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Repasando las ultimas entradas en las que realizaba cambios de variables, me he dado cuenta que, en algunos casos, aunque desde el punto de vista de los cambios de coordenadas dados, los Laplacianos son correctos, en realidad los referentes a compactificaciones no corresponden a éstas sino a sus inversas… 😦

A ver si me explico. Desde el punto de vista de las variedades, podemos pensar un cambio de variable como una carta. Por ejemplo, si queremos trabajar en esféricas, pensamos que la variedad es \mathbb{R}^n en coordenadas esféricas y necesitamos una carta que nos la lleve a \mathbb{R}^n en cartesianas. Y aquí esta el asunto, que necesito cartas y no parametrizaciones. En superficies se suele trabajar con parametrizaciones, pero en variedades es mas fácil trabajar con sus inversas: las cartas.

Cuando pensamos en el cambio a esféricas, por ejemplo, necesitamos una carta, es decir, una función \phi(r,\theta,\varphi) que nos devuelva las correspondientes coordenadas cartesianas:

(r,\theta,\varphi) \longrightarrow (x,y,z)

x = r \sin \theta \cos \varphi

y = r \sin \theta \sin \varphi

z = r \cos \theta.

¿Qué pasa cuando queremos compactificar r? Necesitamos una función que, a partir de los valores de r \in \mathbb{R}^+ nos devuelva valores en [0,1]. Como ya escribimos, una posible función es:

\bar{r} = \frac{r}{r+a}

pero, volviendo a las cartas y a las parametrizaciones, lo que necesitamos, en realidad, es expresar r en función de \bar{r} y no lo contrario, como tenemos ahora, de manera que necesitamos calcular su inversa:

r = -\frac{\bar{r}a}{\bar{r}-1}

cartaR

de igual forma, para las demás compactificaciones tenemos:

\bar{x} = \tanh \frac{x}{a},

\bar{x} = \frac{2}{\pi} \arctan \frac{x}{a},

pero, al igual que antes, lo que nos interesan son sus inversas:

x = a\, \mbox{arctanh} \bar{x},

x = a \tan \frac{\pi \bar{x}}{2}:

invCom

 Utilizando las funciones que tenemos escritas en Mathematica, obtenemos para esféricas los siguientes Laplacianos con sus discretizaciones:

sphCom

y, para cartesianas:

carCom

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