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En el artículo técnico What would a binary black hole merger look like?  se simula, mediante técnicas de ray tracing, como vería un observador externo el merge de dos agujeros negros (del artículo y del sitio web de los autores están sacadas prácticamente todas las imágenes).

Si estamos mirando hacia algún sitio, digamos:

ClockTower-400x300

y pasa un agujero negro frente a nosotros, lo primero que se nos viene a la cabeza es la siguiente imagen:

ClockTower-400x300b

ya que como de un agujero negro no puede escapar nada, ni la luz, pensamos que veríamos una simple esfera negra tapando un trozo de nuestra visión. Sin embargo, una imagen mas realista de lo que veríamos es:

ClockTower_BH-400x300debido a la curvatura que experimentan los rayos de luz por la curvatura del espacio-tiempo que genera el agujero negro: efecto de lente gravitacional.

Colocando una imagen de fondo más métrica, así es como se verían los espacios de Minkowski, Schwarzschild y Kerr.

analyticSpacetimesSi en lugar de un agujero negro tenemos un sistema binario de agujeros negros de igual masa, entonces tendríamos:

bbhSystem

Finalmente, una animación del merge:

Una de las consecuencias mas asombrosas de la relatividad general de Einstein son los agujeros negros: soluciones de éstas en las que la curvatura del espacio-tiempo es tan extrema que incluso los rayos de luz quedan atrapados. Se cree que los agujeros negros se forman durante la muerte de estrellas con suficiente masa cuando ésta colapsa hacia dentro. Aunque no se pueden ver, las evidencias gravitacionales observadas consistentes con las predicciones avalan su existencia.

La definición mas intuitiva para la singularidad espacio-temporal es la de punto con curvatura infinita (aunque la mas apropiada técnicamente tiene que ver con cierto tipo de geodésicas incompletas).

 

Calculamos la curvatura escalar R para la métrica de Kerr-Newman, es decir, para la solución analítica a las ecuaciones de Einstein en presencia de momento y de carga (J \neq 0 y Q \neq 0).

La métrica es:

g = -\frac{J^2+M^2 \left(Q^2+r (-2 M+r)\right)+J^2 \text{Sin}[\theta ]^2}{M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta ]^2} dt \otimes dt +

+ 2 \frac{J M \left(Q^2-2 M r\right) \text{Sin}[\theta ]^2}{M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta ]^2} dt \tilde{\otimes} d\varphi +

+ \frac{M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta ]^2}{J^2+M^2 \left(Q^2+r (-2 M+r)\right)} dr \otimes dr +

r^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\theta ]^2}{M^2} d\theta \otimes d\theta +

+ \frac{\left(\frac{J^2}{M^2}+r^2\right)^2 \text{Sin}[\theta ]^2}{r^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\theta ]^2}{M^2}}+\frac{J^2 \text{Sin}[\theta ]^4}{M^2} d\varphi \otimes d\varphi.

Como ya hemos hecho con la métrica de Kerr, solo mostramos una componente de cada elemento calculado debido a su extrema complejidad (como para realizar los cálculos manualmente…):

R^{r}_{\theta \varphi t}:

tRiemann_kn_rthvpt

R_{r \theta}:

tRicci_kn_rth

Utilizando nuestras funciones, obtenemos los siguientes gráficos:

M=0.9, J=0.1, Q=0.5:

R_M09_J01_Q05

M=0.9, J=0.1, Q=0.25:

R_M09_J01_Q025

M=1, J=1, Q=1:

R_M1_Q1_J1

M=0.1, J=0.9, Q=0.5:

R_M01_J09_Q05

Volvemos a representar los gráficos de este post pero ahora en coordenadas cilíndricas, que tienen mas sentido:

Calcularemos el tensor de Riemann, el de Ricci y la curvatura escalar para la métrica de Kerr correspondiente a un agujero negro en rotación y sin carga eléctrica (J \neq 0, Q=0), cuya métrica ya utilizamos.

A continuación, mostramos nuestras funciones para realizar los calculos automáticamente:

tensor de Riemann:

riemanNd

tensor de Ricci:

ricciNd

curvatura escalar:

rNd

y obtenemos (solo escribiremos una elemento de cada debido a su complejidad):

R^{t}_{tt\varphi}:

tRiemann_rtttvp

donde x1=t, x2=r, x3=\theta, x4=\varphi.

R_{r\theta}:

tRicci_rth

y dos gráficas correspondientes a su curvatura escalar R:

curvaturaEscalar3D2

curvaturaEscalar3D

En la definición de la métrica, tenemos la restricción 0 \leq \frac{a}{M} \leq 1, que en nuestro caso, como imponemos M=1, nos queda 0 \leq J \leq 1. A continuación una serie de gráficos en los que hacemos el valor de

J=0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9, 1:

Como ya comentamos, existen diferentes soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein correspondientes a los diferentes tipos de BH en equilíbrio. En la tesis “Evolution formalism of Einstein equations: numerical and geometrical issues” de I. Cordero podemos encontrarlas.

Para empezar, la consideración de variedades de Lorentz con simetría esférica y tensor de Ricci nulo, nos lleva a la métrica de Schwarzschild (J=0, Q=0) que podemos escribir en diferentes sistemas de coordenadas:

Coordenadas de Schwarzschild (r,\theta,\varphi,\tau) con r > 2M y siendo \tau el tiempo propio:

g = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr \otimes dr + r^2 (d\theta \otimes d\theta + \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi)-(1-\frac{2M}{r})d\tau \otimes d\tau

que en forma matricial queda:

g=\begin{bmatrix} \frac{1}{1-\frac{2M}{r}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -(1-\frac{2M}{r}) \end{bmatrix}

y en física se suele escribir:

ds^2 = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2)-(1-\frac{2M}{r})d\tau^2

Además, como d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2 es la métrica de S^2 (S^2(\theta,\varphi) = (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta) en ]0,\pi[ \times ]0,2\pi[ de manera que g_{11} = S^2_\theta \cdot S^2_\theta = 1, g_{12} = g_{21} = S^2_\theta \cdot S^2_\varphi = 0 y g_{22} = S^2_\varphi \cdot S^2_\varphi = \sin^2 \theta, con lo que g = d\theta \otimes d\theta + sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi), tenemos:

ds^2 = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 d\Omega^2 - (1-\frac{2M}{r})d\tau^2

Coordenadas isotrópicas (\bar{r},\theta,\varphi,\tau) con r = \bar{r} (1 + \frac{M}{2\bar{r}})^2 respecto de las de Schwarzschild:

ds^2 = (1+\frac{M}{2\bar{r}})^4(d\bar{r}^2+ \bar{r}^2 d\Omega^2 )- \big (\frac{1-\frac{M}{2\bar{r}}}{1+\frac{M}{2\bar{r}}} \big) d\tau^2

Las métricas inducidas por estas dos métricas en las hipersuperficies de tiempo propio constante son conformemente planas y singulares en el horizonte.

Coordenadas de Painlevé-Gullstrand-Lemaître (r,\theta,\varphi, T) con dT = d\tau + \frac{\sqrt{\frac{2M}{r}}}{1-\frac{2M}{r}}dr respecto de las de Schwarzschild:

ds^2 = dr^2 + r^2 d\Omega^2 + 2 \sqrt{\frac{2M}{r}}dTdr - (1-\frac{2M}{r})dT^2

que en forma matricial queda:

g=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \sqrt{\frac{2M}{r}} \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta & 0 \\ \sqrt{\frac{2M}{r}} & 0 & 0 & -(1-\frac{2M}{r}) \end{bmatrix}

Coordenadas de Eddington-Finkelstein (t, r, \theta, \varphi) con t = \tau + 2M \ln |\frac{r}{2M} - 1| respecto de las de Schwarzschild:

ds^2 = \frac{1}{1+\frac{2M}{r}} dr^2 + r^2 d\Omega^2 + \frac{4M}{r} dtdr - (1-\frac{2M}{r})dt^2

que en forma matricial queda:

g=\begin{bmatrix} 1+\frac{2M}{r} & 0 & 0 & \frac{2M}{r} \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta & 0 \\ \frac{2M}{r} & 0 & 0 & -(1-\frac{2M}{r}) \end{bmatrix}

Las métricas inducidas por estas dos métricas en las hipersuperficies de tiempo constante son planas y regulares en el horizonte.

En el llibre “Geometria diferencial i relativitat” de J. Girbau tambe comenta les coordenadas de Kruskal-Szekeres (u,v,\theta,\varphi):

ds^2 = \frac{32M^3}{r} e^{-\frac{r}{2M}} (du^2 - dv^2) + r^2 d\Omega^2

donde

u=\sqrt{\frac{r}{2M}-1} e^{\frac{r}{4M}} \cosh \frac{\tau}{4M}

y

v=\sqrt{\frac{r}{2M}-1} e^{\frac{r}{4M}} \sinh \frac{\tau}{4M}

No hay singularidad física en r=2M, pero hay dos en r=0.

En segundo lugar, tenemos la métrica de Kerr (J \neq 0, Q = 0) que también podemos escribir en diferentes sistemas de coordenadas:

Coordenadas de Boyer-Lindquist (r,\theta,\varphi,t):

ds^2 = \frac{\rho^2}{\Delta} dr^2 + \rho^2 d\theta^2 + \tilde{w}^2(d\varphi - wdt)^2 - (\frac{\rho \sqrt{\Delta}}{\Sigma})^2dt^2

donde

\Delta = r^2 -2Mr + a^2

\rho^2 = r^2 + a^2 \cos^2 \theta

\Sigma^2 = (r^2 + a^2)^2 - a^2 \Delta \sin^2 \theta

w = \frac{2aMr}{\Sigma^2}

\tilde{w} = \frac{\Sigma \sin \theta}{\rho}

y siendo a el momento angular del BH. Fijando a=0 obtenemos el BH de Schwarzchild en coordenadas de Schwarzchild.

Coordenadas de Kerr-Schild (r,\theta,\bar{\varphi},\bar{t}):

ds^2 = \frac{Z^{2k}-1}{Z-1} dr^2 + \rho^2 d\theta^2+ \sin^2 \theta \rho^2 [1+Y(1+Z)] d\bar{\varphi}^2 - (1-Z) d\bar{t}^2+

+2a\epsilon \sin^2 \theta \frac{Z^{k+1}-1}{Z-1}drd\bar{\varphi} -2 \epsilon Z^k dr d\bar{t} -2 a \sin^2 \theta Z d\bar{\varphi}d\bar{t}

donde

Y = \frac{a^2 \sin^2 \theta}{\rho^2}, Z = \frac{2Mr}{\rho^2}

y \epsilon = +1(-1) regulariza el horizonte futuro (pasado) del BH. La relación con las anteriores coordenadas viene dada por

d\bar{\varphi} = d\varphi - \epsilon \frac{a}{\Delta} dr

d\bar{t} = dt - \epsilon [ \frac{1+Y}{1+Y-Z} - \frac{1-Z^k}{1-Z} ] dr

donde \Delta es la función horizonte, que es cero en el horizonte y hace que la componente g_{tt} de la métrica se anule.

Las estrellas con una masa mayor a 8 masas solares finalizan su evolución hidroestática con una supernova. El remanente de este evento puede ser tanto un agujero negro, en el caso de las estrellas mas masivas , o una estrella compacta, comunmente llamada estrella de neutrones, para el resto de estrellas.

Existe la posibilidad de que estos objetos sean en realidad estrellas de quarks.

junio 2017
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