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Los cálculos para cilíndricas, esféricas, esféricas compactificadas y cartesianas compactificadas ya están términados. Para hacer una pequeña comprobación de que son correctos, vamos a calcular, en cada caso, como quedaría la divergencia de un campo vectorial \mathcal{D}_i X^i utilizando las derivadas covariantes encontrados en los enlaces anteriores y compararla con el resultado que obtendriamos utilizando la fórmula para la divergencia en coordenadas curvilineas q^i:

\nabla \cdot \mathbf{X} = \frac{1}{\Pi_j h_j} \frac{\partial}{\partial q^i} (X^i \Pi_{j \neq i} h_j).

\{ \partial_r, \partial_{\theta}, \partial_z \}

\mathcal{D}_i X^i = \mathcal{D}_r X^r + \mathcal{D}_{\theta} X^{\theta} + \mathcal{D}_{z} X^{z} = \partial_r X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \frac{1}{r} X^{\theta} + \partial_z X^z,

\{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_{\theta}, \partial_z \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_r X^r + \frac{1}{r} \partial_{\theta} X^{\theta} + \frac{1}{r} X^{\theta} + \partial_z X^z,

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divCyl

\{ \partial_r, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_r X^r + \frac{2}{r} X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \partial_{\varphi} X^{\varphi},

\{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_{\theta}, \frac{\csc \theta}{r} \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{1}{r} \big [ r \partial_r X^r + 2 X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} \big ],

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divSph

\{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_{\bar{r}} X^r + \frac{1+\bar{r}}{1-\bar{r}} \frac{2}{\bar{r}} X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \partial_{\varphi} X^{\varphi},

\{ \frac{(1-\bar{r})^2}{a} \partial_{\bar{r}}, \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} \partial_{\theta}, \frac{1-\bar{r}}{a \bar{r}} \csc \theta \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{1 - \bar{r}}{a \bar{r}} \big [ (\bar{r} - \bar{r}^2) \partial_{\bar{r}} X^r + 2 X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} \big ],

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divSphCom1

\{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_{\bar{r}} X^r + \frac{4 \bar{r}}{(1-\bar{r})^2 \, \mbox{\scriptsize arctanh} \, \bar{r}} X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \partial_{\varphi} X^{\varphi},

\{ \frac{1-\bar{r}^2}{a} \partial_{\bar{r}}, \frac{1}{a \, \mbox{\scriptsize arctanh} \, \bar{r} } \partial_{\theta}, \frac{\csc \theta}{a \, \mbox{\scriptsize arctanh} \, \bar{r}} \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{1}{a \, \mbox{\scriptsize arctanh} \, \bar{r}} \big [ (1-\bar{r}^2) \, \mbox{arctanh} \, \bar{r} \partial_{\bar{r}} X^r + 2 X^r +

+ \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} \big ],

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divSphCom2

\{ \partial_{\bar{r}}, \partial_{\theta}, \partial_{\varphi} \}

\partial_{\bar{r}} X^r + ( \pi \tan \frac{\pi \bar{r}}{2} + 2 \pi \csc (\pi \bar{r} ) ) X^r + \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \partial_{\varphi} X^{\varphi},

\{ \frac{1 + \cos ( \pi \bar{r})}{a \pi} \partial_{\bar{r}} , \frac{ \cot \frac{ \pi \bar{r} }{2} }{a} \partial_{\theta} , \frac{ \cot \frac{ \pi \bar{r} }{2} }{a} \csc \theta \partial_{\varphi} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{ \cot \frac{ \pi \bar{r} }{2} }{a} \big [ \frac{1 + \cos ( \pi \bar{r} ) }{\bar{r}} \tan \frac{\pi \bar{r}}{2} \partial_{ \bar{r} } X^r + 2 X^r +

+ \partial_{\theta} X^{\theta} + \cot \theta X^{\theta} + \csc \theta \partial_{\varphi} X^{\varphi} \big ],

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divSphCom3

\{ \partial_{\bar{x}} , \partial_{\bar{y}}, \partial_{\bar{z}} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + \frac{2 \bar{x}}{1-\bar{x}^2} X^{\bar{x}} + \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} + \frac{2 \bar{y}}{1-\bar{y}^2} X^{\bar{y}} + \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}} + \frac{2 \bar{z}}{1-\bar{z}^2} X^{\bar{z}},

\{ \frac{|\bar{x}^2 -1|}{a} \partial_{\bar{x}} , \frac{|\bar{y}^2 -1|}{b} \partial_{\bar{y}}, \frac{|\bar{z}^2 -1|}{c} \partial_{\bar{z}} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{|\bar{x}^2 -1|}{a} \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + \frac{|\bar{y}^2 - 1|}{b} \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} + \frac{|\bar{z}^2 - 1|}{c} \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}},

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divCarCom1

\{ \partial_{\bar{x}} , \partial_{\bar{y}}, \partial_{\bar{z}} \}

\mathcal{D}_i X^i = \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + \pi \tan \frac{\pi \bar{x}}{2} X^{\bar{x}} + \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} + \pi \tan \frac{\pi \bar{y}}{2} X^{\bar{y}} + \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}} + \pi \tan \frac{\pi \bar{z}}{2} X^{\bar{z}}

\{ \frac{1 + \cos ( \pi \bar{x} ) }{a \pi} \partial_{\bar{x}} , \frac{1 + \cos ( \pi \bar{y} ) }{b \pi} \partial_{\bar{y}}, \frac{1 + \cos ( \pi \bar{z} ) }{c \pi} \partial_{\bar{z}} \}

\mathcal{D}_i X^i = \frac{1 + \cos ( \pi \bar{x} ) }{a \pi} \partial_{\bar{x}} X^{\bar{x}} + \frac{1 + \cos ( \pi \bar{y} ) }{b \pi} \partial_{\bar{y}} X^{\bar{y}} + \frac{1 + \cos ( \pi \bar{z} ) }{c \pi} \partial_{\bar{z}} X^{\bar{z}},

y con la fórmula para curvilineas obtenemos:

divCarCom2

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Ya vimos aquí que a partir de la parametrización de la esfera S(r):

\Phi(\theta,\varphi) = r(\sin \theta \cos \varphi,\sin \theta \sin \varphi, cos \theta) con \theta \in [0,\pi] y \varphi \in [0,2\pi],

obtenemos la métrica:

g = r^2 d\theta \otimes d\theta + r^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi,

donde la base para el espacio cotangente es \{ d\theta, d\varphi\} y para el tangente es \{ \partial_\theta, \partial_\varphi\}.

Supongamos que, como hicimos post, expresamos el cambio a esféricas mediante una carta, de manera que:

g_{ij} = dr \otimes dr + r^2 d\theta \otimes d\theta + r^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi.

Ya vimos que el espacio tangente es un espacio vectorial, de manera que podemos definir diferentes bases para el mismo. Es por tanto normal preguntarse cómo varia la métrica al realizar estos cambios.

Supongamos que a la base coordenada \{ \partial_r, \partial_\theta, \partial_\varphi \} la llamamos e_i = \{e_1, e_2, e_3\}, y su base dual es \{ dr, d\theta, d\varphi\}. Supongamos dos nuevas bases:

\hat{e}_i := \{ \hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3\} = \{ \partial_r, \frac{1}{r} \partial_\theta, \frac{1}{r^2 \sin \theta} \partial_\varphi\},

\tilde{e}_i := \{ \tilde{e}_1, \tilde{e}_2, \tilde{e}_3\} = \{ \partial_r + \partial_\theta, \partial_r - \partial_\theta, -\partial_\varphi\}.

Como:

\hat{e}_1 = e_1, \hat{e}_2 = \frac{1}{r} e_2 y \hat{e}_3 = \frac{1}{r \sin \theta} e_3,

tenemos que:

A_{\hat{i}}^{i} = \left(  \begin{array}{ccc}  1 & 0 & 0 \\  0 & \frac{1}{r} & 0 \\  0 & 0 & \frac{\text{Csc}[\theta ]}{r}  \end{array}  \right) i A_{i}^{\hat{i}} = \left( \begin{array}{ccc}  1 & 0 & 0 \\  0 & r & 0 \\  0 & 0 & r \text{Sin}[\theta ]  \end{array}  \right),

de manera que, como la métrica es un tensor, cambia de base como estos:

g_{\hat{i} \hat{j}} = g_{ij} A_{\hat{i}}^{i} A_{\hat{i}}^{i} = d\hat{r} \otimes d\hat{r} + d\hat{\theta} \otimes d\hat{\theta} + d\hat{\varphi} \otimes d\hat{\varphi} = \eta_{ab}.

De la misma manera, tenemos:

\tilde{e}_1 = e_1 + e_2, \tilde{e}_2 = e_1-e_2 y \tilde{e}_3 = -e_3,

por lo que:

 A_{\tilde{i}}^{i} = \left(  \begin{array}{ccc}  1 & 1 & 0 \\  1 & -1 & 0 \\  0 & 0 & -1  \end{array}  \right) i A_{i}^{\tilde{i}} = \left(  \begin{array}{ccc}  \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\  \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\  0 & 0 & -1  \end{array}  \right)

y ahora:

g_{\tilde{i} \tilde{j}} = g_{ij} A_{\tilde{i}}^{i} A_{\tilde{i}}^{i} = 2 d\tilde{r} \otimes d\tilde{r} + 2r^2 d\tilde{\theta} \otimes d\tilde{\theta} + r^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi.

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