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Una función f:\Omega \rightarrow \mathbb{C} es diferenciable en z_0 \in \Omega si existe el límite:

f'(z_0) := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h},

donde f'(z_0) es la derivada de f(z) en z_0.

Diremos que f(z) es holomorfa en z_0 \in \Omega si es diferenciable en todos los puntos de un entorno \mathcal{U}(z_0). Diremos que es holomorfa  en \Omega si lo es \forall z \in \Omega. Diremos que una función es entera cuando \Omega = \mathbb{C}.

Si la función

f(z) = u(x,y) + i \, v(x,y)

es diferenciable en z_0 = (x_0,y_0) \in \Omega, existen u_x, u_y, v_x, v_y y cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (C-R):

u_x = v_y y u_y = -v_x.

Notar que para hablar de funciones holomorfas en relación a funciones de variable real, necesitamos funciones de dos variables cumpliendo C-R.

El principio del módulo máximo, que es un teorema, nos dice que si f(z) es holomorfa y no constante en un dominio abierto y conexo (si no es conexo, el teorema es válido para cada componente conexa) \Omega entonces |f(z)| no tiene ningún máximo en \Omega.

Tenemos dos corolarios:

  1. si \Omega acotado y f es contínua en \bar{\Omega}, entonces f asume el máximo en la frontera \partial \Omega,
  2. si tomamos g:=1/f tenemos el principio del módulo mínimo y su correspondiente versión en compactos.

Finalmente, diremos que una función u es armónica si cumple la ecuación de Laplace \Delta u = 0. Es fácil demostrar que si f (z)= u(x,y) + i \, v(x,y) es holomorfa en \Omega entonces u(x,y) y v(x,y) son armónicas en \Omega. Se las llama armónicas conjugadas.

Existe una versión del principio del módulo máximo para funciones armónicas: si u(x,y) es armónica en un dominio simplemente conexo \Omega, entonces la función u(x,y) no tiene ningún máximo en \Omega.

No hay que confundir los dos conceptos del título del post. Por un lado tenemos claramente definido el concepto de serie convergente: una serie es convergente si la sucesión de las sumas parciales tiene límite. Por otro, existen métodos de sumación, que pretenden extender, de manera consistente, la asignación de un valor de suma a una serie divergente en el sentido anterior.

Sin entrar en criterios de convergencia de series, existe una manera muy sencilla de saber si una serie diverge: si la sucesión de términos no tiende a cero, entonces la serie diverge:

\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty.

Por ejemplo, las series:

\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n = 1 - 2 + 3 - \ldots

\sum_{n=1}^{\infty} n = 1 + 2 + 3 + \ldots

son divergentes, ya que la sucesión de sus correspondientes sumas parciales (1,-1,2,-2\ldots; 1,3,6,10,\ldots ) no tiene límite o, por el criterio anterior, \lim_{n \rightarrow \infty} (-1)^{n-1} n \neq 0 y \lim_{n \rightarrow \infty} n \neq 0.

Sin embargo, podemos asignarle un valor a esta suma (jugando apropiadamente con los términos :-)). En el primer caso, ya Euler encontró que:

\sum_{n=1}^{\infty} n = 1 - 2 +3 -4 + \ldots = \frac{1}{4},

y posteriormente se establecieron métodos bien definidos para encontrar sumas generalizadas de series divergentes.

En el segundo caso, podemos utilizar la extensión analítica (de funciones analíticas y sus extensiones comenté algo en este post) de la función zeta de Riemann (una nota curiosa aquí):

\zeta(s):=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \ldots,

ya que nuestra serie no es mas que \zeta(-1) y, como se puede demostrar que:

\zeta(-s) = \frac{B_{s+1}}{s+1},

donde B_n son los números de Bernoulli, entonces tenemos que:

\sum_{n=1}^{\infty} n = 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots = -\frac{1}{12},

En este post, Tao da una interpretación matemáticamente consistente de lo que son estos valores.

Teorema de Laurent.

Definición (serie de Laurent): Sea z_0 \in \mathbb{C}. Una serie de Laurent en z_0 es formalmente una expresión de la forma:

\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n (z-z_0)^n con a_n \in \mathbb{C}.

Llamaremos parte analítica a \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n y parte principal a \sum_{n=1}^\infty a_n (z-z_0)^{-n}. Diremos que la serie es convegente en z si lo son su parte analítica y su parte principal.

Definición (anillo): Llamaremos anillo centrado en z_0 de radio menor r y radio mayor R a:

A(z_0;r,R):= \{ z \in \mathbb{C}: r < |z-z_0| < R\}.

En el caso que r=0 entonces A(z_0;0,R) = D(z_0,R)-\{z_0\} = D'(z_o,R) tenemos un disco perforado. Si r=0 y R=\infty entonces A(z_o;0,\infty) = \mathbb{C}-\{z_0\}. Finalmente, si r \neq 0 y R = \infty entonces A(z_0,r,\infty = \mathbb{C}-\overline{D(z_o,r)}.

Teorema (de Laurent): Si f \in \mathcal{H}(A(z_0;r,R)) entonces existe a_n \in \mathbb{C} tal que:

f(z)= \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n(z-z_0)^n para todo $z \in A(z_0;r,R)$.

demostración:

Clasificación de singularidades aisladas

Teorema de los residuos.

Definición (función meromorfa): Sea f:U-A \longrightarrow \mathbb{C} una función analítica con U \subset \mathbb{C} un abierto y A el conjunto de singularidades aisladas de f. Diremos que f es una función meromorfa en U.

Teorema (de los residuos)

Integrales tipo I, II, III, IV, V i VI

El teorema de los residuos es una parte fundamental de la variable compleja y es una generalización del teorema integral de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy.

Fórmula integral de Cauchy

Sean \Omega \subset \mathbb{C} un abierto simplemente conexo (I(\gamma,z) = 0 si z \notin \Omega), f \in \mathcal{H}(\Omega) y \gamma un ciclo tal que \gamma^* \subset \Omega. Entonces, para z \in \Omega-\gamma^*:

\frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{f(u)}{u-z}du = f(z) I(\gamma,z).

demostración:

Teorema integral de Cauchy.

Sean \Omega \subset \mathbb{C} un abierto simplemente conexo (I(\gamma,z) = 0 si z \notin \Omega), f \in \mathcal{H}(\Omega) y \gamma un ciclo tal que \gamma^* \subset \Omega. Entonces, para z \in \Omega-\gamma^*:

\int_\gamma f(u)du = 0

demostración:

Fórmula integral de Cauchy para las derivadas.

Sean \Omega \subset \mathbb{C} un abierto simplemente conexo (I(\gamma,z) = 0 si z \notin \Omega), f \in \mathcal{H}(\Omega) y \gamma un ciclo tal que \gamma^* \subset \Omega. Entonces, para z \in \Omega-\gamma^*:

\frac{n!}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}}du = f^{n)}(z) I(\gamma,z)

demostración:

Uno de los grandes logros de la variable compleja es su efectividad a la hora de permitir demostrar resultados muy alejadas de su aparente alcance. Un claro ejemplo de esto es su aplicación a la demostración del teorema fundamental del algebra. A continuación presentamos una demostración del mismo junto con unos resultados previos que necesitaremos para la misma.

Desigualdad de Cauchy

Sea f una función analítica, es decir, f = \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n con z \in D(z_0,R). Sea 0 < r < R y

M(r) := \max (|f(z)|:|z-z_0|=r).

Entonces

|a_n| \leq \frac{M(r)}{r^n}

demostración:

a_n = \frac{f^{n)}(z_0)}{n!}

ya que f'(z) = \sum_{n=1}^\infty n\,a_n (z-z_0)^{n-1}, por lo que f'(z_0) = 1 \cdot a_1. De la misma manera, f''(z) = \sum_{n=2}^\infty (n-1)n\,a_n (z-z_0)^{n-2}, por lo que f''(z_0) = 2 \cdot 1 \cdot a_2, etc.

Si aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para las derivadas:

f^{n)}(z) = \frac{n!}{2 \pi i} \int_{C(z_0,R)} \frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}} du,\, \forall z \in D(z_0,R)

tenemos:

a_n = \frac{1}{2 \pi i} \int_{C(z_0,r)} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz

por lo que si aplicamos la propiedad de que |int_\gamma f(z) dz| \leq L(\gamma) \, \max \{ |f(z)| : z \in \gamma([a,b]) \}, nos queda:

|a_n| \leq \big | \frac{1}{2 \pi i} \big | (2 \pi r) \max_{|z-z_0|=r} \big | \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} \big |.

Como |\frac{1}{2 \pi i}| = \frac{1}{2 \pi} y

\max_{|z-z_0|=r} \big | \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} \big | = \max_{|z-z_0|=r} \frac{|f(z)|}{r^{n+1}}

entonces:

|a_n| \leq \frac{r}{r^{n+1}} \max_{|z-z_0|=r} |f(z)| = \frac{M(r)}{r^n} \,\Box

Teorema de Liouville

Sea f \in \mathcal{H}(\mathbb{C}), f no constante. Entonces f no está acotada.

demostración:

Vamos a demostrar el reciproco, es decir, que si f\in \mathcal{H}(\mathbb{C}) y f está acotada, entonces f es necesariamente constante.

Para empezar, como f es holomorfa, entonces es analítica y

f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n, \, \forall z \in \mathbb{C}.

Fijamos 0 < r < +\infty. Si le aplicamos ahora la desigualdad de Cauchy, nos queda

|a_n| \leq \frac{M(r)}{r^n}.

que, como f está acotada, es decir, \exists C > 0: |f(z)| \leq C, \, \forall z \in \mathbb{C}, que no depende de r, nos queda:

|a_n| \leq \frac{C}{r^n}.

Finalmente, si n \geq 1 entonces |a_n| \leq \lim_{r \rightarrow \infty} \frac{C}{r^n} = 0, por lo que f(z) = a_0 que implica que f es constante \forall z \in \mathbb{C} \, \Box

Lo que nos está diciendo el teorema de Liouville, por ejemplo, es que la función sin(z) no está acotada (a diferencia de lo que ocurre en variable real), pues solo lo estan las funciones constantes.

Teorema fundamental del Álgebra

Sea p(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \ldots + a_n z^n un polinomio no constante. Entonces la ecuación p(z)=0 tiene solución.

demostración:

Vamos a proceder por reducción al absurdo. Supondremos que p(z) \neq 0, \, \forall z \in \mathbb{C} y consideraremos la función f(z) = \frac{1}{p(z)}. Es fácil ver que f(z) \in \mathcal{H}(\mathbb{C}) y que no es constante.

Veremos que f(z) está acotada, lo que supondra una contradicción con Liouville. Efectivamente, para p(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \ldots + a_n z^n, como n \geq 1 y a_n \neq 0, tiene sentido escribir p(z) como:

p(z) = z^n (a_n + \frac{a_{n-1}}{z} + \ldots + \frac{a_0}{z^n})

con lo que, si tomamos valores absolutos y utilizando que |a+b| \geq |a|-|b|, nos queda:

|p(z)| \geq |z|^n (|a_n| - \frac{|a_{n-1}|}{|z|} - \ldots - \frac{|a_0|}{|z|^n})

\,\Box

Proposición:

Sea p(z) un polinomio de grado n \geq 1. Entonces:

p(z) = a(z-z_1)^{k_1}(z-z_2)^{k_2}\ldots (z-z_m)^{k_m} con \sum_{i=1}^m k_i = n.

demostración: (por inducción sobre n)

a) Si n=1 entonces p(z)=az+b con a \neq 0. Sea z_1 tal que p(z_1) =0. Entonces:

p(z) = az -az_1 + az_1 + b = a(z-z_1), pues az_1 + b = 0.

b) Suponemos que para grado \leq n es cierto y sea p(z) un polinomio de grado n+1.

Fórmula integral de Cauchy para las derivadas.

Sea f(z) \in \mathcal{H}(A) y \overline{D(z_0,R)} \subset A. Entonces:

f^{n)}(z) = \frac{n!}{2 \pi i} \int_{C(z_0,R)} \frac{u}{u-z}du, \, \forall z \in D(z_0,R).

demostración:

Sabemos que f(\xi) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{C(z_0,R)} \frac{f(u)}{u-\xi}du siempre que |\xi - z_0|<R.

Fijamos ahora z \in D(z_0,R) y escogemos 0 < r < R: D(z,r) \subset D(z_0,R). Tenemos un teorema que nos asegura que si |\xi - z| < r entonces:

f(\xi) = \frac{1}{2 \pi i} \sum_{n=0}^\infty (\int_{C(z_0,R)} \frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}} du) (\xi - z)^n,

por lo que:

\frac{f^{n)}(z)}{n!} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{C(z_0,R)} \frac{u}{u-z}du

Aplicaciones:

1. Calcular

\int_{C(0,\frac{1}{2})} \frac{e^z}{z(1-z)^2}dz.

En este caso, la única singularidad que queda dentro de la circunferencia es el 0. Tenemos que aislarla, por lo que escribimos la integral de la siguiente forma:

\int_{C(0,\frac{1}{2})} \frac{\frac{e^z}{(1-z)^2}}{z-0} dz = \int_{C(0,\frac{1}{2})} \frac{f(z)}{(z-0)}

con f(z):=\frac{e^z}{(1-z)^2}. Ahora tenemos que f(z) es holomorfa en todos los puntos excepto en el 1, que no está dentro de la circunferencia que consideramos en la integral i, por tanto, podemos aplicar el teorema integral de Cauchy para las derivadas y obtenemos

\int_{C(0,\frac{1}{2})} \frac{f(z)}{z} = 2 \pi i f(0) = 2 \pi i

ya que f(0) = \frac{e^0}{(1-0)^2} = 1.

2. Calcular

\int_{C(1,\frac{1}{2})} \frac{e^z}{z(1-z)^2}dz.

Ahora, la singularidad que queda dentro de la circunferencia es el 1 y tenemos que aislarlo para poder aplicar el teorema integral para derivadas. Escribimos

\int_{C(1,\frac{1}{2})} \frac{\frac{e^z}{z}}{(z-1)^2} = 2 \pi i f'(1)

aplicando el teorema. De esta manera, como f'(z) = \frac{ze^z - e^z}{z^2} y f'(1)=0, donde f(z):=\frac{e^z}{z}, nos queda que la integral vale 0.

3. Calcular

I:=\int_{C(0,2)} \frac{e^z}{z(1-z)^2}dz.

Ahora las dos singularidades están dentro de la circunferencia considerada. Lo que haremos es decomponer \frac{1}{z(z-1)^2} en fracciones simples:

\frac{1}{z(z-1)^2} = \frac{A}{z} + \frac{B}{z-1} + \frac{C}{(z-1)^2}.

Esto nos lleva a un sistema cuya solución es A=1=C, B=-1, por lo que podemos escribir:

I = \int_{C(0,2)} \frac{e^z}{z} dz - \int_{C(0,2)} \frac{e^z}{z-1} dz + \int_{C(0,2)} \frac{e^z}{(z-1)^2}

de manera que podemos aplicar la fórmula integral de Cauchy para las derivadas, con f(z):=e^z que es holomorfa en todo el plano, a cada integral:

I = 2 \pi i (f(0) - f(1) + f'(1)) = 2 \pi i (1 - e + e) = 2 \pi i.

Integración en el plano complejo.

Definición (Camino, camino opuesto y caminos equivalentes): Un camino es una aplicación

\gamma:[a,b] \longrightarrow \mathbb{C}

de clase C^1 a trozos. Si además \gamma(a) = \gamma(b) entonces tenemos un camino cerrado.

Se llama camino opuesto de \gamma a la aplicación

(-\gamma):[-b,-a] \longrightarrow \mathbb{C} \,/\, t \mapsto (-\gamma)(t):=\gamma(-t)

o, de manera equivalente, para mantener el mismo dominio

(-\gamma):[a,b] \longrightarrow \mathbb{C} \,/\, t \mapsto (-\gamma)(t):=\gamma(a+b-t).

Dados dos caminos \alpha:[a,b] \longrightarrow \mathbb{C} y \beta:[c,d] \longrightarrow \mathbb{C} son equivalentes si existe \varphi:[c,d] \longrightarrow [a,b] biyectiva de clase C^1a trozos creciente de manera que $\beta = \alpha \circ \varphi$.

Definición (Integración a lo largo de un camino): Sea f:U \subset \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C} una función continua y sea \gamma:[a,b] \longrightarrow \mathbb{C} un camino C^1 tal que \gamma^* := \gamma([a,b]) \subset U. Entonces:

\int_\gamma f(z) dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt

Propiedades: Dada f:A \subset \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C} es sencillo demostrar

  1. \int_\gamma a f(z)+b g(z) dz = a \int_\gamma f(z)dz + b \int_\gamma f(z)dz.
  2. Si \alpha y \beta son equivalentes en A entonces \int_\alpha f(z)dz = \int_\beta f(z)dz.
  3. \int_\gamma f(z)dz = -\int_{-\gamma} f(z)dz.
  4. Si \gamma = \alpha \cup \beta entonces \int_\gamma f(z)dz = \int_\alpha f(z)dz + \int_\beta f(z)dz.
  5. |\int_\gamma f(z)dz| \leq M L(\gamma) donde M:= \max \{ |f(z)|: z \in \gamma^* \} y L(\gamma) es la longitud de la curva \gamma.
  6. Teorema fundamental de cálculo: \int_\gamma f(z) dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)), siendo F una primitiva de f. En particular, si \gamma es cerrado y \gamma(a) = \gamma(b) entonces \int_\gamma f(z) dz = 0.

Teorema de Cauchy.

Teorema (de Cauchy)

Corolario (Existencia de primitiva de una función analítica)

Teorema (de Morera)

Fórmula de Cauchy.

Fórmula integral de Cauchy: Sea A un abierto, sea \overline{D(z_0,R)} \subset A y f \in \mathcal{H}(A). Entonces

f(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{C(z_o,R)} \frac{f(u)}{u-z} du siempre que |z-z_0|<R

Fórmula integral de Cauchy para derivadas: Sea f \in \mathcal{H}(A), \overline{D(z_0,R)} \subset A. Entonces

f^{n)}(z) = \frac{n!}{2 \pi i} \frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}}du,\, \forall z \in D(z_0,R).

Teorema (de Liouville):

Teorema (fundamental del álgebra):

Teorema (de Weierstrass):

Definición (Indice de un punto respecto de un camino): Sea \gamma un camino y sea A = \mathbb{C} - \gamma^*. Entonces se define el índice de z \in A respecto de \gamma al número:

ind_\gamma(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{du}{u-z}

Definición (Función exponencial): Sea z \in \mathbb{C}, definimos:

\exp(z) = e^z := \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!} \in C^\infty(\mathbb{C}).

Propiedades: Es sencillo verificar que (e^z)' = e^z, e^{z+w} = e^z e^w y e^z \neq 0, e^{-z} = \frac{1}{e^z}. Además:

e^z = 1 \Leftrightarrow z = 2\pi n i con n \in \mathbb{N}.

Por lo que la función exponencial compleja es periódica de periodo imaginario 2\pi.

Definición (Funciones trigonométricas e hiperbólicas): Sea z \in \mathbb{C}, definimos:

\sin(z):=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, por lo que \sin(z) = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}

\cos(z):=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, por lo que \cos(z) = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}

\sinh(z):=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\cosh(z):=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}

Propiedades: Las funciones trigonométricas y las hiperbólicas son holomorfas y de clase C^\infty(\mathbb{C}). Además, se cumple:

\sin(z \pm w) = \sin(z) \cos(w) \pm \cos(z) sin(w),

\cos(z \pm w) = \cos(z) \cos(w) \mp \sin(z) sin(w),

\sinh(z \pm w) = \sinh(z) \cosh(w) \pm \cosh(z) sinh(w),

\cosh(z \pm w) = \cosh(z) \cosh(w) \pm \sinh(z) sinh(w).

Además, \sin^2 z + \cos^2 z = 1, son 2\pi-periódicas, \sin(z) = 0 \Leftrightarrow z = n \pi y \cos(z)=0 \Leftrightarrow z = \frac{\pi}{2} + n \pi con n \in \mathbb{N}.

Definición (Argumento): Sea z \in \mathbb{C} - \{ 0\}, diremos que \alpha es un argumento de z si z = |z|(\cos \alpha + i \sin \alpha). Definimos:

\arg z := \{ \alpha \in \mathbb{R}: z=|z|(\cos \alpha + i \sin \alpha)\},

y si \alpha_0 \in \arg z entonces:

\arg z := \{ \alpha_0 + 2 \pi n : n \in \mathbb{Z} \}.

Definición (Logaritmo y ramas del logaritmo): Sea z \in \mathbb{C}-\{0\}. Diremos que w \in \mathbb{C} es un logaritmo de z si e^w = z. Así pues, definiremos:

\log z := \{ w \in \mathbb{C}: e^w = z\}.

Además, si w=x+iy entonces w = \log z = \ln |z| + i \arg z

Definición: Sea \alpha \in \mathbb{R} y H_\alpha=\{ -r(\cos \alpha + i \sin \alpha): r \geq 0 \}. Definimos \arg_\alpha: \mathbb{C} - H_\alpha \longrightarrow ]\alpha - \pi, \alpha + \pi[ como el único argumento de z en el intervalo ]\alpha - \pi, \alpha + \pi[.

Definición: Sea \alpha \in \mathbb{R} y H_\alpha = \{ -r (\cos \alpha + i \sin \alpha): r \geq 0 \}. Entonces:

log_\alpha: \mathbb{C} - H_\alpha \longrightarrow \mathbb{C} / z \mapsto \log_\alpha(z) = \ln |z| + i \arg_\alpha z

Teorema: La función \log_\alpha es derivable en \mathbb{C} - H_\alpha y la derivada es (log_\alpha z)' = \frac {1}{z}. Además, log_0 (1+z) = \sum_{n \geq o} (-1)^n \frac{z^{n+1}}{n+1} donde \log_0 es el logaritmo principal (\alpha = 0 y H_0 = \{ -r: r \geq 0 \} ). El logaritmo no se puede extender continuamente.

Definición (Función holomorfa): Sean U \subset \mathbb{C} abierto, f: U \longrightarrow \mathbb {C} y z_0 \in U. Decimos que f es holomorfa (derivable o entera) en z_0 si existe:

\lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = f'(z_0).

Diremos que es derivable en U si lo es todo sus puntos. Representaremos por \mathcal{H}(U) al conjunto de todas las funciones holomorfas en U. Si f \in \mathcal{H}(U) entonces también es continua en U.

Teorema (Reglas de derivación): es sencillo deducir las reglas de derivación compleja para la suma, producto, cociente y la regla de la cadena.

Teorema: Sea f(z) = \sum_{n \geq 0} c_n (z-z_0)^n una serie de potencias con radio de convergencia R>0. Entonces f es holomorfa en D(z_0,R) y f'(z) = \sum_{n \geq 1} n c_n z^{n-1} con radio de convergencia R.

Corolario: Si f es analítica en U entonces f es holomorfa en U y f \in C^{\infty}(U) (el recíproco veremos que también es cierto).

Definición (Ecuaciones de Cauchy-Riemann): Si f(z) = u + iv es derivable en z_0 = x_0 + i y_0, entonces existen las derivadas parciales u_x, u_y, v_x, v_y y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

u_x = v_y y u_y = -v_x.

De esta manera, las funciones derivables complejas no son mas que funciones diferenciables de \mathbb{R}^2 cumpliendo unas ecuaciones adicionales.

Teorema (Condición suficiente de derivabilidad): Sea f: U \longrightarrow \mathbb{C} continua con U \subset \mathbb{C} abierto y f(z)=u+iv. Si las cuatro derivadas parciales u_x, u_y, v_x, v_y existen, son continuas en U y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f es derivable en U.

Consideraremos el plano complejo \mathbb{C} dotado de la topología inducida a partir del módulo con la distancia d(z,w) = |z-w|. Llamaremos disco abierto de centro z_0 y radio r al conjunto:

D(z_0,r):= \{ z \in \mathbb{C}: |z-z_0|<r \}.

Dada una sucesión de números complejos \{ z_n \}_{n \geq 0}, diremos que es convergente a un número complejo z cuando |z-z_0| \rightarrow 0 si n \rightarrow \infty.

Una serie \sum_{n \geq 0} z_n es convergente a z \in \mathbb{C} cuando la sucesión de sumas parciales \{ \sum_{n=0}^m z_n\}_{m \geq 0} es convergente a z.

La serie \sum_{n \geq 0} z_n es absolutamente convergente cuando \sum_{n \geq 0} |z_n| converge.
Teorema (Criterio de la raíz o Cauchy, de Dirichlet, de sumación parcial de Abel, de Dirichlet y de Abel): son una serie de criterios que permiten determinar cuando una serie es convergente, absolutamente convergente o divergente.

Una serie de potencias centrada en z_0 \in \mathbb{C}, es una serie de la forma:

\sum_{n \geq 0} c_n (z-z_0)^n

con c_n, z \in \mathbb{C}. Al punto z_0 se le llama centro de la serie y a la sucesión \{ c_n \} coeficientes de la serie de potencias.

Definición (Radio de convergencia): Definimos el radio de convergencia como:

R = (\limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_n|})^{-1} \in [0,+\infty[,

donde asumiremos que \frac{1}{+\infty}=0 y \frac{1}{0} = +\infty y que R = +\infty \Rightarrow D(z_0,R) = \mathbb{C}.

Teorema (Cauchy-Hadamard): Sea R el radio de convergencia de \sum_{n \geq 0} c_n (z-z_0)^n, entonces la serie converge absolutamente en |z-z_0|<R y diverge en |z-z_0|>R. Además, la serie converge uniformemente en |z-z_0| \leq r con 0 \leq r < R (subconjuntos compactos de D(z_0,R)).

Corolario: la serie de potencias \sum_{n \geq 0} c_n (z-z_0)^n define una función continua en el interior del disco de convergencia |z-z_0| < R.

Teorema (Principio de los ceros aislados): Sea

f(z)= \sum_{n \geq 0} c_n (z-z_0)^n

con radio de convergencia R > 0. Entonces si f(z_0) = 0 y f no es idénticamente nula, existe \delta > 0 tal que f(z) \neq 0 si 0< |z-z_0|< \delta.

Lo que nos dice este principio es, sencillamente, que los ceros de las funciones analíticas no son puntos de acumulación, es decir, que son puntos aislados.

Definición (Función analítica): Sea U \subset \mathbb{C} un abierto, f:U \longrightarrow \mathbb{C} y z_0 \in U. Diremos que f es analítica en z_0 si existe D(z_0,R) \subset U tal que f podemos escribirla mediante una serie de potencias centrada en z_0 en D(z_0,R). Diremos que f es analítica en U si lo es en cada punto de U.

Ejemplo: los polinomios y las series de potencias centradas en z_0 son funciones analíticas en z_0.

Definición (Prolongación analítica): Si h: V \longrightarrow \mathbb{C} y f: U \longrightarrow \mathbb{C} son dos funciones analíticas con V \subset U \subset \mathbb{C} abiertos de manera que f(z) = h(z) si z \in V, o sea, f|_V = h, diremos que f es una prolongación analítica de h.

Teorema (Principio de prolongación analítica): Sea U un abierto conexo del plano. Sea V \subset U un conjunto de puntos que tiene puntos de acumulación en U, o sea, ac_U(V) \neq \emptyset. Entonces, si f es analítica en U y la restricción de f sobre V es f|_V = 0, entonces f=0 en U.

Corolario: Sean f, g analíticas en un abierto conexo U y sea V \subset U tal que ac_U(V) \neq \emptyset y f|_V = g|_V. Entonces f = g en U.

Con todo esto, resulta que las extensiones analíticas son únicas si el dominio de éstas es conexo, es decir, si f: U \longrightarrow \mathbb{C} y g: U \longrightarrow \mathbb{C} con U \subset \mathbb{C} conexo son dos prolongaciones analíticas de h: V \longrightarrow \mathbb{C}, entonces f = g en todos los puntos. Esto se debe a que f-g: U \longrightarrow \mathbb{C} se anula en V que es un conjunto no vacío de U, y una función analítica que se anula en un conjunto no vacío debe anularse en todo su dominio si este es conexo, por lo que debe ser f-g \equiv 0.

Cuando exigimos que las funciones de transición del atlas que recubre una variedad diferenciable sean holomorfas podemos decir que tenemos una variedad compleja. En particular, toda variedad compleja de dimensión n será una variedad diferenciable de dimensión 2n dotada de una orientación natural. Las superfícies de Riemann, o los grupos de Lie con operaciones de grupo holomorfas son ejemplos de variedades complejas.

Las variedades lorentzianas son importantes en relatividad general. La mecánica cuántica tiene su base matemática en los espacios de Hilbert complejos separables (L^2(\mathbb{R}) o \mathbb{C}^{2n+1}).

Existen diferentes maneras de definir el cuerpo de los números complejos. La mas intuitiva es hacer tomar el conjunto \mathbb{R} \times \mathbb{R} y definir las operaciones internas:

  • (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2) .
  • (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + x_2 y_1).

con (x_1,y_1), (x_2, y_2) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}. Es sencillo comprobar que \mathbb{C} := (\mathbb{R} \times \mathbb{R}, +, \cdot) tiene estructura de cuerpo.

Otra manera mas elegante es ver que \mathbb{C} \cong \frac{\mathbb{R}[x]}{(x^2+1)} donde (x^2+1) es el ideal generado por el polinomio irreducible x^2+1 \in \mathbb{R}[x], pues existe una propiedad que nos dice que un anillo conciente de este tipo tiene estructura de cuerpo.

El análisis complejo se encarga del estudio de las funciones de variable compleja. En próximos posts exponemos de manera breve algunos de los contenidos básicos del área: funciones analíticas, funciones holomorfas, funciones elementales, integración en el plano complejo con formula y teorema de Cauchy y teoremas de Laurent y de los residuos con algunas aplicaciones.

junio 2017
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