\alpha\psi)_{i,j,k}+(\alpha\psi)_{i+1,j,k}}{h_x^2} +

+ \frac{(\alpha\psi)_{i,j-1,k}-2(\alpha\psi)_{i,j,k}+(\alpha\psi)_{i,j+1,k}}{h_y^2} +

+ \frac{(\alpha\psi)_{i,j,k-1}-2(\alpha\psi)_{i,j,k}+(\alpha\psi)_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

= (\alpha \psi)_{i,j,k} (2 \pi \psi^{-2}_{i,j,k} (E^*_{i,j,k}+2S^*_{i,j,k}) +

+ \frac{7}{8} \psi^{-8}_{i,j,k} ((\hat{A}^{xx}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{yy}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{zz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xy}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{yz}_{i,j,k})^2) ),

donde:

\partial_{(\alpha \psi)_{i,j,k}} F((\alpha \psi)_{i,j,k}) = -2 ( \frac{1}{h_x^2} + \frac{1}{h_y^2} + \frac{1}{h_z^2} ) - 2 \pi \psi^{-2}_{i,j,k} (E^*_{i,j,k}+2S^*_{i,j,k}) +

- \frac{7}{8} \psi^{-8}_{i,j,k} ((\hat{A}^{xx}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{yy}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{zz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xy}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{yz}_{i,j,k})^2) )

con:

S^*_{i,j,k} = \psi^6_{i,j,k}(\rho_{i,j,k}h_{i,j,k}(w^2_{i,j,k}-1) + 3 p_{i,j,k}).

Finalmente, tenemos el otro sistema acoplado:

\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j(2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i(\mathcal{D}_j \beta^j),

con el que procedemos de igual manera que con las X^i:

\Delta(\mathcal{D}_i \beta^i) = \mathcal{D}_i (\mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij})) - \frac{1}{3} \Delta (\mathcal{D}_i \beta^i),

de manera que:

\Delta \Theta_\beta = \frac{3}{4} \mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij})) =

\frac{3}{2}(\partial_{xx}(\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xx}) + \partial_{yy}(\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yy}) + \partial_{zz}(\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zz}),

con:

\Theta_\beta := \mathcal{D}_i \beta^i,

que discretizada queda:

\frac{(\Theta_\beta)_{i-1,j,k}-2(\Theta_\beta)_{i,j,k}+(\Theta_\beta)_{i+1,j,k}}{h_x^2} +

\frac{(\Theta_\beta)_{i,j-1,k}-2(\Theta_\beta)_{i,j,k}+(\Theta_\beta)_{i,j+1,k}}{h_y^2} +

\frac{(\Theta_\beta)_{i,j,k-1}-2(\Theta_\beta)_{i,j,k}+(\Theta_\beta)_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

\frac{3}{2}((\partial_{xx}(\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xx}))_{i,j,k} + (\partial_{yy}(\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yy}))_{i,j,k} + (\partial_{zz}(\alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zz})_{i,j,k}),

De esta manera, tenemos:

\Delta \beta^x = \partial_x (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xx}) + \partial_y (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xy}) + \partial_z (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xz}) - \frac{1}{3} \partial_x \Theta_\beta \approx

\approx \frac{\beta^x_{i-1,j,k}-2\beta^x_{i,j,k}+\beta^x_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{\beta^x_{i,j-1,k}-2\beta^x_{i,j,k}+\beta^x_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{\beta^x_{i,j,k-1}-2\beta^x_{i,j,k}+\beta^x_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

= (\partial_x (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xx}))_{i,j,k} + (\partial_y (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xy}))_{i,j,k} + (\partial_z (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xz}) )_{i,j,k} -

- \frac{1}{3} (\partial_x \Theta_\beta)_{i,j,k}.

De la misma manera:

\Delta \beta^y = \partial_x (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yx}) + \partial_y (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yy}) + \partial_z (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yz}) - \frac{1}{3} \partial_y \Theta_\beta \approx

\approx \frac{\beta^y_{i-1,j,k}-2\beta^y_{i,j,k}+\beta^y_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{\beta^y_{i,j-1,k}-2\beta^y_{i,j,k}+\beta^y_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{\beta^y_{i,j,k-1}-2\beta^y_{i,j,k}+\beta^y_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

= (\partial_x (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yx}))_{i,j,k} + (\partial_y (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yy}))_{i,j,k} + (\partial_z (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yz}) )_{i,j,k} -

- \frac{1}{3} (\partial_y \Theta_\beta)_{i,j,k}.

Y, por último:

\Delta \beta^z = \partial_x (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zx}) + \partial_y (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zy}) + \partial_z (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zz}) - \frac{1}{3} \partial_z \Theta_\beta \approx

\approx \frac{\beta^z_{i-1,j,k}-2\beta^z_{i,j,k}+\beta^z_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{\beta^z_{i,j-1,k}-2\beta^z_{i,j,k}+\beta^z_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{\beta^z_{i,j,k-1}-2\beta^z_{i,j,k}+\beta^z_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

= (\partial_x (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zx}))_{i,j,k} + (\partial_y (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zy}))_{i,j,k} + (\partial_z (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zz}) )_{i,j,k} -

- \frac{1}{3} (\partial_z \Theta_\beta)_{i,j,k}.

Parece que, del sistema no lineal acoplado inicial, hemos llegado a un sistema de diez ecuaciones desacopladas donde ocho de ellas son lineales y solo dos son no linales. No pinta mal. Ya escribiremos próximamente sobre las condiciones de contorno…

Hace un tiempo estuve trabajando con autómatas celulares y tengo ganas de compartir algunas cosas interesantes de estos, aunque ahora ando un poco escaso de tiempo…

Para empezar a abrir boca, un enlace al artículo original de John von Neumann “Theory of Self-Reproducing Automata” y otros dos a la wikipedia: la definición de lo que son y el ya clásico juego de la vida.

Al resolver mediante diferencias finitas PDEs lo que estamos haciendo, de alguna manera, es poner en marcha un pseudoautómata celular que lo hace. Me interesa explorar sus generalizaciones: del estado, de la función de transición (como podemos encontrarlas, por ejemplo a partir de algoritmos genéticos), de la vecindad (trabajar con vecinos no contíguos),…

Por cierto, el record del Bounded gaps between primes podría estar ya en 6966, por lo que hemos rebajado el problema en 4 ordenes de magnitud (Iniciamos el viaje en 70,000,000 y habría que llegar a 2 para demostrar la conjetura de los números primos gemelos). Ya queda menos :-).

Algunas imagenes VisIt resultantes de interpolaciones entre mallas esféricas y mallas cartesianas de componentes de la métrica en el formalismo 3+1:

  • \beta^z (pseudocolor):
  • \alpha (contour):

alphaSphCar

Una nueva imagen curiosa del error en la resolución numérica de una Poisson 2d utilizando multigrid…

caraError2d

Vamos a discretizar las ecuaciones que comentamos en este post. Para ello, discretizaremos las derivadas de la siguiente manera:

\partial_x u = \frac{u_{i+1,j,k}-u_{i-1,j,k}}{2h_x},

\partial_y u = \frac{u_{i,j+1,k}-u_{i,j-1,k}}{2h_y},

\partial_z u = \frac{u_{i,j,k+1}-u_{i,j,k-1}}{2h_z},

\partial_{xx} u = \frac{u_{i-1,j,k}-2u_{i,j,k}+u_{i+1,j,k}}{h_x^2},

\partial_{yy} u = \frac{u_{i,j-1,k}-2u_{i,j,k}+u_{i,j+1,k}}{h_y^2},

\partial_{zz} u = \frac{u_{i,j,k-1}-2u_{i,j,k}+u_{i,j,k+1}}{h_z^2},

\partial_{xy} u = \frac{u_{i-1,j-1,k}-u_{i+1,j-1,k}-u_{i-1,j+1,k}+u_{i+1,j+1,k}}{4h_xh_y},

\partial_{xz} u = \frac{u_{i-1,j,k-1}-u_{i+1,j,k-1}-u_{i-1,j,k+1}+u_{i+1,j,k+1}}{4h_xh_z},

\partial_{yz} u = \frac{u_{i,j-1,k-1}-u_{i,j+1,k-1}-u_{i,j-1,k+1}+u_{i,j+1,k+1}}{4h_yh_z}.

El primer grupo de ecuaciones quedaría:

\partial_{xx} X^x + \partial_{yy} X^x + \partial_{zz} X^x = 8 \pi \psi^6 \rho h w^2 v_x - \frac{1}{3} \partial_x (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z) \approx

\approx \frac{X^x_{i-1,j,k}-2X^x_{i,j,k}+X^x_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{X^x_{i,j-1,k}-2X^x_{i,j,k}+X^x_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{X^x_{i,j,k-1}-2X^x_{i,j,k}+X^x_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

= 8 \pi \psi^6_{i,j,k} \rho_{i,j,k} h_{i,j,k} w^2_{i,j,k} v_{x_{i,j,k}} - \frac{1}{3} ( \frac{X^x_{i-1,j,k}-2X^x_{i,j,k}+X^x_{i+1,j,k}}{h_x^2} +

+ \frac{X^y_{i-1,j-1,k}-X^y_{i+1,j-1,k}-X^y_{i-1,j+1,k}+X^y_{i+1,j+1,k}}{4h_xh_y} +

+ \frac{X^z_{i-1,j,k-1}-X^z_{i+1,j,k-1}-X^z_{i-1,j,k+1}+X^z_{i+1,j,k+1}}{4h_xh_z} ),

y además, para los esquemas de relajación no lineales, reescribimos la igualdad anterior como F(X^x_{i,j,k})=0 y entonces tenemos:

\partial_{X^x_{i,j,k}} F(X^x_{i,j,k}) = -2 ( \frac{4}{3}\frac{1}{h_x^2} + \frac{1}{h_y^2} + \frac{1}{h_z^2}).

\partial_{xx} X^y + \partial_{yy} X^y + \partial_{zz} X^y = 8 \pi \psi^6 \rho h w^2 v_y - \frac{1}{3} \partial_y (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z) \approx

\approx \frac{X^y_{i-1,j,k}-2X^y_{i,j,k}+X^y_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{X^y_{i,j-1,k}-2X^y_{i,j,k}+X^y_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{X^y_{i,j,k-1}-2X^y_{i,j,k}+X^y_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

= 8 \pi \psi^6_{i,j,k} \rho_{i,j,k} h_{i,j,k} w^2_{i,j,k} v_{y_{i,j,k}} - \frac{1}{3} ( \frac{X^x_{i-1,j-1,k}-X^x_{i+1,j-1,k}-X^x_{i-1,j+1,k}+X^x_{i+1,j+1,k}}{4h_xh_y} +

+ \frac{X^y_{i,j-1,k}-2X^y_{i,j,k}+X^y_{i,j+1,k}}{h_y^2} +

+ \frac{X^z_{i-1,j,k-1}-X^z_{i+1,j,k-1}-X^z_{i-1,j,k+1}+X^z_{i+1,j,k+1}}{4h_yh_z} ),

con:

\partial_{X^y_{i,j,k}} F(X^y_{i,j,k}) = -2 ( \frac{1}{h_x^2} +\frac{4}{3} \frac{1}{h_y^2} + \frac{1}{h_z^2}).

\partial_{xx} X^z + \partial_{yy} X^z + \partial_{zz} X^z = 8 \pi \psi^6 \rho h w^2 v_z - \frac{1}{3} \partial_z (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z) \approx

\approx \frac{X^z_{i-1,j,k}-2X^z_{i,j,k}+X^z_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{X^z_{i,j-1,k}-2X^z_{i,j,k}+X^z_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{X^z_{i,j,k-1}-2X^z_{i,j,k}+X^z_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

= 8 \pi \psi^6_{i,j,k} \rho_{i,j,k} h_{i,j,k} w^2_{i,j,k} v_{z_{i,j,k}} - \frac{1}{3} ( \frac{X^x_{i-1,j,k-1}-X^x_{i+1,j,k-1}-X^x_{i-1,j,k+1}+X^x_{i+1,j,k+1}}{4h_xh_z} +

+ \frac{X^y_{i,j-1,k-1}-X^y_{i,j+1,k-1}-X^y_{i,j-1,k+1}+X^y_{i,j+1,k+1}}{4h_yh_z} )

+ \frac{X^z_{i,j,k-1}-2X^z_{i,j,k}+X^z_{i,j,k+1}}{h_z^2}

con:

\partial_{X^z_{i,j,k}} = F(X^z_{i,j,k}) = -2 ( \frac{1}{h_x^2} + \frac{1}{h_y^2} + \frac{4}{3} \frac{1}{h_z^2}).

A continuación, discretizamos las siguientes ecuaciones:

\hat{A}^{xx} = 2 \partial_x X^x - \frac{2}{3} (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z) \approx

\approx \frac{2}{3}\frac{X^x_{i+1,j,k}-X^x_{i-1,j,k}}{h_x} -\frac{1}{3} \frac{X^y_{i,j+1,k}-X^y_{i,j-1,k}}{h_y} - \frac{1}{3} \frac{X^z_{i,j,k+1}-X^z_{i,j,k-1}}{h_z}) = \hat{A}^{xx}_{i,j,k},

\hat{A}^{xy} = \hat{A}^{yx}= \partial_x X^y + \partial_y X^x \approx

\approx \frac{X^y_{i+1,j,k}-X^y_{i-1,j,k}}{2h_x} + \frac{X^x_{i,j+1,k}-X^x_{i,j-1,k}}{2h_y} = \hat{A}^{xy}_{i,j,k} = \hat{A}^{yx}_{i,j,k},

\hat{A}^{xz} = \hat{A}^{zx} = \partial_x X^z + \partial_z X^x \approx

\approx \frac{X^z_{i+1,j,k}-X^z_{i-1,j,k}}{2h_x} + \frac{X^x_{i,j,k+1}-X^x_{i,j,k-1}}{2h_z} = \hat{A}^{xz}_{i,j,k} = \hat{A}^{zx}_{i,j,k},

\hat{A}^{yy} = 2 \partial_y X^y - \frac{2}{3} (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z) \approx

\approx -\frac{1}{3}\frac{X^x_{i+1,j,k}-X^x_{i-1,j,k}}{h_x} +\frac{2}{3} \frac{X^y_{i,j+1,k}-X^y_{i,j-1,k}}{h_y} - \frac{1}{3} \frac{X^z_{i,j,k+1}-X^z_{i,j,k-1}}{h_z}) = \hat{A}^{yy}_{i,j,k},

\hat{A}^{yz} = \hat{A}^{zy} = \partial_y X^z + \partial_z X^y \approx

\approx \frac{X^z_{i,j+1,k}-X^z_{i,j-1,k}}{2h_y} + \frac{X^y_{i,j,k+1}-X^y_{i,j,k-1}}{2h_z} = \hat{A}^{yz}_{i,j,k} = \hat{A}^{zy}_{i,j,k},

\hat{A}^{zz} = 2 \partial_z X^z - \frac{2}{3} (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z) \approx

\approx -\frac{1}{3}\frac{X^x_{i+1,j,k}-X^x_{i-1,j,k}}{h_x} -\frac{1}{3} \frac{X^y_{i,j+1,k}-X^y_{i,j-1,k}}{h_y} + \frac{2}{3} \frac{X^z_{i,j,k+1}-X^z_{i,j,k-1}}{h_z}) = \hat{A}^{zz}_{i,j,k}.

Por tanto, la siguiente ecuación:

\Delta \psi = -2 \pi \psi^{-1} (D + \tau) - \psi^{-7} \frac{(\hat{A}^{xx})^2+(\hat{A}^{yy})^2+(\hat{A}^{zz})^2+2(\hat{A}^{xy})^2+2(\hat{A}^{xz})^2+2(\hat{A}^{yz})^2}{8}

queda:

\approx \frac{\psi_{i-1,j,k}-2\psi_{i,j,k}+\psi_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{\psi_{i,j-1,k}-2\psi_{i,j,k}+\psi_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{\psi_{i,j,k-1}-2\psi_{i,j,k}+\psi_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

=-2 \pi \psi^{-1}_{i,j,k} (D_{i,j,k}+\tau_{i,j,k}) -

- \frac{\psi^{-7}_{i,j,k}}{8} ( (\hat{A}^{xx}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{yy}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{zz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xy}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{yz}_{i,j,k})^2 ) ,

con:

\partial_{\psi_{i,j,k}} F(\psi_{i,j,k}) = -2 ( \frac{1}{h_x^2} + \frac{1}{h_y^2} + \frac{1}{h_z^2} ) -2 \pi \psi_{i,j,k}^{-2} (D_{i,j,k}+\tau_{i,j,k}) -

- \frac{7}{8} \psi^{-8}_{i,j,k} ( (\hat{A}^{xx}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{yy}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{zz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xy}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{yz}_{i,j,k})^2 ).

y la ecuación:

\Delta (\alpha\psi) = 2 \pi (\alpha\psi)^{-1} ( D + \tau + 2 \rho h (w^2-1) + 6 p) +

+ \frac{7}{8} (\alpha \psi)^{-7} ((\hat{A}^{xx})^2+(\hat{A}^{yy})^2+(\hat{A}^{zz})^2+2(\hat{A}^{xy})^2+2(\hat{A}^{xz})^2+2(\hat{A}^{yz})^2)

como:

\approx \frac{(\alpha\psi)_{i-1,j,k} - 2(\alpha\psi)_{i,j,k}+(\alpha\psi)_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{(\alpha\psi)_{i,j-1,k}-2(\alpha\psi)_{i,j,k}+(\alpha\psi)_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{(\alpha\psi)_{i,j,k-1}-2(\alpha\psi)_{i,j,k}+(\alpha\psi)_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

=2 \pi (\alpha\psi)_{i,j,k}^{-1} (D_{i,j,k}+\tau_{i,j,k} + 2 \rho_{i,j,k} h_{i,j,k} (w^2_{i,j,k}-1)+6p_{i,j,k}) +

+ \frac{7}{8}(\alpha\psi)_{i,j,k}^{-7} ( (\hat{A}^{xx}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{yy}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{zz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xy}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{yz}_{i,j,k})^2 ) ,

donde:

\partial_{\psi\alpha_{i,j,k}} F(\psi\alpha_{i,j,k}) = -2 ( \frac{1}{h_x^2} + \frac{1}{h_y^2} + \frac{1}{h_z^2} ) +

+ 2 \pi (\psi\alpha)_{i,j,k}^{-2} (D_{i,j,k}+\tau_{i,j,k} + 2 \rho_{i,j,k} h_{i,j,k} (w^2_{i,j,k}-1)+6p_{i,j,k}) -

+ \frac{49}{8} (\psi\alpha)_{i,j,k}^{-8} ( (\hat{A}^{xx}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{yy}_{i,j,k})^2+(\hat{A}^{zz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xy}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{xz}_{i,j,k})^2+2(\hat{A}^{yz}_{i,j,k})^2 ).

Finalmente, tenemos:

\Delta \beta^x = \partial_x (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xx}) + \partial_y (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xy}) + \partial_z (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{xz}) -

- \frac{1}{3} \partial_x (\partial_x \beta^x + \partial_y \beta^y + \partial_z \beta^z) \approx

\approx \frac{\beta^x_{i-1,j,k}-2\beta^x_{i,j,k}+\beta^x_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{\beta^x_{i,j-1,k}-2\beta^x_{i,j,k}+\beta^x_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{\beta^x_{i,j,k-1}-2\beta^x_{i,j,k}+\beta^x_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

= \frac{(\alpha \psi)_{i+1,j,k}^{-6} \hat{A}_{i+1,j,k}^{xx} - (\alpha \psi)_{i-1,j,k}^{-6} \hat{A}_{i-1,j,k}^{xx}}{h_x} +

+ \frac{(\alpha \psi)_{i,j+1,k}^{-6} \hat{A}_{i,j+1,k}^{xy} - (\alpha \psi)_{i,j-1,k}^{-6} \hat{A}_{i,j-1,k}^{xy}}{h_y} +

+ \frac{(\alpha \psi)_{i,j,k+1}^{-6} \hat{A}_{i,j,k+1}^{xz} - (\alpha \psi)_{i,j,k-1}^{-6} \hat{A}_{i,j,k-1}^{xz}}{h_z} -

- \frac{1}{3} ( \frac{\beta^x_{i-1,j,k}-2\beta^x_{i,j,k}+\beta^x_{i+1,j,k}}{h_x^2} +

+ \frac{\beta^y_{i-1,j-1,k}-\beta^y_{i+1,j-1,k}-\beta^y_{i-1,j+1,k}+\beta^y_{i+1,j+1,k}}{4 h_x h_y} +

+ \frac{\beta^z_{i-1,j,k-1}-\beta^z_{i+1,j,k-1}-\beta^z_{i-1,j,k+1}+\beta^z_{i+1,j,k+1}}{4 h_x h_z} ,

con:

\partial_{\beta^x_{i,j,k}} F(\beta^x_{i,j,k}) = -2 ( \frac{4}{3}\frac{1}{h_x^2} + \frac{1}{h_y^2} + \frac{1}{h_z^2}),

\Delta \beta^y = \partial_x (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yx}) + \partial_y (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yy}) + \partial_z (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{yz}) -

- \frac{1}{3} \partial_y (\partial_x \beta^x + \partial_y \beta^y + \partial_z \beta^z) \approx

\approx \frac{\beta^y_{i-1,j,k}-2\beta^y_{i,j,k}+\beta^y_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{\beta^y_{i,j-1,k}-2\beta^y_{i,j,k}+\beta^y_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{\beta^y_{i,j,k-1}-2\beta^y_{i,j,k}+\beta^y_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

= \frac{(\alpha \psi)_{i+1,j,k}^{-6} \hat{A}_{i+1,j,k}^{yx} - (\alpha \psi)_{i-1,j,k}^{-6} \hat{A}_{i-1,j,k}^{yx}}{h_x} +

+ \frac{(\alpha \psi)_{i,j+1,k}^{-6} \hat{A}_{i,j+1,k}^{yy} - (\alpha \psi)_{i,j-1,k}^{-6} \hat{A}_{i,j-1,k}^{yy}}{h_y} +

+ \frac{(\alpha \psi)_{i,j,k+1}^{-6} \hat{A}_{i,j,k+1}^{yz} - (\alpha \psi)_{i,j,k-1}^{-6} \hat{A}_{i,j,k-1}^{yz}}{h_z} -

- \frac{1}{3} ( \frac{\beta^x_{i-1,j-1,k}-\beta^x_{i+1,j-1,k}-\beta^x_{i-1,j+1,k}+\beta^x_{i+1,j+1,k}}{4h_xh_y} +

+ \frac{\beta^y_{i,j-1,k}-2\beta^y_{i,j,k}+\beta^y_{i,j+1,k}}{h_y^2} +

+ \frac{\beta^z_{i-1,j,k-1}-\beta^z_{i+1,j,k-1}-\beta^z_{i-1,j,k+1}+\beta^z_{i+1,j,k+1}}{4h_yh_z} ),

con:

\partial_{\beta^y_{i,j,k}} F(\beta^y_{i,j,k}) = -2 ( \frac{1}{h_x^2} + \frac{4}{3} \frac{1}{h_y^2} + \frac{1}{h_z^2}),

\Delta \beta^z = \partial_x (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zx}) + \partial_y (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zy}) + \partial_z (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{zz}) -

- \frac{1}{3} \partial_z (\partial_x \beta^x + \partial_y \beta^y + \partial_z \beta^z) \approx

\approx \frac{\beta^z_{i-1,j,k}-2\beta^z_{i,j,k}+\beta^z_{i+1,j,k}}{h_x^2} + \frac{\beta^z_{i,j-1,k}-2\beta^z_{i,j,k}+\beta^z_{i,j+1,k}}{h_y^2} + \frac{\beta^z_{i,j,k-1}-2\beta^z_{i,j,k}+\beta^z_{i,j,k+1}}{h_z^2} =

= \frac{(\alpha \psi)_{i+1,j,k}^{-6} \hat{A}_{i+1,j,k}^{zx} - (\alpha \psi)_{i-1,j,k}^{-6} \hat{A}_{i-1,j,k}^{zx}}{h_x} +

+ \frac{(\alpha \psi)_{i,j+1,k}^{-6} \hat{A}_{i,j+1,k}^{zy} - (\alpha \psi)_{i,j-1,k}^{-6} \hat{A}_{i,j-1,k}^{zy}}{h_y} +

+ \frac{(\alpha \psi)_{i,j,k+1}^{-6} \hat{A}_{i,j,k+1}^{zz} - (\alpha \psi)_{i,j,k-1}^{-6} \hat{A}_{i,j,k-1}^{zz}}{h_z} -

- \frac{1}{3} ( \frac{\beta^x_{i-1,j,k-1}-\beta^x_{i+1,j,k-1}-\beta^x_{i-1,j,k+1}+\beta^x_{i+1,j,k+1}}{4h_xh_z} +

+ \frac{\beta^y_{i,j-1,k-1}-\beta^y_{i,j+1,k-1}-\beta^y_{i,j-1,k+1}+\beta^y_{i,j+1,k+1}}{4h_yh_z} )

+ \frac{\beta^z_{i,j,k-1}-2\beta^z_{i,j,k}+\beta^z_{i,j,k+1}}{h_z^2},

con:

\partial_{\beta^z_{i,j,k}} F(\beta^z_{i,j,k}) = -2 ( \frac{1}{h_x^2} + \frac{1}{h_y^2} + \frac{4}{3} \frac{1}{h_z^2} ).

Hace tiempo que no escribo nada pues estoy intentando terminar un programa que ya va tocando…

Para que no se diga, añado a continuación una imagen que he obtenido hace un momento, y que me ha hecho gracia, cuando pintaba el error entre la solución analítica de un problema de Poisson tridimensional y mi solución aproximada.

caraError

Se diría que estoy diseñando la cabeza de un nuevo personaje de animación, ¿no?

:mrgreen:

Una presentación con parámetros tweeter:

tweetPres

Cuando hablamos de soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein hablamos de los agujeros negros estacionarios en rotación y sin carga eléctrica (J \neq 0 y Q = 0). A esta solución analítica se la conoce  como métrica de Kerr.

Procedemos a buscar calcular los símbolos de Christoffel, la conexión de Levi-Civita y las geodésicas de la métrica de Kerr:

g = - (1-\frac{2Mr}{\Sigma})dt \otimes dt - \frac{4aMr\sin^2\theta}{\Sigma}dt \tilde{\otimes} d\varphi +

+ \frac{\Sigma}{\Delta}dr \otimes dr + \Sigma d\theta \otimes d\theta + (r^2+a^2+\frac{2a^2Mr\sin^2\theta}{\Sigma})sin^2\theta d\varphi \otimes d\varphi

donde a:=\frac{J}{M}, \Delta:= r^2 - 2Mr + a^2 y \Sigma = r^2 + a^2 \cos^2 \theta. El agujero negro está rotando en la dirección +\varphi y el espín está restringido al rango 0 \leq \frac{a}{M} \leq 1. Notar que recuperamos la métrica de Schwarzschild cuando a=0.

Modificamos ligeramente el programa que teniamos de manera que nos permita trabajar con metricas sobre variedades en 4 dimensiones (si el índices ic empieza en ib nos ahorramos los cálculos simétricos):


Simbolos[] := 
For[ia = 1, ia <= 4, ia++, 
  For[ib = 1, ib <= 4, ib++,
    For[ic = 1, ic <= 4, ic++,
      r = 0;
      For[ii = 1, ii <= 4, ii++,
        r = r + 
            FullSimplify[
                         1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*(
                         D[g[[ii]][[ib]], x[[ic]]] + 
                         D[g[[ii]][[ic]], x[[ib]]] - 
                         D[g[[ib]][[ic]], x[[ii]]])
            ]
      ];
      Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
    ]
  ]
]

Introducimos la métrica como siempre:

\left(  \begin{array}{cccc}  -1+\frac{2 M \text{x2}}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & -\frac{2 J \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} \\  0 & \frac{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}}{\frac{J^2}{M^2}-2 M \text{x2}+\text{x2}^2} & 0 & 0 \\  0 & 0 & \text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2} & 0 \\  -\frac{2 J \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & \text{Sin}[\text{x3}]^2 \left(\frac{J^2}{M^2}+\text{x2}^2+\frac{2 J^2 \text{x2} \text{Sin}[\text{x3}]^2}{M \left(\text{x2}^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\text{x3}]}{M^2}\right)}\right)  \end{array}  \right)

y en un momento obtenemos:

\Gamma^{1}_{\alpha \beta}:

Gamma1

\Gamma^2_{\alpha \beta}:

Gamma2

\Gamma^3_{\alpha \beta}:

Gamma3

\Gamma^4_{\alpha \beta}:

Gamma4

Calculamos ahora las ecuaciones de las geodesicas partiendo del hecho de que conocemos los símbolos de Christoffel. Como ya vimos, la ecuación en coordenadas a partir de estos es:

\frac{d^2}{dt^2}x^i + \Gamma^i_{jk} \frac{d}{dt}x^j \frac{d}{dt}x^k = 0.

Si nos fijamos, la estructura es sencilla: una ecuación por cada variable y, en esta, utilizamos los símbolos de Christoffel que la tienen como coordenada contravariante y cada símbolo acompañado del producto de las derivadas primeras de las variables que aparecen como covariantes.

Obviamente, y debido al tamaño de las expresiones, solo vamos a escribir de manera explícita alguna. Así pues, las ecuaciones de las geodésicas son:

\begin{cases} \ddot{t} + \ldots = 0 \\ \ddot{r} + \ldots = 0 \\ \ddot{\theta} + \ldots = 0 \\ \ddot{\varphi} + \ldots = 0 \end{cases}

donde, por ejemplo, para \theta tenemos (algunas expresiones no caben pero al pinchar y arrastrar se ven completas):

\ddot{\theta} -

- \frac{J^2 M^5 r \text{Sin}[\theta]}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{t}^2 + \frac{J^2 M^2 \text{Sin}[\theta]}{2 \left(J^2+M^2 r (-2 M+r)\right) \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)} \dot{r}^2 - \frac{J^2 \text{Sin}[\theta]}{2 M^2 r^2+2 J^2 \text{Cos}[\theta]} \dot{\theta}^2 -

-\frac{\left(J^2+M^2 r^2\right) \text{Cos}[\theta] \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^2 \text{Sin}[\theta]+4 J^2 M^3 r \text{Cos}[\theta] \left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right) \text{Sin}[\theta]^3+J^4 M^3 r \text{Sin}[\theta]^5}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{\varphi}^2 +

+ \frac{J M^4 r \left(4 M^2 r^2 \text{Cos}[\theta]+J^2 (3+\text{Cos}[2 \theta])\right) \text{Sin}[\theta]}{\left(M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta]\right)^3} \dot{t} \dot{\varphi} + \frac{r}{r^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\theta]}{M^2}} \dot{r} \dot{\theta} = 0

Ya escribimos al respecto en este post. Aquí lo que haremos es reescribir las expresiones allí introducidas

En primer lugar, teniamos:

 \Delta X^i = 8 \pi f^{ij}S_j^* - \frac{1}{3}\mathcal{D}^i \mathcal{D}_j X^j

donde:

S_j^* := \sqrt{ \frac{\gamma}{f} } S = \psi^6 S_j,

S_j := \rho h w^2 v_j.

En el caso de estar trabajando en cartesianas y teniendo en cuenta todo el trabajo realizado en el artículo, nos queda:

\partial_{xx} X^x + \partial_{yy} X^x + \partial_{zz} X^x = 8 \pi \psi^6 \rho h w^2 v_x - \frac{1}{3} \partial_x (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z),

\partial_{xx} X^y + \partial_{yy} X^y + \partial_{zz} X^y = 8 \pi \psi^6 \rho h w^2 v_y - \frac{1}{3} \partial_y (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z),

\partial_{xx} X^z + \partial_{yy} X^z + \partial_{zz} X^z = 8 \pi \psi^6 \rho h w^2 v_z - \frac{1}{3} \partial_z (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z).

A continuación, y para la siguiente ecuación, necesitamos:

\hat{A}^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}

que queda como:

\hat{A}^{xx} = 2 \partial_x X^x - \frac{2}{3} (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z),

\hat{A}^{xy} = \hat{A}^{yx}= \partial_x X^y + \partial_y X^x,

\hat{A}^{xz} = \hat{A}^{zx} = \partial_x X^z + \partial_z X^x,

\hat{A}^{yy} = 2 \partial_y X^y - \frac{2}{3} (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z),

\hat{A}^{yz} = \hat{A}^{zy} = \partial_y X^z + \partial_z X^y,

\hat{A}^{zz} = 2 \partial_z X^z - \frac{2}{3} (\partial_x X^x + \partial_y X^y + \partial_z X^z),

por lo que:

\Delta \psi = -2 \pi \psi^{-1} E^* - \psi^{-7} \frac{f_{il}f_{jm}\hat{A}^{lm}\hat{A}^{ij}}{8}

donde:

E^*:= \sqrt{ \frac{\gamma}{f} } E = \psi^6 E,

E:= D + \tau

es:

\Delta \psi = -2 \pi \psi^{-1} (D + \tau) - \psi^{-7} \frac{(\hat{A}^{xx})^2+(\hat{A}^{yy})^2+(\hat{A}^{zz})^2+2(\hat{A}^{xy})^2+2(\hat{A}^{xz})^2+2(\hat{A}^{yz})^2}{8}.

La siguiente:

\Delta (\alpha\psi) = 2 \pi (\alpha\psi)^{-1} (E^* + 2S^*) + \frac{7}{8} (\alpha\psi)^{-7} (f_{il} f{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij})

con:

S^*:= \sqrt{ \frac{\gamma}{f} } S = \psi^6 S,

S:= \rho h (w^2-1) + 3 p

queda:

\Delta (\alpha\psi) = 2 \pi (\alpha\psi)^{-1} ( D + \tau + 2 \rho h (w^2-1) + 6 p) +

+ \frac{7}{8}(\alpha\psi)^{-7} ((\hat{A}^{xx})^2+(\hat{A}^{yy})^2+(\hat{A}^{zz})^2+2(\hat{A}^{xy})^2+2(\hat{A}^{xz})^2+2(\hat{A}^{yz})^2)

Y la última:

\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j (2 (\alpha\psi)^{-6} \hat{A}^{ij}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j \beta^j),

que escribimos como:

\Delta \beta^x = \partial_x (2 (\alpha \psi)^{-6} \hat{A}^{xx}) + \partial_y (2 (\alpha \psi)^{-6} \hat{A}^{xy}) + \partial_z (2 (\alpha \psi)^{-6} \hat{A}^{xz}) -

- \frac{1}{3} \partial_x (\partial_x \beta^x + \partial_y \beta^y + \partial_z \beta^z)

\Delta \beta^y = \partial_x (2 (\alpha \psi)^{-6} \hat{A}^{yx}) + \partial_y (2 (\alpha \psi)^{-6} \hat{A}^{yy}) + \partial_z (2 (\alpha \psi)^{-6} \hat{A}^{yz}) -

- \frac{1}{3} \partial_y (\partial_x \beta^x + \partial_y \beta^y + \partial_z \beta^z)

\Delta \beta^z = \partial_x (2 (\alpha \psi)^{-6} \hat{A}^{zx}) + \partial_y (2 (\alpha \psi)^{-6} \hat{A}^{zy}) + \partial_z (2 (\alpha \psi)^{-6} \hat{A}^{zz}) -

- \frac{1}{3} \partial_z (\partial_x \beta^x + \partial_y \beta^y + \partial_z \beta^z)

CoCoNuT es un código que permite realizar simulaciones de colapso estelar. Reescribimos las ecuaciones CFC, que son un caso particular de la aproximación FCF haciendo que las h^{ij} sean cero, en terminos de las variables que éste utiliza. Empezamos con una auxilar:

 \Delta X^i = 8 \pi f^{ij}S_j^* - \frac{1}{3}\mathcal{D}^i \mathcal{D}_j X^j

donde:

S_j^* := \sqrt{ \frac{\gamma}{f} } S = \psi^6 S_j,

S_j := \rho h w^2 v_j.

La primera es:

\Delta \psi = -2 \pi \psi^{-1} E^* - \psi^{-7} \frac{f_{il}f_{jm}\hat{A}^{lm}\hat{A}^{ij}}{8}

donde:

E^*:= \sqrt{ \frac{\gamma}{f} } E = \psi^6 E,

E:= D + \tau

La siguiente:

\Delta (\psi \alpha) = 2 \pi \alpha (E^* + 2S^*) + \alpha \psi^{-7} \frac{7 f_{il} f{jm} \hat{A}^{lm} \hat{A}^{ij}}{8}

con:

S^*:= \sqrt{ \frac{\gamma}{f} } S = \psi^6 S,

S:= \rho h (w^2-1) + 3 p

Y la última:

\Delta \beta^i = \mathcal{D}_j (2 \alpha \psi^{-6} \hat{A}^{ij}) - \frac{1}{3} \mathcal{D}^i (\mathcal{D}_j \beta^j).

Además, en CFC, tenemos:

\hat{A}^{ij} = (LX)^{ij} + \hat{A}^{ij}_{TT} \approx (LX)^{ij} = \mathcal{D}^i X^j + \mathcal{D}^j X^i - \frac{2}{3} \mathcal{D}_k X^k f^{ij}

donde L es el operador de Killing conforme actuando sobre la parte longitudinal X^i sin traza y A^{ij}_{TT} es la parte transversal sin traza de la curvatura extrínseca , y de FCF tenemos:

  • la métrica inducida en cada hipersuperficie \gamma_{\mu \nu} := g_{\mu \nu} + n_{\mu} n_{\nu} (o \boldsymbol{\gamma} := \boldsymbol{g} + \boldsymbol{n} \otimes \boldsymbol{n} ) con \boldsymbol{n} = \frac{dt}{|dt|}.
  • la curvatura extrínseca \boldsymbol{K:=-\frac{1}{2}\mathcal{L}_{\boldsymbol{n}} \boldsymbol{\gamma}} (o, con índices, K_{\mu \nu} = -\frac{1}{2} \mathcal{L}_{\boldsymbol{n}} \gamma_{\mu \nu}).

Textualmente del libro:

“As with any numerical code, debugging can be the most difficult part of creating a successful program. For multigrid, this situation is exacerbated in two ways. First, the interaction between the various multigrid components are very subtle, and it can be difficult to determine which part of a code is defective. Even more insidious is the fact that an incorrectly implemented multigrid code can perform quite well -somentimes better than other solution methods!”

Puedo confirmar, de primera mano, que ésto es así…

Una manera sencilla de tener una ecuación de Poisson en 3D de la que conocer su solución analítica es la siguiente. Para empezar, consideramos una función:

u(x,y,z)

a la que le aplicamos el operador \Delta y obtendremos otra función:

s(x,y,z).

Ya tenemos \Delta u = s, es decir,

\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y,z) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y,z) + \frac{\partial^2}{\partial z^2}u(x,y,z) = s(x,y,z)

Para las condiciones de contorno es tan sencillo como considerar el domino:

[a,b] \times [c,d] \times [e,f]

y ver cuanto vale u en cada uno de los extremos, de manera que obtenemos:

u(a,y,z) = g_a(y,z), u(b,y,z) = g_b(y,z),

u(x,c,z) = g_c(x,z), u(x,d,z) = g_d(x,z),

u(x,y,e) = g_e(x,y), u(x,y,f) = g_f(x,y).

Por ejemplo, si consideramos u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, entonces:

\nabla \cdot \nabla u = (\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}) \cdot (u_x,u_y,u_z)

de manera que:

\Delta u = \frac{\partial}{\partial x}2x + \frac{\partial}{\partial y}2y + \frac{\partial}{\partial z}2z = 6

y tenemos la ecuación de Poisson \Delta u = 6. Las condiciones de contorno, en \Omega = [0,1]^3 quedan:

u(0,y,z) = g_{xm}(y,z) = y^2+z^2

u(1,y,z) = g_{xM}(y,z) = y^2+z^2 + 1

u(x,0,z) = g_{ym}(x,z) = x^2+z^2

u(x,1,z) = g_{yM}(x,z) = x^2+z^2 + 1

u(x,y,0) = g_{zm}(x,y) = x^2+y^2

u(x,y,1) = g_{zM}(x,y) = x^2+y^2 + 1

Resumiendo, la solución de \Delta u = 6 siendo las funciones anteriores los valores de u en \partial \Omega es:

u = x^2+y^2 + z^2.

Otro ejemplo concreto para el caso de u=0 en \partial \Omega siendo

\Omega = \{ (x,y,z): 0<x<1, 0<y<1,0<z<1\} el cubo unidad.

Tomamos u(x,y,z) = (x^4-x^2)(y^4-y^2)(z^4-z^2). Es sencillo comprobar que u=0 en \partial \Omega (p.e. u(1,y,z)=(1-1)(y^4-y^2)(z^4-z^2) = 0). ¿Cuanto vale \Delta u en este caso?

s(x,y,z) = \Delta [(x^4-x^2)(y^4-y^2)(z^4-z^2)] =

= \nabla \cdot [(4x^3-2x)(y^4-y^2)(z^4-z^2),

,(x^4-x^2)(4y^3-2y)(z^4-z^2),

(x^4-x^2)(y^4-y^2)(4z^3-2z)] =

= 2[(6x^2-1)(y^4-y^2)(z^4-z^2) +

+ (x^4-x^2)(6y^2-1)(z^4-z^2) +

+ (x^4-x^2)(y^4-y^2)(6z^2-1)].

De manera que la solución en el cubo unidad de la ecuación de Poisson

u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} =

= 2[(6x^2-1)(y^4-y^2)(z^4-z^2) +

+ (x^4-x^2)(6y^2-1)(z^4-z^2) +

+ (x^4-x^2)(y^4-y^2)(6z^2-1)]

con condiciones homogeneas de tipo Dirichlet en la frontera tiene como solución:

u(x,y,z) = (x^4-x^2)(y^4-y^2)(z^4-z^2)

Aunque siempre podemos hacer cambios de coordenadas, vamos a ver como quedan los esquemas de diferencias finitas en sistemas no rectangulares: coordenadas cilíndricas, (\rho,\phi, z), y coordenadas esféricas, (r,\theta,\phi). Nos centraremos en la ecuación de Poisson aunque la técnica se puede extender de manera inmediata a cualquier tipo de PDE.

En coordenadas cilíndricas podemos escribir:

\nabla \cdot \nabla u = \frac{\partial^2}{\partial \rho^2}u + \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}u + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}u + \frac{\partial^2}{\partial z^2} u = f,

que podemos discretizar como:

\frac{u_{i-1,j,k}-2u_{i,j,k}+u_{i+1,j,k}}{(\Delta \rho)^2} +

+ \frac{1}{\rho_{i,j,k}}\frac{u_{i+1,j,k}-u_{i-1,j,k}}{2\Delta \rho} +

+ \frac{1}{\rho_{i,j,k}^2} \frac{u_{i,j-1,k}-2u_{i,j,k}+u_{i,j+1,k}}{(\Delta \phi)^2} +

+ \frac{u_{i,j,k-1}-2u_{i,j,k}+u_{i,j,k+1}}{(\Delta z)^2} = f_{i,j,k}

En coordenadas esféricas tenemos:

\nabla \cdot \nabla u = \frac{\partial^2}{\partial r^2}u + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}u + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}u + \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}u + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}u = f

que podemos discretizar como:

\frac{u_{i-1,j,k-2u_{i,j,k}+u_{i+1,j,k}}}{(\Delta r)^2} +

+ \frac{2}{r_{i,j,k}} \frac{u_{i+1,j,k}+u_{i-1,j,k}}{2\Delta r} +

+ \frac{u_{i,j-1,k}-2u_{i,j,k}+u_{i,j+1,k}}{(r_{i,j,k} \Delta \theta)^2} +

+ \frac{1}{r_{i,j,k}^2 \sin \phi_{i,j,k}} \frac{u_{i,j+1,k}-u_{i,j-1,k}}{2 \Delta \phi} +

+ \frac{u_{i,j,k-1}-2u_{i,j,k}+u_{i,j,k+1}}{(r_{i,j,k} \sin \phi_{i,j,k} \Delta \phi)^2} = f_{i,j,k}

En n dimensiones, el operador Laplaciano queda como:

\Delta u= \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}u

en coordenadas cartesianas, y como:

\Delta u = \frac{\partial}{\partial r^2}u + \frac{n-1}{r}\frac{\partial}{\partial r}u + \frac{1}{r^2}\Delta_{S^{n-1}}u

en esféricas, donde \Delta_{S^{n-1}} es el operador de Laplace-Beltrami, una generalización del Laplaciano para funciones definidas sobre variedades,  en la (n-1)-esfera (S^{n-1}), el operador Laplaciano esférico.

Un punto es un tensor sin índices, un vector es un tensor con 1 índice, una matriz es un tensor con 2 índices, etc. Cuando discreticemos una PDE en n dimensiones, llegaremos a un tensor con n índices y 2n tensores con n-1 índices para las condiciones en las fronteras.

Vamos a suponer n=3 para reducir el tamaño de las matrices.

Empezamos suponiendo que conocemos:

\frac{\partial}{\partial x}|_{0,0,}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u

\frac{\partial}{\partial y}|_{0,0}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{1,0}u

\frac{\partial}{\partial y}|_{0,2}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{1,2}u

u|_{2,0}, u|_{2,1}, u|_{2,2}

Discretizamos:

\frac{u_{-1,0}-2u_{0,0}+u_{1,0}}{h^2} + \frac{u_{0,-1}-2u_{0,0}+u_{0,1}}{h^2} = f_{0,0}

\frac{u_{-1,1}-2u_{0,1}+u_{1,1}}{h^2} + \frac{u_{0,0}-2u_{0,1}+u_{0,2}}{h^2} = f_{0,1}

\frac{u_{-1,2}-2u_{0,2}+u_{1,2}}{h^2} + \frac{u_{0,1}-2u_{0,2}+u_{0,3}}{h^2} = f_{0,2}

\frac{u_{0,0}-2u_{1,0}+u_{2,0}}{h^2} + \frac{u_{1,-1}-2u_{1,0}+u_{1,1}}{h^2} = f_{1,0}

\frac{u_{0,1}-2u_{1,1}+u_{2,1}}{h^2} + \frac{u_{1,0}-2u_{1,1}+u_{1,2}}{h^2} = f_{1,1}

\frac{u_{0,2}-2u_{1,2}+u_{2,2}}{h^2} + \frac{u_{1,1}-2u_{1,2}+u_{1,3}}{h^2} = f_{1,2}

En las fronteras, sabemos que:

\frac{u_{1,0}-u_{-1,0}}{2h} = \frac{\partial}{\partial x}|_{0,0}u \Leftrightarrow u_{-1,0}=u_{1,0}-2h \frac{\partial}{\partial x}|_{0,0}u

\frac{u_{1,1}-u_{-1,1}}{2h} = \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u \Leftrightarrow u_{-1,1}=u_{1,1}-2h \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u

\frac{u_{1,2}-u_{-1,2}}{2h} = \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u \Leftrightarrow u_{-1,2}=u_{1,2}-2h \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u

\frac{u_{0,1}-u_{0,-1}}{2h} = \frac{\partial}{\partial y}|_{0,0}u \Leftrightarrow u_{0,-1}=u_{0,1}-2h \frac{\partial}{\partial y}|_{0,0}u

\frac{u_{1,1}-u_{1,-1}}{2h} = \frac{\partial}{\partial y}|_{1,0}u \Leftrightarrow u_{1,-1}=u_{1,1}-2h \frac{\partial}{\partial y}|_{1,0}u

\frac{u_{0,3}-u_{0,1}}{2h} = \frac{\partial}{\partial y}|_{0,2}u \Leftrightarrow u_{0,3}=u_{0,1}+2h \frac{\partial}{\partial y}|_{0,2}u

\frac{u_{1,3}-u_{1,1}}{2h} = \frac{\partial}{\partial y}|_{1,2}u \Leftrightarrow u_{1,3}=u_{1,1}+2h \frac{\partial}{\partial y}|_{1,2}u

La matriz queda:

\left(  \begin{array}{ccc|ccc}  -4 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\  1 & -4 & 1 & 0 & 2 & 0 \\  0 & 2 & -4 & 0 & 0 & 2 \\ \hline  1 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -4  \end{array}  \right)

Simetrizable como:

\left(  \begin{array}{ccc|ccc}  -1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\  \frac{1}{2} & -2 & \frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\  0 & \frac{1}{2} & -1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ \hline  \frac{1}{2} & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 1 & -2  \end{array}  \right)

Tenemos 6 ecuaciones con 6 incognitas y la matriz tiene rango 6, por lo que la solución es única.

En el segundo caso, suponemos que todas las fronteras son Neumann:

\frac{\partial}{\partial x}|_{0,0}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u

\frac{\partial}{\partial y}|_{0,0}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{1,0}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{2,0}u

\frac{\partial}{\partial y}|_{0,2}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{1,2}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{2,2}u

\frac{\partial}{\partial x}|_{2,0}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{2,1}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{2,2}u

Si discretizamos:

\frac{u_{-1,0}-2u_{0,0}+u_{1,0}}{h^2} + \frac{u_{0,-1}-2u_{0,0}+u_{0,1}}{h^2} = f_{0,0}

\frac{u_{-1,1}-2u_{0,1}+u_{1,1}}{h^2} + \frac{u_{0,0}-2u_{0,1}+u_{0,2}}{h^2} = f_{0,1}

\frac{u_{-1,2}-2u_{0,2}+u_{1,2}}{h^2} + \frac{u_{0,1}-2u_{0,2}+u_{0,3}}{h^2} = f_{0,2}

\frac{u_{0,0}-2u_{1,0}+u_{2,0}}{h^2} + \frac{u_{1,-1}-2u_{1,0}+u_{1,1}}{h^2} = f_{1,0}

\frac{u_{0,1}-2u_{1,1}+u_{2,1}}{h^2} + \frac{u_{1,0}-2u_{1,1}+u_{1,2}}{h^2} = f_{1,1}

\frac{u_{0,2}-2u_{1,2}+u_{2,2}}{h^2} + \frac{u_{1,1}-2u_{1,2}+u_{1,3}}{h^2} = f_{1,2}

\frac{u_{1,0}-2u_{2,0}+u_{3,0}}{h^2} + \frac{u_{2,-1}-2u_{2,0}+u_{2,1}}{h^2} = f_{2,0}

\frac{u_{1,1}-2u_{2,1}+u_{3,1}}{h^2} + \frac{u_{2,0}-2u_{2,1}+u_{2,2}}{h^2} = f_{2,1}

\frac{u_{1,2}-2u_{2,2}+u_{3,2}}{h^2} + \frac{u_{2,1}-2u_{2,2}+u_{2,3}}{h^2} = f_{2,2}

En las fronteras, sabemos que:

\frac{u_{1,0}-u_{-1,0}}{2h} = \frac{\partial}{\partial x}|_{0,0}u \Leftrightarrow u_{-1,0}=u_{1,0}-2h \frac{\partial}{\partial x}|_{0,0}u

\frac{u_{1,1}-u_{-1,1}}{2h} = \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u \Leftrightarrow u_{-1,1}=u_{1,1}-2h \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u

\frac{u_{1,2}-u_{-1,2}}{2h} = \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u \Leftrightarrow u_{-1,2}=u_{1,2}-2h \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u

\frac{u_{0,1}-u_{0,-1}}{2h} = \frac{\partial}{\partial y}|_{0,0}u \Leftrightarrow u_{0,-1}=u_{0,1}-2h \frac{\partial}{\partial y}|_{0,0}u

\frac{u_{1,1}-u_{1,-1}}{2h} = \frac{\partial}{\partial y}|_{1,0}u \Leftrightarrow u_{1,-1}=u_{1,1}-2h \frac{\partial}{\partial y}|_{1,0}u

\frac{u_{2,1}-u_{2,-1}}{2h} = \frac{\partial}{\partial y}|_{2,0}u \Leftrightarrow u_{2,-1}=u_{2,1}-2h \frac{\partial}{\partial y}|_{2,0}u

\frac{u_{0,3}-u_{0,1}}{2h} = \frac{\partial}{\partial y}|_{0,2}u \Leftrightarrow u_{0,3}=u_{0,1}+2h \frac{\partial}{\partial y}|_{0,2}u

\frac{u_{1,3}-u_{1,1}}{2h} = \frac{\partial}{\partial y}|_{1,2}u \Leftrightarrow u_{1,3}=u_{1,1}+2h \frac{\partial}{\partial y}|_{1,2}u

\frac{u_{2,3}-u_{2,1}}{2h} = \frac{\partial}{\partial y}|_{2,2}u \Leftrightarrow u_{2,3}=u_{2,1}+2h \frac{\partial}{\partial y}|_{2,2}u

\frac{u_{3,0}-u_{1,0}}{2h} = \frac{\partial}{\partial x}|_{2,0}u \Leftrightarrow u_{3,0}=u_{1,0}+2h \frac{\partial}{\partial x}|_{2,0}u

\frac{u_{3,1}-u_{1,1}}{2h} = \frac{\partial}{\partial x}|_{2,1}u \Leftrightarrow u_{3,1}=u_{1,1}+2h \frac{\partial}{\partial x}|_{2,1}u

\frac{u_{3,2}-u_{1,2}}{2h} = \frac{\partial}{\partial x}|_{2,2}u \Leftrightarrow u_{3,2}=u_{1,2}+2h \frac{\partial}{\partial x}|_{2,2}u

La matriz, por tanto, queda:

\text{A6}=\left(  \begin{array}{ccc|ccc|ccc}  -4 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & -4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 2 & -4 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  1 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -4 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & -4  \end{array}  \right)

Simetrizable como:

\text{A6s}=\left(  \begin{array}{ccc|ccc|ccc}  -1 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1/2 & -2 & 1/2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1/2 & -1 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  1/2 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1/2 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1/2 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & -1 & 1/2 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -2 & 1/2 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 1/2 & -1  \end{array}  \right)

En este caso, tenemos 9 ecuaciones con 9 incognitas pero la matriz tiene rango 8, por lo que tenemos infinitas soluciones. Hay que conservar.

Suponemos \Delta u = f en 2D, es decir,

\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y) = f(x,y).

Miraremos como queda la matriz del sistema al discretizar, como simetrizarla y su rango en tres casos: condición Neuman respecto x en una frontera, condición Neumann respecto y en una frontera y condición Neumann respecto x e y en dos fronteras.

Discretizamos con n=5. Si todas las condiciones fueran Dirichlet, la matriz quedaría:

A_1 = \left(  \begin{array}{ccc|ccc|ccc}  -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4  \end{array}  \right) .

En este caso, A_1 \in \mathcal{M}(9 \times 9) y simétrica, lo que permite tratar de manera conjunta los problemas de existencia y unicidad de solución. Si calculamos su rango obtenemos 9 por lo que existe solución y es única. Desde el punto de vista algebraico, es el punto (u_{1,1},u_{1,2},u_{1,3},u_{2,1},u_{2,2},u_{2,3},u_{3,1},u_{3,2},u_{3,3}) intersección de 9 hiperplanos

-4x_{1,1} + x_{1,2} + x_{2,1} = f_{1,1},

x_{1,1}-4x_{1,2}+x_{1,3} + x_{2,2} = f_{1,2},

\ldots

en el espacio \mathbb{R}^9.

Si condiremos conocidos \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,3}u en lugar de u_{0,1}, u_{0,2}, u_{0,3} (u_{0,0} y u_{0,4} son conocidos por las otras fronteras que son Dirichelt), tenemos:

A_2 = \left(  \begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc}  -4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & -4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4  \end{array}  \right)

de manera que A_2 \in \mathcal{M}(12 \times 12) y no es simétrica. Sin embargo es facilmente simetrizable dividiendo las tres primera filas (hacemos lo mismo en el termino independiente) por 2:

A_2 = \left(  \begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc}  -2 & \frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  \frac{1}{2} & -2 & \frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & \frac{1}{2} & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4  \end{array}  \right)

Tenemos 12 incognitas (u_{i,j} con i=0..3 y j=1..3) y el rango de A_2 es 12, por lo que la solución, nuevamente, es única.

Para el caso en el que conocemos \frac{\partial}{\partial y}|_{1,0}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{2,0}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{3,0}u en lugar de u_{1,0}, u_{2,0}, u_{3,0}, si el orden que tomamos es el contrario al tomado anteriormente llegaremos a la misma estructura de antes. Sin embargo, como en el siguiente caso nos veremos obligados a seleccionar uno de los dos, vamos a ver como queda este caso utilizando el mismo orden que antes:

A_3 = \left(  \begin{array}{cccc|cccc|cccc}  -4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4  \end{array}  \right)

que podemos simetrizar facilmente y queda:

A_3 = \left(  \begin{array}{cccc|cccc|cccc}  -2 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4  \end{array}  \right)

Tenemos 12 ecuaciones con 12 incognitas (u_{i,j} con i=1..3 y j=0..3) y el rango de A_3 es 12, por lo que la solución es única.

Finalmente, suponemos conocidos \frac{\partial}{\partial x}|_{0,0}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,3}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{0,0}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{1,0}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{2,0}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{3,0}u que incorpora 7 ecuaciones mas a las 9 que ya teniamos por lo que nos queda una matrix A_4 \in \mathcal{M}(16 \times 16):

\left(  \begin{array}{cccc|cccc|cccc|cccc}  -4 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4  \end{array}  \right),

simetrizable dividiendo la fila correspondiente a u_{0,0} por 4, y las correspondientes a u_{0,1}, u_{0,2}, u_{0,3}, u_{1,0},u_{2,0}, u_{3,0}  por 2, quedando:

\left(  \begin{array}{cccc|cccc|cccc|cccc}  -1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  \frac{1}{2} & -2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & \frac{1}{2} & -2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & \frac{1}{2} & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4  \end{array}  \right),

con lo que el sistema vuelve a ser compatible y determinado.

Suponemos n=5. En el caso de tener todas las fronteras con condiciones Dirichlet:

\frac{u_{0,1} -2u_{1,1} + u_{2,1}}{h^2} + \frac{u_{1,0} -2u_{1,1} + u_{1,2}}{h^2} = f_{1,1} para i,j=1,1,

\frac{u_{0,2} -2u_{1,2} + u_{2,2}}{h^2} + \frac{u_{1,1} -2u_{1,2} + u_{1,3}}{h^2} = f_{1,2} para i,j=1,2,

\frac{u_{0,3} -2u_{1,3} + u_{2,3}}{h^2} + \frac{u_{1,2} -2u_{1,3} + u_{1,4}}{h^2} = f_{1,3} para i,j=1,3,

\frac{u_{1,1} -2u_{2,1} + u_{3,1}}{h^2} + \frac{u_{2,0} -2u_{2,1} + u_{2,2}}{h^2} = f_{2,1} para i,j=2,1,

\frac{u_{1,2} -2u_{2,2} + u_{3,2}}{h^2} + \frac{u_{2,1} -2u_{2,2} + u_{2,3}}{h^2} = f_{2,2} para i,j=2,2,

\frac{u_{1,3} -2u_{2,3} + u_{3,3}}{h^2} + \frac{u_{2,2} -2u_{2,3} + u_{2,4}}{h^2} = f_{2,3} para i,j=2,3,

\frac{u_{2,1} -2u_{3,1} + u_{4,1}}{h^2} + \frac{u_{3,0} -2u_{3,1} + u_{3,2}}{h^2} = f_{3,1} para i,j=3,1,

\frac{u_{2,2} -2u_{3,2} + u_{4,2}}{h^2} + \frac{u_{3,1} -2u_{3,2} + u_{3,3}}{h^2} = f_{3,2} para i,j=3,2,

\frac{u_{2,3} -2u_{3,3} + u_{4,3}}{h^2} + \frac{u_{3,2} -2u_{3,3} + u_{3,4}}{h^2} = f_{3,3} para i,j=3,3,

de donde:

\begin{bmatrix} f_{1,1} -\frac{u_{1,0} + u_{0,1}}{h^2} & f_{1,2} - \frac{u_{0,2}}{h^2} & f_{1,3} - \frac{u_{0,3}+u_{1,4}}{h^2} \\ f_{2,1} -\frac{u_{2,0}}{h^2} & f_{2,2} & f_{2,3} - \frac{u_{2,4}}{h^2} \\ f_{3,1} - \frac{u_{3,0}+u_{4,1}}{h^2} & f_{3,2} - \frac{u_{4,2}}{h^2} & f_{3,3} - \frac{u_{4,3}+u_{3,4}}{h^2} \end{bmatrix}

En forma de matriz por bloques (para pensar en la simetrización):

\frac{1}{h^2} \begin{bmatrix} -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 \end{bmatrix} u_{i,j} = \begin{bmatrix} f_{1,1} -\frac{u_{1,0} + u_{0,1}}{h^2} \\ f_{1,2} - \frac{u_{0,2}}{h^2} \\ f_{1,3} - \frac{u_{0,3}+u_{1,4}}{h^2} \\ f_{2,1} -\frac{u_{2,0}}{h^2} \\ f_{2,2} \\ f_{2,3} - \frac{u_{2,4}}{h^2} \\ f_{3,1} - \frac{u_{3,0}+u_{4,1}}{h^2} \\ f_{3,2} - \frac{u_{4,2}}{h^2} \\ f_{3,3} - \frac{u_{4,3}+u_{3,4}}{h^2} \end{bmatrix}

¿Qué pasa ahora si en lugar de conocer u_{0,1}, u_{0,2}, u_{0,3} conocemos \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u, \frac{\partial}{\partial x}u|_{0,3}? Necesitamos tres ecuaciones mas:

\frac{u_{-1,1} -2u_{0,1} + u_{1,1}}{h^2} + \frac{u_{0,0} -2u_{0,1} + u_{0,2}}{h^2} = f_{0,1} para i,j=0,1

\frac{u_{-1,2} -2u_{0,2} + u_{1,2}}{h^2} + \frac{u_{0,1} -2u_{0,2} + u_{0,3}}{h^2} = f_{0,2} para i,j=0,2

\frac{u_{-1,3} -2u_{0,3} + u_{1,3}}{h^2} + \frac{u_{0,2} -2u_{0,3} + u_{0,4}}{h^2} = f_{0,3} para i,j=0,3

y

\frac{u_{1,1}-u_{-1,1}}{2h} = \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u \Leftrightarrow u_{-1,1} = u_{1,1} - 2h \, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u

\frac{u_{1,2}-u_{-1,2}}{2h} = \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u \Leftrightarrow u_{-1,2} = u_{1,2} - 2h \, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u

\frac{u_{1,3}-u_{-1,3}}{2h} = \frac{\partial}{\partial x}|_{0,3}u \Leftrightarrow u_{-1,3} = u_{1,3} - 2h \, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,3}u

por lo que:

\begin{bmatrix} f_{0,1} +\frac{2h \, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u - u_{0,0}}{h^2} & f_{0,2} + \frac{2h \, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u}{h^2} & f_{0,3} + \frac{ 2h \, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,3}u - u_{0,4}}{h^2} \\ f_{1,1} -\frac{u_{1,0}}{h^2} & f_{1,2} & f_{1,3} - \frac{u_{1,4}}{h^2} \\ f_{2,1} -\frac{u_{2,0}}{h^2} & f_{2,2} & f_{2,3} - \frac{u_{2,4}}{h^2} \\ f_{3,1} - \frac{u_{3,0}+u_{4,1}}{h^2} & f_{3,2} - \frac{u_{4,2}}{h^2} & f_{3,3} - \frac{u_{4,3}+u_{3,4}}{h^2} \end{bmatrix}

La matriz queda:

\frac{1}{h^2} \begin{bmatrix} -4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & \ldots \\ 1 & -4 & 1 & 0 & 2 & 0 & \ldots \\ 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 2 & \ldots \\ 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & \ldots \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & \ldots \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}

Que podemos simetrizar:

\frac{1}{h^2} \begin{bmatrix} -2 & \frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots \\ \frac{1}{2} & -2 & \frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & \ldots \\ 0 & \frac{1}{2} & -2 & 0 & 0 & 1 & \ldots \\ 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & \ldots \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & \ldots \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}

con:

\begin{bmatrix} \frac{1}{2}(f_{0,1} +\frac{2h \, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u - u_{0,0}}{h^2}) & \frac{1}{2}(f_{0,2} + \frac{2h \, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u}{h^2}) & \frac{1}{2}(f_{0,3} + \frac{ 2h \, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,3}u - u_{0,4}}{h^2}) \\ f_{1,1} -\frac{u_{1,0}}{h^2} & f_{1,2} & f_{1,3} - \frac{u_{1,4}}{h^2} \\ f_{2,1} -\frac{u_{2,0}}{h^2} & f_{2,2} & f_{2,3} - \frac{u_{2,4}}{h^2} \\ f_{3,1} - \frac{u_{3,0}+u_{4,1}}{h^2} & f_{3,2} - \frac{u_{4,2}}{h^2} & f_{3,3} - \frac{u_{4,3}+u_{3,4}}{h^2} \end{bmatrix}

Si las condiciones las tenemos sobre la derivada en el extremo opuesto llegaremos a la misma estructura pero en la parte inferior de la frontera y de la matriz.

Si las condiciones las tenemos sobre derivadas en la otra dirección, podemos llegar también a estas estructuras tomando el orden de variables donde tiene prioridad la variable contraria a la tomada en los casos anteriores.

En el post anterior hablamos sobre condiciones de frontera y su transferencia entre mallas pero no comentamos en el caso de que las condición haga referencia al valor de la derivada y no al de la función: condición de Neumann.

En 1D supongamos que ahora tenemos \frac{\partial^2}{\partial x^2}u = f en [a,b] con u(a)=u_a pero \frac{\partial}{\partial x} = du_b. Suponiendo de nuevo n=8, las ecuaciones nos quedan:

\frac{u_0 -2u_1 + u_2}{h^2} = f_1 para i=1,

\frac{u_1 -2u_2 + u_3}{h^2} = f_2 para i=2,

\frac{u_2 -2u_3 + u_4}{h^2} = f_3 para i=3,

\frac{u_3 -2u_4 + u_5}{h^2} = f_4 para i=4,

\frac{u_4 -2u_5 + u_6}{h^2} = f_5 para i=5,

\frac{u_5 -2u_6 + u_7}{h^2} = f_6 para i=6,

\frac{u_6 -2u_7 + u_8}{h^2} = f_7 para i=7,

La única diferencia con respecto al caso anterior es que, en la primera ecuación, desconocemos el valor de u_0 pero  conocemos el de su primera derivada. Sabemos que:

\frac{u_1 - u_{-1}}{2h} = \frac{d}{dx}u_{0} = du_0,

que, despejando, nos da:

u_1 - u_{-1} = 2h \, du_0 \Leftrightarrow u_{-1} = u_1 - 2h \, du_0,

Como tenemos una incognita mas por determinar, añadimos una nueva ecuación:

\frac{u_{-1} -2u_0 + u_1}{h^2} = f_0 para i=0,

donde reescribimos el valor de u_{-1} según acabamos de determinar:

\frac{ u_1 - 2h \, du_0 -2u_0 + u_1}{h^2} = \frac{ -2u_0 + 2u_1 - 2h \, du_0}{h^2} = f_0.

Por lo tanto,  en forma matricial tenemos:

\frac{1}{h^2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_0 \\ u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6 \\u_7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} (f_0 + \frac{2h \, du_0}{h^2}) \\ f_1 \\ f_2 \\ f_3 \\f_4 \\ f_5 \\ f_6 \\ f_7 - \frac{u_8}{h^2}\end{bmatrix}.

De la misma manera, en el caso por el otro extremo, llegariamos a:

\frac{1}{h^2} \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6 \\ u_7 \\u_8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ f_1 - \frac{u_0}{h^2} \\ f_2 \\ f_3 \\ f_4 \\f_5 \\ f_6 \\ f_7 \\ \frac{1}{2}(f_8 + \frac{2h \, du_8}{h^2})\end{bmatrix}.

En resumen, básicamente hay que hacer dos trabajos: en primer lugar, construir el termino independiente de manera apropiada para incorporar la información de las fronteras; en segundo, llegados a los extremos, escoger entre -2 y -1 en la diagonal en función de si es Dirichlet o Neumann.

A ver si nos aclaramos sobre como van las condiciones frontera en las transiciones entre mallas…

Empezamos en 1D. Tenemos \Delta u = f, o lo que es lo mismo, u_{xx} = f (en este caso es una ODE pero bueno…) definida en [a,b] con u(a) = u_a y u(b) = u_b. Vamos a suponer una discretización en una malla con n+1 nodos con u_i con i=1..(n-1) puntos interiores y u_0 = u_a y u_n = u_b. En la discretización tenemos:

\frac{u_{i-1} -2u_i + u_{i+1}}{h^2} = f_i donde h = \frac{1}{n}.

Si escribimos todas las ecuaciones para todos los puntos interiores (si n=8 entonces i=1..7) tenemos :

\frac{u_0 -2u_1 + u_2}{h^2} = f_1 para i=1,

\frac{u_1 -2u_2 + u_3}{h^2} = f_2 para i=2,

\frac{u_2 -2u_3 + u_4}{h^2} = f_3 para i=3,

\frac{u_3 -2u_4 + u_5}{h^2} = f_4 para i=4,

\frac{u_4 -2u_5 + u_6}{h^2} = f_5 para i=5,

\frac{u_5 -2u_6 + u_7}{h^2} = f_6 para i=6,

\frac{u_6 -2u_7 + u_8}{h^2} = f_7 para i=7,

que en forma matricial y despejando u_0 y u_8 que son conocidos queda:

\frac{1}{h^2} \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6 \\u_7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_1 - \frac{u_0}{h^2} \\ f_2 \\ f_3 \\f_4 \\ f_5 \\ f_6 \\ f_7 - \frac{u_8}{h^2}\end{bmatrix}.

Cuando pasamos a una malla de n=4 tenemos que la matriz es 3 \times 3 y tiene la misma estructura pero con \frac{1}{(2h)^2}. En este caso, si restringimos la \vec{f}  nos queda:

\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_1 - \frac{u_0}{h^2} \\ f_2 \\ f_3 \\ f_4 \\ f_5 \\ f_6 \\ f_7 - \frac{u_8}{h^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{f_1 - \frac{u_0}{h^2} +2 f_2 + f_3}{4} \\ \frac{f_3+2 f_4 + f_5}{4} \\ \frac{f_5 + 2 f_6 + f7 - \frac{u_8}{h^2}}{4}\end{bmatrix}.

¿Qué pasa en este caso si restringimos por separado las fuentes y los valores en la frontera? Por un lado tenemos:

\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \\ f_4 \\ f_5 \\ f_6 \\ f_7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{f_1 +2 f_2 + f_3}{4} \\ \frac{f_3+2 f_4 + f_5}{4} \\ \frac{f_5 + 2 f_6 + f7 }{4}\end{bmatrix},

y por otro, como u_0 y u_8 no cambian, al despejar nos quedan -\frac{u_0}{(2h)^2} y -\frac{u_8}{(2h)^2}, por lo que tenemos:

\begin{bmatrix} \frac{f_1 +2 f_2 + f_3}{4} - \frac{u_0}{(2h)^2} \\ \frac{f_3+2 f_4 + f_5}{4} \\ \frac{f_5 + 2 f_6 + f7 }{4} - \frac{u_8}{(2h)^2} \end{bmatrix},

que es equivalente a lo encontrado anteriormente.

¿Que pasará en 2D? Vamos a verlo. Tenemos ahora:

\Delta u = f

como:

\frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} u(x,y) = f(x.y).

Suponemos n=8. Por un lado tenemos que las fuentes menos las fronteras nos da:

\begin{bmatrix} f_{1,1}-\frac{u_{1,0}+u_{0,1}}{h^2} & f_{1,2}-\frac{u_{0,2}}{h^2} & f_{1,3}-\frac{u_{0,3}}{h^2} & f_{1,4}-\frac{u_{0,4}}{h^2} & f_{1,5}-\frac{u_{0,5}}{h^2} & f_{1,6}-\frac{u_{0,6}}{h^2} & f_{1,7}-\frac{u_{1,8}+u_{0,7}}{h^2} \\ f_{2,1}-\frac{u_{2,0}}{h^2} & f_{2,2} & f_{2,3} & f_{2,4} & f_{2,5} & f_{2,6} & f_{2,7}-\frac{u_{2,8}}{h^2} \\ f_{3,1}-\frac{u_{3,0}}{h^2} & f_{3,2} & f_{3,3} & f_{3,4} & f_{3,5} & f_{3,6} & f_{3,7}-\frac{u_{3,8}}{h^2} \\ f_{4,1}-\frac{u_{4,0}}{h^2} & f_{4,2} & f_{4,3} & f_{4,4} & f_{4,5} & f_{4,6} & f_{4,7}-\frac{u_{4,8}}{h^2} \\ f_{5,1}-\frac{u_{5,0}}{h^2} & f_{5,2} & f_{5,3} & f_{5,4} & f_{5,5} & f_{5,6} & f_{5,7}-\frac{u_{5,8}}{h^2} \\ f_{6,1}-\frac{u_{6,0}}{h^2} & f_{6,2} & f_{6,3} & f_{6,4} & f_{6,5} & f_{6,6} & f_{6,7}-\frac{u_{6,8}}{h^2} \\ f_{7,1}-\frac{u_{7,0}+u_{8,1}}{h^2} & f_{7,2}-\frac{u_{8,2}}{h^2} & f_{7,3}-\frac{u_{8,3}}{h^2} & f_{7,4}-\frac{u_{8,4}}{h^2} & f_{7,5}-\frac{u_{8,5}}{h^2} & f_{7,6}-\frac{u_{8,6}}{h^2} & f_{7,7}-\frac{u_{8,7}+u_{7,8}}{h^2} \end{bmatrix}.

Vamos a calcular uno a uno los elementos de la nueva malla mediante los dos métodos (restricción directa sobre la matriz anterior o restricción sobre las fronteras)  ya que con que salga alguno distinto ya podremos concluir su no equivalencia. Empezamos:

\frac{u_{1,2}^{2h}+u_{2,1}^{2h}-4u_{1,1}^{2h}}{(2h)^2} = \frac{1}{16} [ f_{1,1}-\frac{u_{1,0}+u_{0,1}}{h^2}+f_{1,3}-\frac{u_{0,3}}{h^2}+f_{3,1}-\frac{u_{3,0}}{h^2}+f_{3,3} +

+ 2(f_{1,2}-\frac{u_{0,2}}{h^2} + f_{2,1}-\frac{u_{2,0}}{h^2} +f_{2,3} + f_{4,2} ) + 4 f_{2,2} ]

Si primero aplicamos la restricción a las fronteras nos quedan:

\begin{bmatrix} \frac{u_{0,1} + 2u_{0,2} + u_{0,3}}{4} & \frac{u_{0,3} + 2u_{0,4} + u_{0,5}}{4} & \frac{u_{0,5} + 2u_{0,6} + u_{0,7}}{4} \end{bmatrix},

\begin{bmatrix} \frac{u_{1,0} + 2u_{2,0} + u_{3,0}}{4} \\ \frac{u_{3,0} + 2u_{4,0} + u_{5,0}}{4} \\ \frac{u_{5,0} + 2u_{6,0} + u_{7,0}}{4} \end{bmatrix} \,\,\,\,\,\,\, \begin{bmatrix} \frac{u_{1,8} + 2u_{2,8} + u_{3,8}}{4} \\ \frac{u_{3,8} + 2u_{4,8} + u_{5,8}}{4} \\ \frac{u_{5,8} + 2u_{6,8} + u_{7,8}}{4} \end{bmatrix}

\frac{1}{4}\begin{bmatrix} u_{8,1} + 2u_{8,2} + u_{8,3} & u_{8,3} + 2u_{8,4} + u_{8,5} & u_{8,5} + 2u_{8,6} + u_{8,7} \end{bmatrix},

y al calcular el primer término:

\frac{1}{16} [ f_{1,1} + f_{1,3} + f_{3,1} + f_{3,3} + 2(f_{1,2} + f_{2,1} + f_{2,3} + f_{4,2}) + 4 f_{2,2} ]

que combinado con las fronteras, tenemos:

\frac{u_{1,2}^{2h}+u_{2,1}^{2h}-4u_{1,1}^{2h}}{(2h)^2} = \frac{1}{16} [ f_{1,1} + f_{1,3} + f_{3,1} + f_{3,3} +

+ 2(f_{1,2} + f_{2,1} + f_{2,3} + f_{4,2}) + 4 f_{2,2} ] -

- \frac{1}{4}\frac{u_{0,1} + 2u_{0,2} + u_{0,3} + u_{1,0} + 2u_{2,0} + u_{3,0}}{(2h)^2}

y que es lo mismo que habíamos obtenido…

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